新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步章末質(zhì)量檢測(cè)湘教版選擇性必修第一冊(cè)

章末質(zhì)量檢測(cè)(二)平面解析幾何初步(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．過(guò)點(diǎn)A(3，－4)，B(－2，m)的直線l的斜率為－2，則m的值為()A．6B．1C．2D．42．[2022·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)高二月考]圓x2＋2x＋y2＋4y＋1＝0的圓心坐標(biāo)為()A．(1，2)B．(－1，2)C．(1，－2)D．(－1，－2)3．[2022·湖南衡陽(yáng)高二期中]圓(x＋3)2＋(y＋4)2＝16與圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系為()A．相離B．內(nèi)切C．外切D．相交4．過(guò)點(diǎn)(1，2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是()A．x＋2y－5＝0B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0D．x－2y＋3＝05．圓(x＋1)2＋y2＝2上一點(diǎn)到直線y＝x＋5的距離最小值為()A．1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2)6．[2022·湖南長(zhǎng)沙一中月考]設(shè)m∈R，則“1≤m≤2”是“直線l：x＋y－m＝0和圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m有公共點(diǎn)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．過(guò)點(diǎn)P(－2，4)作圓(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，直線l1：ax＋3y＋2a＝0與l平行，則l1與l間的距離是()A．eq\f(28,5)B．eq\f(12,5)C．eq\f(8,5)D．eq\f(2,5)8．[2022·湖南師大附中高二模擬]已知點(diǎn)P(2，2)，若圓C：(x－5)2＋(y－6)2＝r2(r>0)上存在兩點(diǎn)A、B，使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則r的取值范圍是()A．(0，5)B．(0，eq\f(5,2))C．[1，5)D．[eq\r(5)，eq\f(5,2))二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列說(shuō)法正確的是()A．若直線垂直于y軸，則該直線的一個(gè)方向向量為(1，0)，一個(gè)法向量為(0，1)B．若直線的一個(gè)方向向量為(a，a＋1)，則該直線的斜率k＝eq\f(a＋1,a)C．若直線的一個(gè)法向量為v＝(x0，y0)，則a＝(y0，－x0)能作為該直線的一個(gè)方向向量D．任何直線一定存在法向量與方向向量，且兩向量是相互垂直的10．已知ab≠0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(a，b)是圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l⊥OP，直線m的方程是ax＋by＝r2，則下列結(jié)論正確的是()A．m∥lB．m⊥lC．m與圓相離D．m與圓相交11．[2022·湖南懷化高二期末]直線l過(guò)點(diǎn)P(1，2)且與直線x＋ay－3＝0平行．若直線l被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，則實(shí)數(shù)a的值可以是()A．－eq\f(4,3)B．0C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)12．[2022·湖南雅禮中學(xué)高二期中]圓C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，直線l：3x－4y－7＝0，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線l上，則下列結(jié)論正確的是()A．直線l與圓C相交B．|PQ|的最小值是1C．從Q點(diǎn)向圓C引切線，切線長(zhǎng)的最小值是3D．直線y＝k(x－2)＋4與曲線y＝1＋eq\r(4－x2)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是[eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．若直線x＋ay＋1＝0與直線(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．14．[2022·湖南張家界高二期中]若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距和為4，則該直線的方程為_(kāi)_______．15．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：x2＋y2＝1，則過(guò)圓C1與圓C2的兩個(gè)交點(diǎn)且過(guò)原點(diǎn)O的圓的方程為_(kāi)_______．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)的距離之比為eq\f(1,2)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則軌跡C的方程為_(kāi)_______；若軌跡C上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線l：y＝－x＋m的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知兩條直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m、n的值，使(1)l1與l2相交于點(diǎn)(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.18．(本小題滿分12分)直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點(diǎn)為P(－1，2)，求直線l的方程．19．(本小題滿分12分)[2022·湖南嘉禾一中高二月考]已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圓C2：x2＋y2－4y－1＝0.(1)證明：圓C1與圓C2相交；(2)若圓C1與圓C2相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.20．(本小題滿分12分)[2022·湖南長(zhǎng)沙一中高二期中]已知點(diǎn)E(－2，0)，F(xiàn)(2，0)，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝－3.(1)求曲線C的方程；(2)定點(diǎn)A(2，1)，由曲線C外一點(diǎn)P(a，b)向曲線C引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|＝|PA|.求P的軌跡方程．21．(本小題滿分12分)[2022·湖南臨澧一中高二期中]已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m為任意實(shí)數(shù)．(1)求證：直線l必與圓C相交；(2)m為何值時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)AB最短？最短弦長(zhǎng)是多少？(3)若直線l被圓C截得的弦AB的中點(diǎn)為點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．22．(本小題滿分12分)已知以點(diǎn)C(t，eq\f(3,t))(t∈R，t≠0)為圓心的圓過(guò)原點(diǎn)O.