數(shù)學(xué)-專項(xiàng)09 相似三角形中的“A”字型相似模型（原版）

專題09相似三角形中的“A”字型相似模型【模型展示】特點(diǎn)結(jié)論DE∥BC?△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).【模型證明】解決方案非平行A字型∠AED＝∠B?△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).非平行A字型∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BC).【題型演練】一、單選題1．如圖，已知若的面積為，則的面積為（

）

A． B． C． D．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：53．（2017年甘肅省蘭州市七里河區(qū)楊家橋?qū)W校中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為（）A． B．3 C．2 D．14．如圖．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，則圖中相似三角形有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)5．如圖，中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，且平分，平分，過點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)、，若與相似，則線段的長為（

）

A．5 B． C．5或 D．66．如圖，在中，，取的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、、、，已知，，，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題7．如圖，光源在水平橫桿的上方，照射橫桿得到它在平地上的影子為（點(diǎn)、、在一條直線上，點(diǎn)、、在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)．已知，，點(diǎn)到橫桿的距離是，則點(diǎn)到地面的距離等于______．8．如圖，矩形ABCD中，，，AC為對(duì)角線，E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)M，連接AF、CE，求的最小值是_____．

9．如圖，正方形邊長為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，過作，垂足為，交對(duì)角線于，將沿翻折得到，交對(duì)角線于，則______．10．如圖，在三角形中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，連接，將三角形沿直線翻折至三角形平面內(nèi)，使得B點(diǎn)與E點(diǎn)重合，連接、，分別與邊交于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)O，若，，，則點(diǎn)A到線段的距離為__________．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，連接CE，將△BCE沿CE折疊得到△FCE，CF與BD交于點(diǎn)P，則DP的長為___．

三、解答題12．如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（1）求t為何值時(shí)，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t值．13．在中，，D為上一點(diǎn)，過D作DEBC交于點(diǎn)E，連接．設(shè)，求的取值范圍．14．中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s

，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似?15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．16．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對(duì)角線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．過點(diǎn)P作BC的垂線段PH，運(yùn)動(dòng)過程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問題：（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請(qǐng)求出t值；如果不存在請(qǐng)說明理由；（3）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在請(qǐng)求出t值；如果不

存在請(qǐng)說明理由．17．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．18．一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．19．如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．20．如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求的值．（2）如果，，請(qǐng)找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．21．如圖，在中，點(diǎn)分別在上，且．（1）求證：；（2）若點(diǎn)在上，與交于點(diǎn)，求證：．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，點(diǎn)E為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，且AE＜AB，連接DE，將線段DE所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α交BA延長線于點(diǎn)H，DE所在直線與射線CA交于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：△ADH≌△CDG；（2）當(dāng)α≠60°時(shí)，①如圖2，連接HG，求證：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，請(qǐng)直接寫出EG的長．23．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，且滿足AE＝2EC，點(diǎn)F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點(diǎn)M，交直線BC于點(diǎn)N．（1）當(dāng)CF＝2時(shí)，求線段BN的長；（2）若設(shè)CF＝x，△BNE的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請(qǐng)直接寫出x的值．24．如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.解答下列問題：（1）當(dāng)為___________時(shí)，？（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？（4）若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.25．如圖1，平行四邊形的對(duì)