2024年高考數學優(yōu)等生培優(yōu)第10講 指數運算及指數函數-解析版50

第10講、指數運算及指數函數通關一、根式的概念和性質n次方根概念一般地，如果，那么x叫作a的n次方根，其中.性質①當是奇數時,正數的次方根是一個正數,負數的次方根是一個負數.這時,的次方根用符號表示.②當是偶數時,正數的次方根有兩個,這兩個數互為相反數.這時,正數的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成.負數沒有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作.根式概念式子叫作根式，這里n叫作根指數，a叫作被開方數.性質①②當n為奇數時,.③當n為偶數時,.通關二、指數函數,且的圖像與性質0＜a＜1a＞1圖像定義域R值域(0，＋∞)奇偶性非奇非偶函數對稱性函數y＝a－x與y＝ax的圖像關于y軸對稱過定點過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1單調性在R上是減函數在R上是增函數函數值的變化情況當時,當時,當時當時,0<y<1底數對圖像的影響指數函數在同一坐標系中的圖像的相對位置與底數大小關系如圖所示,其中.①在軸右側,圖像從上到下相應的底數由大變小;②在軸左側,圖像從下到上相應的底數由大變小.結論一、指數基本運算當時,有:①;②;③;④;⑤;⑥.【例1】化簡并求值.(1);(2)【解析】(1);(2).【變式】化簡并求值.(1)若,求的值;(2)若,求的值;(3)設,求的值.【解析】(1)時,原式.先對所給條件等價變形:,.故.(3)因為,所以,所以.所以.結論二、指數比較大小1.對于底數相同,指數不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數的單調性來判斷;2.對于底數不同,指數相同的兩個冪的大小比較,可以利用指數函數圖像的變化規(guī)律來判斷;3.對于底數不同,且指數也不同的冪的大小比較,可先化為同底的兩個冪,或者通過中間值來比較.【例2】設,則的大小關系是()A. B. C. D.【答案】A【解析】對于函數,在其定義域上是減函數.因為,所以,即.在同一平面直角坐標系中畫出函數和函數的圖像,可知,即.從而.故選A.【變式】若,則().A. B. C. D.【答案】D【解析】因為,所以由指數函數的單調性可得.因為的符號不確定,所以當時,可排除選項;當時,可排除選項;由指數函數的性質可判斷正確.故選D.結論三、指數函數過定點指數函數的圖像恒過點，且函數的圖像經過第一、二象限.【例3】函數的圖像必過定點__________.【答案】【解析】,令,則.當時，,所以必過點.【變式】已數函數且的圖像恒過定點,則__________.__________.【答案】2,0【解析】令,求得,圖像經過定點,即.結論四、底數對指數函數圖像的影響1．底數與1的大小關系決定了指數函數圖像的“升降”：當時，指數函數的圖像“上升”；當時，指數函數的圖像“下降”.2.底數的大小決定了圖像相對位置的高低:不論是還是,在第一象限內，自上向下，圖像對應的指數函數的底數逐漸變小.3.作直線所給指數函數圖像相交,交點的縱坐標為該指數函數的底數,由此可判斷多個指數函數底數的大小關系.4.在第一象限的圖像,越大,圖像越靠近軸;越小,圖像越靠近軸.【例4】右圖是指數函數(1),(3),(4)的圖像,則與1的大小關系為（）.A. B. C. D.【答案】B.【解析】有圖像可知=3\*GB3③=4\*GB3④的底數必大于1，=1\*GB3①=2\*GB3②的底數必小于1，過點作直線,在第一象限內分別與各曲線相交,由圖像可知,從而可得與1的大小關系為.【變式】已知函數的圖像不經過第一象限,則實數的取值范圍是（）. A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數為減函數,所以若函數的圖像不經過第一象限,則滿足,即.故選.結論五、指數數數單調若在上是增函數;若在上是増函數.要點詮釋：指數增減要看清,抓著底數不放松，反正底數大于零，不等于1已表明.底數若是大于1,圖像從下向上增；底數0到1之間，圖像從上往下減.無論函數增和減，圖像都過點.【例5】函數且在上的最大值比最小值大，則的值是__________.【答案】或【解析】當時，函數在上單調遞減，故在上的最大值為，最小值為,則,得.又，所以.當時，函數在上單調遞增,故在上的最大值為,最小值為,那么,得.又,所以.綜上，的值是或.【變式】函數在上的最大值與最小值的和為3,則等于（）. A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】解法一：當時,為單調遞增函數,在上的最值分別為,