2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第48講 空間向量與立體幾何-解析版12

第48講空間向量與立體幾何通關(guān)一、空間坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向軸的正方向,食指指向軸的正方向,如果中指指向軸的正方向,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.通關(guān)二、平面法向量的求法(1)設(shè)平面的法向量為;(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，;(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組;(4)解方程組,取其中的一組解,即得法向量.要點詮釋：求平面的法向量時,建立的方程組有無數(shù)組解,利用賦值法,只要給，，中的一個變量賦一特殊值(常賦值,)即可確定一個法向量,賦值不同,所求法向量不同,但不能作為法向量.通關(guān)三、用向量法求空間角1.求異面直線所成的角(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求出兩直線的方向向量，；(3)代入公式.兩異面直線所成角的范圍是,兩向量的夾角的范圍是,當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為直角時,其補角才是異面直線的夾角.2.求線面角(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）;(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.3.求二面角(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.結(jié)論一、空間向量的基本定理如果三個向量，，不共面,那么對空間任一向量,存在唯一一個有序?qū)崝?shù)組，，使其中，，叫作空間的一個基底,記作.【例】1如圖所示,在平行六面體中,是的中點,是的中點,是的中點,點在上,且,設(shè),，用基底表示以下向量:(1)；（2）；(3)；(4).【答案】(1)；（2）；(3)；(4).【解析】連接，， (1);(2);(3);(4)【變式】設(shè)點為空間任意一點,點，，是空間不共線的三點,又點滿足等式:,其中,，，求證:，，，四點共面的充要條件是.【解析】需要分兩方面來證：充分性即證：若,則，，，四點共面;必要性即證:若，，，四點共面,則有.先證充分性:因為,所以,所以,即.由共面向量定理知，，，四點共面.再證必要性:設(shè),由條件得，所以,即因為，，，四點共面,而點為空間任意一點,所以只能,即.綜上,命題成立.結(jié)論二、空間向量的坐標(biāo)運算設(shè),，則(1),；（）;， (2)（），，（）,，;(3).【例2】已知，，.(1)求，;(2)問當(dāng)實數(shù)的值為多少時,的模最小;(3)問是否存在實數(shù),使得向量垂直于向量;(4)問是否存在實數(shù),使得向量平行于向量.【答案】(1)，；(2)；(3)時；(4)時.【解析】(1)；，，(2)，,所以當(dāng)時,的模最小.(3),故當(dāng)時,有垂直于向量.(4)若存在實數(shù),使得向量平行于向量,則存在實數(shù),使得,即,故,從而有,無解,故不存在實數(shù),使得向量平行于向量.【變式】已知,,,.(1)求線段,的長;(2)求證:這四點,,,共面;(3)求證:,;(4)求向量與所成的角.【答案】(1),;(2)見證明過程；(3)見證明過程；(4).【解析】(1)，，，；(2)證明：，，.要證這四點共面,只需證可寫成向量,的線性組合.假設(shè)存在實數(shù),,使,即,則,解得,,故從而向量,,共面,故這四點,,,共面.(3)證明,,,,,,故,.(4),,,故向量與所成的角為.結(jié)論三、平行的判定和性質(zhì)設(shè)直線，的方向向量分別為,,平面，的法向量分別為,. 1.線線的平行關(guān)系:(或與重合);2.線面的平行關(guān)系:或存在實數(shù),，使（其中，為平面內(nèi)的兩個不共線的向量)；3.面面的平行關(guān)系:（，重合）.【例3】如圖,四棱錐中,底面，,底面為梯形,,，，點在棱上,且.求證:平面.【解析】證法一以為原點,，所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則，，，，.設(shè),則,，因為,所以, 解得,則有,，，，因為，平面,所以平面.(或者求出平面的法向量得出與垂直也可證明結(jié)論)證法二因為,，所以是等腰直角三角形.因為平面,所以,又,所以平面,所以.又,所以也是等腰直角三角形,所以.連接,交于點,則.在中,,所以.又平面，平面,所以平面.【變式】如圖,正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直,是等腰直角三角形,，，.(1)求證:平面；(2)設(shè)線段的中點為，在直線上是否存在一點,使得平面?若存在,請指出點的位置,并證明你的結(jié)論；若不存在,請說明理由.【答案】(1)見證明過程；(2)存在點,當(dāng)為中點時,平面.【解析】(1)證明因為為等腰直角三角形,,所以.又因為平面平面，平面,平面平面,所以平面.所以.因此,，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則，，，，.因為,，所以.從而,.所以，，,，，所以，.因為平面，平面,，所以平面.(2)存在點,當(dāng)為中點時,平面.設(shè)，.從而,由得,即為中點時,,又平面,直線不在平面內(nèi),故平面.結(jié)論四、垂直的判定和性質(zhì)設(shè)直線，的方向向量分別為,，平面，的法向量分別為，.1.線線垂直:; 2.線面垂直:;3.面面垂直:.【例4】如圖,四棱錐的底面是正方形,底面，,，點，分別為棱，的中點.(1)求證:平面；(2)求證:平面平面.【解析】證明以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1),，，，則,,于是,，.因為,所以與，共面.又面，所以平面.(2)因為,所以,即.又,所以,即.于是面,由(1)平面,則面面.【變式】如圖,已知長方體中,,,.棱上是否存在點,使平面平面?證明你的結(jié)論.【答案】存在點,使面面，見證明過程.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,，,，假設(shè)點存在,且,平面平面，.證法一在平面中作,垂足為.因為，，三點共線,所以.因為,所以,所以,所以.因為面面,所以面,所以,所以,所以.所以存在點,使面面.證法二,,,設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,則,,即可取,,所以平面平面,即,解得.所以存在點,使平面平面.結(jié)論五、點到面的距離求定點到平面的距離,可設(shè)平面的法向量為,面內(nèi)一點,則點到平面的距離.【例5】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,，底面，，為的中點,為的中點.(1)證明:直線平面；(2)求異面直線與所成角的大?。?3)求點到平面的距離.【答案】(1)見證明過程；(2);(3).【解析】(1)作于點,如圖所示,分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.,，，，，,，.證明,,.設(shè)平面的法向量為,則,.即,取,解得.因為,所以平面.(2)設(shè)與所成的角為,因為,,所以.又因為,所以,即與所成角的大小為.(3)設(shè)點到平面的距離為,為在平面的法向量上的投影的絕對值.由,得,所以點到平面的距離為【變式】如圖,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,側(cè)棱,,分別是與的中點,點在平面內(nèi)的射影是的重心.(1)求與平面所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離. 【答案】(1)；(2).【解析】(1)連結(jié),則是在面的射影,即是與平面所成的角.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點為,設(shè)則,,,,,,所以,,所以,解得.所以,,所以.所以與平面所成角的余弦值是.解法一,，，設(shè)為平面的一個法向量,則,令得:.線段在上投影的絕對值即為所求距離,故.解法二由(1)有，，，.，，所以平面.又平面,所以平面平面,又面面,所以點在平面的射影在上.設(shè),則.由，即,解得.所以,即,即點到平面的距離為.結(jié)論六、線線角設(shè)直線,的方向向量分別為,,則,所成角滿足:,.要點許釋：空間兩條直線所成角的范圍是,異面直線所成角的范圍是,而兩個向量之間的夾角范圍是,這些是求空間中兩條直線所成角時需要注意的地方.【例6】如圖,在棱長為的正方體中,,,分別是,,的中點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)寫出,,,的坐標(biāo);(2)求證:,且;(3)求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1),,,；(2)見證明過程；(3).【解析】(1)在空間直角坐標(biāo)系中,,,,.(2)證明因為,,,,，所以.又，，所以.（3），，，，，又異面直線所成角不大于，故異面直線與所成角的余弦值為.【變式】如圖，正四棱錐的底面邊長與側(cè)面棱長都是2，是的中點.（1）求異面直線和所成角的大小.

