數(shù)學(xué)-3.3 公式法-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練(湘教版)（帶答案）

3.3公式法知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一公式法像a2

題型一綜合運(yùn)用公式法分解因式【例題1】將多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)完全平方公式分解為，再將分解為由此得到答案.【詳解】==，故選：D.【變式1-1】因式分解：__．【答案】【分析】將當(dāng)作整體，對式子先進(jìn)行配方，然后利用平方差公式求解即可．【詳解】解：原式．故答案是：．【變式1-2】因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：

；（2）解：．【變式1-3】閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)因式分解（也叫作分解因式）．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．把分解因式．該因式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)，再將此項(xiàng)減去，即可得．這種方法叫填項(xiàng)法．任務(wù)：請你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式仿照題意添一項(xiàng)，再減去，利用乘法公式分解因式即可；（2）仿照題意求解即可．【詳解】（1）解：

；（2）解：．題型二因式分解在簡算中的應(yīng)用【例題2】計(jì)算：________．【答案】4【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故答案為：4．【變式2-1】利用因式分解計(jì)算：的結(jié)果是______．【答案】8800【分析】先提出11，再根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】原式====8800．

故答案為：8800．【變式2-2】計(jì)算：_______．【答案】【分析】原式根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：=故答案為：【變式2-3】=_______．【答案】【分析】先利用平方差公式把每一個(gè)因數(shù)化為兩個(gè)因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計(jì)算乘法，從而可得答案．【詳解】解：====故答案為：．【變式2-4】計(jì)算：__．【答案】2【分析】把分成，利用完全平方公式展開，計(jì)算即可．

【詳解】．故答案為：．【變式2-5】_______，_______，_______；=_________．【答案】

；

144000；

16；

2001000【分析】根據(jù)提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法進(jìn)行因式分解即可得．【詳解】根據(jù)題意知，；（572+428）（572-428）=1000×144=144000；==16；=（2000+1999）（2000-1999）+（1998+1997）（1998-1997）+（1996+1995）（1996-1995）+……+（2+1）（2-1）=2000+1999+1998+1997+1996+1995+……+2+1=（2000+1）×2000÷2=2001000，故答案為：；144000；16；2001000．題型三利用因式分解求值【例題3】先因式分解，然后計(jì)算求值：，其中，．【答案】解：

當(dāng)，時(shí)，原式．【變式3-1】先因式分解，再求值：，其中，．【答案】；；【詳解】解：；當(dāng)，時(shí)，原式．題型四利用因式分解判斷三角形的形狀【例題4】已知的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．【答案】，，，

或，或，是等腰三角形．【變式4-1】△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀并說明理由．【答案】△ABC是等邊三角形，理由見解析【詳解】解：△ABC是等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，，∴a－b＝0，且b－c＝0，∴a＝b，且b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．【變式4-2】已知分別是三邊的長，且，請判斷的形狀，并說明理由．【答案】是等邊三角形，理由見詳解【詳解】解：是等邊三角形，理由為：原等式變形得，∴，∴，∴是等邊三角形．【變式4-3】已知a，b，c是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．

【答案】等腰三角形【詳解】∴∴∴∴∵a，b，c是的三邊，∴，∴，∴∴是等腰三角形．題型五局部因式分解求最值問題【例題5】對于二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對于二次三項(xiàng)式，就不能直接應(yīng)用完全平方公式了，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)9，使其成為完全平方式，再減去9這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值保持不變（這個(gè)過程叫“配方”），于是有：．請仿照上面的做法，解答下列各題：(1)因式分解：；(2)求代數(shù)式的最小值．(3)代數(shù)式的最小值為______．【答案】(1)(2)4(3)3【分析】（1）在一次項(xiàng)的后面加上9再減去9，配成一個(gè)完全平方的形式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）首先將配方成，然后根據(jù)平方的非負(fù)性求解即可；

（3）首先將配方成，然后根據(jù)平方的非負(fù)性求解即可．【詳解】（1）；（2）∵∴∴的最小值為4，∴代數(shù)式的最小值為4；（3）∵，∴∴的最小值為3∴代數(shù)式的最小值為3．【變式5-1】已知對于任意實(shí)數(shù)x代數(shù)式的最小值是0，代數(shù)式，當(dāng)時(shí)的最小值是0．(1)求代數(shù)式的值是最小值時(shí)x的值．(2)判斷代數(shù)式的值是有最大值，還是最小值，并求出代數(shù)式的最大值或者最小值【答案】(1)

(2)有最大值，最大值為【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，得出，即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式因式分解，進(jìn)而得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴時(shí)，最小值為0；（2）解：∵∵∴，有最大值，最大值為【變式5-2】形如及的式子，我們叫做“完全平方式”．在運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式．同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決代數(shù)式的最大（或最?。┲祮栴}．例如：，因?yàn)椋?，所以代?shù)式有最小值，最小值是2．(1)代數(shù)式的最小值是________，此時(shí)的值是_______．(2)求代數(shù)式的最小值．(3)求代數(shù)式的最值（請說明“最大值”或“最小值”），并求出此時(shí)相應(yīng)的的值．【答案】(1)3，-2(2)-6

