新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步2.6直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.6.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊(cè)

2．6直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2．6.1直線與圓的位置關(guān)系最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)掌握直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．(2)會(huì)用代數(shù)法和幾何法來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系．(3)會(huì)用直線與圓的位置關(guān)系來解決一些實(shí)際問題．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)____個(gè)____個(gè)____個(gè)判定方法?幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝Aa+Bb+Cd____rd____rd____r代數(shù)法：由Ax+By+C=0消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ____0Δ____0Δ____0批注?“幾何法”與“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關(guān)系，是從不同的方面，不同的思路來判斷的．“幾何法”更多地側(cè)重于“形”，更多地結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)；“代數(shù)法”則側(cè)重于“數(shù)”，它傾向于“坐標(biāo)”與“方程”．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)直線與圓最多有兩個(gè)公共點(diǎn)．()(2)如果一條直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則此直線過圓心．()(3)若A，B是圓O外兩點(diǎn)，則直線AB與圓O相離.()(4)若C為圓O內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)C的直線與圓O相交.()2．直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是()A．相交B．相切C．相離D．無法判斷3．設(shè)A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|＝()A．1B．2C．3D．24．若直線x＋y＝2與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，則m的值為()A．12B．22C．2D5．直線x＋2y＝0被圓C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦長(zhǎng)等于________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1直線與圓的位置關(guān)系例1[2022·湖南長(zhǎng)沙測(cè)試]已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)與x軸、y軸分別相切于A、B兩點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若直線l：y＝kx－2與線段AB沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)試討論直線l：y＝kx－2與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝4(a>0，b>0)的位置關(guān)系．方法歸納判斷直線與圓位置關(guān)系的3種方法鞏固訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．不確定(2)若過點(diǎn)(1，2)總可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．題型2直線與圓相切問題例2(1)過點(diǎn)P(－2，4)的直線l與圓C：x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，則直線l的方程為()A．x＝－2或2x－y＋8＝0B．x＝－2或x＋2y－6＝0C．2x－y＋8＝0或x＋2y－6＝0D．x－2y＋10＝0或2x＋y＝0(2)過直線y＝2x－3上的點(diǎn)作圓C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A．555B．19C．25D．(3)過點(diǎn)M(2，－3)作圓C：x2＋y2＝13的切線，則切線的方程為________．方法歸納圓的切線的求解策略鞏固訓(xùn)練2(1)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12(2)已知直線l平行于直線x－y＋2＝0，且與圓x2＋y2＝2相切，則直線l的方程是____________．題型3直線與圓相交問題例3(1)過點(diǎn)(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為________；(2)[2022·湖南衡陽田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)測(cè)試]已知直線l：(a＋1)x－ay＋3＝0(a>0)．若直線l被圓x2－2x＋y2－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．方法歸納求圓的弦長(zhǎng)的2種常用方法鞏固訓(xùn)練3[2022·湖南攸縣三中測(cè)試]已知圓C的方程：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)圓C過A(1，1)時(shí)，求直線l：x＋2y－4＝0被圓C所截得的弦MN的長(zhǎng)．易錯(cuò)辨析忽略了圓的一個(gè)隱含條件例4已知圓的方程為x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定點(diǎn)A(1，2)，要使過定點(diǎn)A(1，2)作圓的切線有兩條，則a的取值范圍為________．