2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第40講 不等式的性質與解法-原卷版 95

第40講不等式的性質與解法通關一、文字語言與數(shù)學符號之間的轉換文字語言數(shù)學符號文字語言數(shù)學符號大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤通關二、不等式的基本性質性質別名內容注意性質1對稱性a＞bb＜a;a＜bb＞a可逆性質2傳遞性a＞b,b＞ca＞c;a＜b,b＜ca＜c同向性質3可加性a＞ba＋c＞b＋c可逆性質4可乘性a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bcc的符號性質3推論1稱項法則a＋b＞ca＞c－b可逆性質3推論2同向可加性a＞b,c＞da＋c＞b＋d同向性質4推論1同向同正可乘性a＞b＞0,c＞b＞0ac＞bd同向，同正性質4推論2可乘方性同正性質4推論3可開方性同正性質4推論4倒數(shù)法則同號結論一、不等式的性質1.加法法則(同向不等式可加性):a＞ba＋c＞b＋c(c∈R).2.乘法法則:若a＞b,則3.除法法則:若a＞b且c≠0,則【例1】若實數(shù)a,b滿足a＞b,則下列不等式一定成立的是() A. B. C. D.【變式】當a＞b＞c時，下列不等式恒成立的是(). A.ab＞ac B.a|c|＞b|c| C.|ab|＜|bc| D.(a－b)|c－b|＞0結論二、比較大小1.作差法:任意兩個代數(shù)式a，b可以作差a－b后比較a－b與0的關系,進一步比較a與b的大小.①a－b＞0?a＞b;②a－b＜0?a＜b;③a－b＝0?a＝b.2.作商法:任意兩個值為正的代數(shù)式a，b可以作商a÷b后比較與1的關系,進一步比較a與b的大小.①;②;③.若代數(shù)式a，b都為負數(shù),也可以用作商法.3.中間量法:若兩個代數(shù)式a，b不容易直接判斷大小,可引入第三個量c分別與a，b作比較,若滿足a＞c且c＞b,則a＞b.第三個量就是中間量.這種方法就是中間量法,其實質是不等式的傳遞性.一般選擇0或1為中間量.【例2】若a＞b＞0,則下列不等式中一定成立的是(). A． B. C. D.【變式】設實數(shù)a,b滿足0＜a＜b,且a＋b＝1,則下列四數(shù)中最大的是(). A. B. C.2ab D.a結論三、一元二次不等式的圖象一元二次方程的根有兩個相異的實根有兩個相等的實根沒有實數(shù)根的解集R的解集【例3】不等式的解集為______________.【變式】不等式的解集為(). A. B.或 C.或 D.結論四、分式不等式1.一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式為整式不等式或整式不等式組,即（1）;（2）;（3)(4)2.穿根法步驟(1)將f(x)最高次項系數(shù)化為正數(shù);(2)將f(x)分解為若干個一次因式或二次不可分解的因式的積,然后求出f(x)＝0的解,并在數(shù)軸上標出;(3)自數(shù)軸正方向起,用曲線從右至左、自上而下依次從各解穿過數(shù)軸,奇穿偶不穿;(4)記數(shù)軸上方為正,下方為負,根據不等號寫出解集.【例4】不等式的解集為(). A.{x|x＜－2或x＞3} B.{x|x＜–2或1＜x＜3} C.{x|－2＜x＜1或x＞3} D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3|【變式】不等式的解集是(). A. B. C. D.結論五、絕對值不等式1.|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a;2.|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＜－a或f(x)＞a;3.|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x);4.|f(x)|＞g(x)?f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x).【例5】若不等式|x－a|＜1的解集為{x