(3)代數(shù)式的最大值為5，此時(shí)x=-1【分析】（1）先把原式變形為，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）先把原式變形為，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可解決問題；（3）先把原式變形為，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可解決問題．（1）解：，∵，∴，∴代數(shù)式的最小值是3，此時(shí)的值是-2；故答案為：3，-2（2）解：∵，∴，∴，∴代數(shù)式的最小值為-6；（3）解：，

，∵，∴∴，∴代數(shù)式的最大值為5，此時(shí)x=-1．【變式5-3】閱讀理解并解答：（1）我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在運(yùn)用完全平方公式行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式，同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決代數(shù)式的值的最大（或最?。┲祮栴}．例如：①x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2是非負(fù)數(shù)，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個(gè)代數(shù)式x2+2x+3的最小值是，這時(shí)相應(yīng)的x的值是．②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7，∵（x﹣2）2是非負(fù)數(shù)，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7．則這個(gè)代數(shù)式3x2﹣12x+5的最小值是，這時(shí)相應(yīng)的x的值是．（2）仿照上述方法求代數(shù)式﹣x2﹣14x+10的最大或最小值，并寫出相應(yīng)的x的值；【答案】（1）①2，-1；②-7，2；（2）代數(shù)式﹣x2﹣14x+10的最大值為59，相應(yīng)的x的值為-7；【分析】（1）①根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)，該代數(shù)式有最小值，即可求解；②根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)，該代數(shù)式有最小值，即可求解；（2）將代數(shù)式-x2-14x+10化為-（x+7）2+59，即可求解；【詳解】（1）①∵當(dāng)時(shí)，該代數(shù)式有最小值，∴時(shí)；代數(shù)式x2+2x+3有最小值，最小值是2；②∵當(dāng)時(shí)，該代數(shù)式有最小值，∴；代數(shù)式3x2﹣12x+5有最小值，最小值是-7（2）﹣x2﹣14x+10

∵是非負(fù)數(shù)，∴∴，∴當(dāng)，即時(shí)，代數(shù)式﹣x2﹣14x+10有最大值，最大值為59，相應(yīng)的x的值為-7；題型六利用因式分解解決整除問題【例題6】學(xué)習(xí)了因式分解的知識(shí)后，老師提出了這樣一個(gè)問題：設(shè)為整數(shù)，則的值一定能被20整除嗎？若能，請說明理由？若不能，請舉出一個(gè)反例，你能回答這個(gè)問題嗎？【答案】能，理由見解析.【分析】利用平方差公式展開，即可得出一定能被20整除．【詳解】解：的值一定能被20整除，理由如下：=（n+7+n-3）（n+7-n+3）=20（n+2），∴的值一定能被20整除．【變式6-1】兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除嗎？為什么？【答案】能．理由見解析．【分析】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和，則，因此可判斷兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除．【詳解】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為和，則

．因此兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除．【變式6-2】利用因式分解說明：能被30整除．【答案】解：原式．能被30整除．【變式6-3】用因式分解的方法求證：能被7整除．【答案】見解析【分析】把原式提取公因式，計(jì)算得到7的倍數(shù)，進(jìn)而得到能被7整除．【詳解】解：∵32022-4×32021+10×32020=32020×（9-12+10）=32013×7，∴32022-4×32021+10×32020能被7整除．【變式6-4】用平方差公式進(jìn)行因式分解在數(shù)的運(yùn)算中有著廣泛的應(yīng)用，比如，數(shù)的整除性探究中的應(yīng)用．例：能被2009整除嗎？解:∵中有因數(shù)2009，∴一定能被2009整除．請你試一試：已知數(shù)字恰能被兩個(gè)在60和70之間的整數(shù)整除，求出這兩個(gè)數(shù)．【答案】63和65．【分析】根據(jù)題目中的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行因式分解，即可求出答案．【詳解】解：==；

=；∴可被63與65整除，即所求在60和70之間的兩個(gè)整數(shù)是63和65．【變式6-5】利用因式分解求出能整除的小于10的自然數(shù).【答案】能整除的小于10的自然數(shù)為1，2，3，5，6.【分析】逆用積的乘方，提公因數(shù)，把冪的系數(shù)化成小于10的幾個(gè)自然數(shù)的乘積的形式，即可求解.【詳解】∵，又∵，∴能整除的小于10的自然數(shù)為1，2，3，5，6.【變式6-6】閱讀材料：若為常數(shù)有一個(gè)因式為，則如何因式分解？解：因?yàn)橛幸粋€(gè)因式為，所以當(dāng)時(shí)，，于是把代入得，解得，原代數(shù)式變?yōu)?，接著可以通過列豎式做多項(xiàng)式除法的方式求出其它因式，如圖所示，則因式分解若為常數(shù)有一個(gè)因式為，則因式分解______．【答案】【分析】根據(jù)題意，因?yàn)橛幸粋€(gè)因式為，仿照例題通過列豎式做多項(xiàng)式除法的方式求出其它因式．【詳解】解：因?yàn)橛幸粋€(gè)因式為，所以當(dāng)時(shí)，，于是把