解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋a2)2＋(y＋1)2＝4圓心C坐標(biāo)為(－a2，－1)半徑r＝4-3a則4－3a2>0，解得－233<a<又過點(diǎn)A(1，2)作圓的切線有兩條，則點(diǎn)A必在圓外，即1+a22化簡(jiǎn)得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，故a的取值范圍是(－23答案：(－23【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視了圓的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一個(gè)隱含條件，即D2＋E2－4F>0同學(xué)們?cè)诮獯鸷袇?shù)的問題時(shí)，要多一些嚴(yán)謹(jǐn)，以免遺漏某些條件，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)．2．6直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2．6.1直線與圓的位置關(guān)系新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)210<＝>>＝<[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：圓心(0，0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝-532+42＝1.∵d答案：B3．解析：直線y＝x過圓x2＋y2＝1的圓心C(0，0)，則|AB|＝2，故選D.答案：D4．解析：圓x2＋y2＝m(m>0)的圓心為(0，0)，半徑為m，因?yàn)橹本€x＋y＝2與圓x2＋y2＝m(m>0)相切，所以圓心到直線x＋y＝2的距離等于半徑，列出方程得：21+1＝m，解得：m＝答案：D5．解析：由已知圓心C(3，1)，半徑r＝5.又圓心C到直線l的距離d＝3+25＝5，則弦長(zhǎng)＝2r2-d答案：45題型探究·課堂解透例1解析：(1)由已知可得圓C的圓心為C(a，b)，由于圓C與x軸、y軸分別相切于A、B兩點(diǎn)，圓心C到x軸、y軸的距離分別為b、a，則a＝b＝2，因此，圓C的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)如下圖所示：由圖可知，圓C與x軸相切于點(diǎn)A(2，0)，與y軸相切于點(diǎn)(0，2)，當(dāng)直線l過點(diǎn)A(2，0)時(shí)，則有2k－2＝0，解得k＝1，由圖可知，當(dāng)k≥1時(shí)，直線l與線段AB有公共點(diǎn)，因此，當(dāng)k<1時(shí)，直線l與線段AB沒有公共點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－∞，1)．(3)圓心C(2，2)到直線l的距離為d＝2k-4k2+1，圓①當(dāng)d>r時(shí)，即k<34時(shí)，直線l與圓C②當(dāng)d＝r時(shí)，即k＝34時(shí)，直線l與圓C③當(dāng)d<r時(shí)，即k>34時(shí)，直線l與圓C綜上所述，當(dāng)k<34時(shí)，直線l與圓C當(dāng)k＝34時(shí)，直線l與圓C當(dāng)k>34時(shí)，直線l與圓C鞏固訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝a·0+b·0(2)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x＋k2)2＋(y＋1)2＝16－3k24，所以16－3k24>0，解得－833<k<833.由題意知點(diǎn)(1，2)應(yīng)在已知圓的外部，把點(diǎn)(1，2)代入圓的方程得1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即(k－2)(k＋3)>0，解得k>2或k<－3答案：(1)B(2)(－833，－3)例2解析：(1)由題意可知，P(－2，4)在圓C的外部，故點(diǎn)P不是切點(diǎn)；圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝－2，圓心C(－1，1)到切線l的距離為d＝|－1－(－2)|＝1≠5，此時(shí)直線和圓不相切；作圓C的切線，斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為l：y＝k(x＋2)＋4，即l：kx－y＋2k＋4＝0.圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝5，圓心C(－1，1)到切線l的距離為d＝-k-1+2k+4化簡(jiǎn)可得2k2－3k－2＝0，解得k＝－12或k＝2∴切線方程為l：y＝－12(x＋2)＋4或y＝2(x＋2)＋4化簡(jiǎn)可得x＋2y－6＝0或2x－y＋8＝0.(2)直線y＝2x－3上任取一點(diǎn)P(x，y)作圓x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切線，設(shè)切點(diǎn)為A.圓x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝1，圓心為C(2，－3)，半徑為r＝1.切線長(zhǎng)為PC2-r|PC|min＝2×2+3-所以切線長(zhǎng)的最小值為4552(3)由圓C：x2＋y2＝13得到圓心C的坐標(biāo)為(0，0)，圓的半徑r＝13，而|CM|＝22+-32所以點(diǎn)M在圓C上，則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直，又M(2，－3)，得到CM所在直線的斜率為－32所以切線的斜率為23則切線方程為：y＝23(x－2)－即2x－3y－13＝0.答案：(1)C(2)A(3)2x－3y－13＝0鞏固訓(xùn)練2解析：(1)方法一由3x＋4y＝b，得y＝－34x＋b代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化簡(jiǎn)得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.方法二由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0?(x－1)2＋(y－1)2＝1，可知圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑為1，直線和圓相切，則3×1+4×1-b32(2)設(shè)所求直線l為x－y＋b＝0(b≠2)，因?yàn)橹本€與圓相切，則b2＝2，解得b＝－2則所求直線為x－y－2＝0.答案：(1)D(2)x－y－2＝0例3解析：(1)設(shè)點(diǎn)A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當(dāng)弦過點(diǎn)A(3，1)且與CA垂直時(shí)為最短弦，|CA|＝2-32+2-12＝2，∴半弦長(zhǎng)＝r2-(2)圓方程可化為(x－1)2＋y2＝6，圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑為6，則d＝a+1+3a+1因?yàn)橹本€l被圓x2－2x＋y2－5＝0截得的弦長(zhǎng)為2，即26-d2d＝5.整理可得，4a2＋7