（2）求異面直線和所成角的余弦值.【解析】（1）解法一因為，所以和所成的角就是和所成的角.因為是正三角形，所以，所以和所成的角為.解法二設(shè)在底面的射影為，由于為正四棱錐，所以為底面正方形的中心.以點為原點，方向為軸正方向，方向為軸正方向，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由于四棱錐側(cè)面都是邊長為2的正三角形，所以斜高，，所以，，，，，所以，，，所以.所以向量與向量所成的角為，即直線和所成的角為.（2）由（1）的解法二得，，所以.而直線和所成角只能在至之間，所以和所成角的余弦值為.結(jié)論七、線面角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則與所成角滿足：.【例7】如圖，已知點在正方體的對角線上，.（1）求與所成角的大小；

（2）求與平面所成角的大小.【解析】如圖，以為原點，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系.則，.連結(jié)，.在平面中，延長交于.設(shè)，由已知，由可得，解得，所以.（1）因為，所以，即與所成的角為.（2）平面的一個法向量是.因為，所以.可得與平面所成的角為.【變式】如圖，已知長方體中，，，連結(jié)，過點作的垂線交于，交于.（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因為∽，所以.（1），，，，，，所以，，.因為，，所以，，即，，又，所以平面.（2）設(shè)平面的一個法向量為，因為，，而，所以，令，得，而，所以所求的距離.（3）由（2）知，，而，設(shè)與所成角為，則，s以直線與平面所成角的正弦值為.結(jié)論八、二面角設(shè)平面的法向量分別為，則所成的二面角滿足：（為平面所成的二面角，）.【例8】如圖，已知矩形所在平面外一點，平面，分別是的中點，，（1）求證：平面；

（2）求證：，且；

（3）求直線與所成的角；

（4）求直線與平面所成的角；

（5）求平面與平面所成的角.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知條件可得，，，.分別是的中點，故，，.（1）證明，，，設(shè)，解得，故，又平面，平面，平面，所以平面.（2）證明，，.，.，，故.（3），，，所以，直線與為異面直線，故其所成角為.（4）直線的一個方向向量為，，，設(shè)為平面的一個法向量，則有，故為平面的一個法向量，，故，故直線與平面所成的角為.（5），，設(shè)為平面的一個法向量，則有，故為平面的一個法向量，為平面的一個法向量.，故，即平面與平面所成的角為.【變式】如圖，在直三棱柱中，，，.（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.【解析】解法一（