代入得，解得，原代數(shù)式變?yōu)?，接著可以通過列豎式做多項(xiàng)式除法的方式求出其它因式，如圖所示，則因式分解因式分解，故答案為：．題型七十字相乘法【例題7】【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為

．請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．【理解與應(yīng)用】請你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

__________．【探究與拓展】對于形如的關(guān)于，的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．【答案】(1)(2)

(3)②43或【分析】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，寫出結(jié)果即可．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，常數(shù)項(xiàng)寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，寫出分解結(jié)果即可．

（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)-2寫成，常數(shù)項(xiàng)-4寫成滿足條件，寫出分解結(jié)果即可．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)-18寫成，常數(shù)項(xiàng)-24寫成或滿足條件，寫出分解結(jié)果，計(jì)算即可．【詳解】（1）首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，所以．故答案為：．（2）①把二次項(xiàng)系數(shù)2寫成，，滿足，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)6寫成，把項(xiàng)系數(shù)2寫成，滿足，所以．故答案為：．（3）①把項(xiàng)系數(shù)3寫成，把項(xiàng)系數(shù)-2寫成，常數(shù)項(xiàng)-4寫成滿足條件，所以．故答案為：．②把項(xiàng)系數(shù)1寫成，把項(xiàng)系數(shù)-18寫成，常數(shù)項(xiàng)-24寫成或滿足條件，所以m=或m=，故m的值為43或-78．【變式7-1】請用十字相乘法分解下列多項(xiàng)式，要求寫出一種符合分解的分解圖．(1)(2)

【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中方法利用十字相乘法分解因式即可；（2）根據(jù)題中方法利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：分解圖如下：∴；（2）分解圖如下：∴．【變式7-2】閱讀與思考：利用多項(xiàng)式的乘法法則可推導(dǎo)得出：．因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：．利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式，例如：將式子分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)．這是一個(gè)型的式子，∴，∴．(1)填空：式子的常數(shù)項(xiàng)=，一次項(xiàng)系數(shù)=，分解因式．(2)若可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是．【答案】(1)10；7；；(2)，．【分析】（1）由的常數(shù)項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，從而可得因式分解的結(jié)果；（2）由，再分類討論可得答案．【詳解】（1）解：式子的常數(shù)項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，

分解因式；（2）∵，∴，此時(shí)，或，此時(shí)，或，此時(shí)，或，此時(shí)，∴，．【變式7-3】閱讀并解決問題：材料1：在因式分解中，有一類形如的多項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因數(shù)的積，而它的一次項(xiàng)系數(shù)恰是這兩個(gè)因數(shù)的和，則我們可以把它分解成．例如：．材料2：分解因式：．解：設(shè)，則原式．這樣的解題方法叫做“換元法”，即當(dāng)復(fù)雜的多項(xiàng)式中，某一部分重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，我們用字母將其替換，從而簡化這個(gè)多項(xiàng)式．換元法是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法，不少問題能用換元法解決．(1)運(yùn)用上述方法分解因式：①___________，②___________；(2)請用“換元法”進(jìn)行因式分解：．【答案】(1)①，②．(2)【分析】（1）由題意直接進(jìn)行因式分解即可；（2）設(shè)，把原多項(xiàng)式換元后因式分解，再代入還元；【詳解】（1）①，②；故答案為：①，②．（2）設(shè)，則原式

．【變式7-4】閱讀下列材料：材料1：將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，如果能滿足，且，則可以把分解因式成．例如：①；②．材料2：因式分解：．解：將“”看成一個(gè)整體，令，則原式．再將“”還原，得原式．上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．(1)根據(jù)材料1，分解因式：．(2)結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：．②分解因式：．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）將寫成，根據(jù)材料1的方法可得）即可；（2）①令，原式可變?yōu)?，再利用十字相乘法分解因式即可；②令，原式可變?yōu)?，即，利用十字相乘法可分解為，再將“”還原，即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）①令，

∴∴②令，，∴．題型八分組分解法【例題8】閱讀下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式僅用上述方法就無法分解，如，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解．過程如下：．這種因式分解的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)若、、為非零實(shí)數(shù)，且，求證：．

【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的分組分解方法，先分組再利用平方差公式因式分解即可得到答案；（2）根據(jù)閱讀材料中的分組分解方法，先分組再利用提公因式法因式分解即可得到答案；（3）根據(jù)閱讀材料中的分組分解方法，先分組再綜合運(yùn)用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）證明：，，，，，，，，∴．

【變式8-1】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式則不能直接用上述兩種方法進(jìn)行分解，比如多項(xiàng)式．這樣我們就需要結(jié)合式子特點(diǎn)，探究新的分解方法．仔細(xì)觀察這個(gè)四項(xiàng)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項(xiàng)結(jié)合為一組符合平方差公式特點(diǎn)，把它的后兩項(xiàng)結(jié)合為一組可提取公因式，而且對前后兩組分別進(jìn)行因式分解后會(huì)出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對整個(gè)式子的因式分解．具體過程如下：例1：

分成兩組

分別分解

提取公因式完成分解像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，再分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，關(guān)鍵在