(1)設(shè)直線3x＋y－4＝0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；(2)在(1)的條件下，設(shè)B(0，2)，且P，Q分別是直線l：x＋y＋2＝0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|－|PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．章末質(zhì)量檢測(cè)(二)平面解析幾何初步1．解析：由題意知kAB＝eq\f(m＋4,－2－3)＝－2，∴m＝6.答案：A2．解析：由圓x2＋2x＋y2＋4y＋1＝0得，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4，所以圓心為(－1，－2).答案：D3．解析：圓(x＋3)2＋(y＋4)2＝16的圓心C(－3，－4)，半徑r＝4；圓x2＋y2＝4的圓心M(0，0)，半徑R＝2.∴eq\r(（－3－0）2＋（－4－0）2)＝5，R＋r＝4＋2＝6>5.|R－r|＝4－2＝2<5，∴兩圓相交．答案：D4．解析：結(jié)合圖形可知，所求直線為過(guò)點(diǎn)(1，2)且與原點(diǎn)和點(diǎn)(1，2)連線垂直的直線，其斜率為－eq\f(1,2)，直線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：A5．解析：圓心為(－1，0)，直線方程為y＝x＋5，所以d＝eq\f(|－1＋5|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，圓(x＋1)2＋y2＝2上一點(diǎn)到直線y＝x＋5的距離最小值d－r＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).答案：C6．解析：圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m，圓心(1，2)，半徑r＝eq\r(3－m)，則m<3，若直線l與圓C有公共點(diǎn)，則圓心(1，2)到直線的距離d＝eq\f(|3－m|,\r(2))≤eq\r(3－m)，解得：1≤m<3，{m|1≤m≤2}{m|1≤m<3}，所以“1≤m≤2”是“直線l：x＋y－m＝0和圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝3－m有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．答案：A7．解析：直線l的斜率k＝－eq\f(a,3)，l1∥l，又直線l過(guò)點(diǎn)P(－2，4)，所以l：y－4＝－eq\f(a,3)(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0.又直線l與圓相切，所以eq\f(|2a＋3×1＋2a－12|,\r(a2＋9))＝5，所以a＝－4，所以l1與l間距離為d＝eq\f(12,5).答案：B8．解析：取AB的中點(diǎn)D，則CD⊥AB.因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則|PD|＝5|AD|，設(shè)|CD|＝d，則eq\r(|PC|2－d2)＝5eq\r(r2－d2).因?yàn)辄c(diǎn)P(2，2)、C(5，6)，則|PC|2＝(5－2)2＋(6－2)2＝25，所以eq\r(25－d2)＝5eq\r(r2－d2)，得d2＝eq\f(25,24)(r2－1).因?yàn)?≤d<r，則0≤eq\f(25,24)(r2－1)<r2，解得1≤r<5.答案：C9．解析：由直線的方向向量、法向量的定義知A，C，D正確，選項(xiàng)B中，當(dāng)a＝0時(shí)，不成立．答案：ACD10．解析：直線OP的斜率為eq\f(b,a)，直線l的斜率為－eq\f(a,b)，直線l的方程為：ax＋by＝a2＋b2，又P(a，b)在圓外，∴a2＋b2＞r2，故m∥l，圓心(0，0)到直線ax＋by＝r2的距離d＝eq\f(|r2|,\r(a2＋b2))＜eq\f(r2,|r|)＝|r|，故m與圓相交．答案：AD11．解析：設(shè)直線l的方程為x＋ay＋c＝0，過(guò)點(diǎn)P(1，2)，故c＝－1－2a，所以直線l的方程為x＋ay－2a－1＝0，圓x2＋y2＝4的圓心(0，0)，半徑為2，直線l被圓x2＋y2＝4截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，半弦長(zhǎng)為eq\r(3)，則弦心距為1，圓心到直線的距離d＝eq\f(|－2a－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝0或a＝－eq\f(4,3).答案：AB12．解析：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝16，圓心為C(－2，3)，半徑為r＝4.對(duì)于A選項(xiàng)，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(|3×（－2）－4×3－7|,\r(32＋（－4）2))＝5>4，所以，直線l與圓C相離，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，|PQ|的最小值為d－r＝1，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖所示：從Q點(diǎn)向圓C引切線，設(shè)切點(diǎn)分別為M、N，連接CM，則CM⊥MQ，則|MQ|＝eq\r(|CQ|2－|CM|2)＝eq\r(|CQ|2－16)，當(dāng)CQ⊥l時(shí)，|CQ|取得最小值，此時(shí)|MQ|取得最小值，即|MQ|min＝eq\r(52－16)＝3，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由y＝1＋eq\r(4－x2)得y－1＝eq\r(4－x2)，即x2＋(y－1)2＝4，所以，曲線y＝1＋eq\r(4－x2)表示圓x2＋(y－1)2＝4的上半圓，而直線y＝k(x－2)＋4表示過(guò)點(diǎn)A(2，4)且斜率為k的直線，如圖所示：當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4與圓x2＋(y－1)2＝4相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，則eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12)，當(dāng)直線y＝k(x－2)＋4過(guò)點(diǎn)E(－2，1)時(shí)，則4－4k＝1，解得k＝eq\f(3,4).由圖可知，當(dāng)y＝k(x－2)＋4與曲線y＝1＋eq\r(4－x2)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]，D錯(cuò)．答案：BC13．解析：因?yàn)橹本€x＋ay＋1＝0與直線(a－1)x＋2y＋1＝0垂直，所以1×(a－1)＋a×2＝0，解得：a＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．解析：設(shè)所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＝1,a＋b＝4))，解得a＝b＝2，所以直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝015．解析：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原點(diǎn)代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得過(guò)圓C1與圓C2的兩個(gè)交點(diǎn)且過(guò)原點(diǎn)O的圓的方程為：x2＋y2－x－2y＝0.答案：x2＋y2－x－2y＝016．解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，由P到O(0，0)，A(3，0)的距離之比為eq\f(1,2)，∴|PA|2＝4|PO|2，則(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理得：(x＋1)2＋y2＝4，故軌跡C的方程為(x＋1)2＋y2＝4；∴軌跡C是以C(－1，0)為圓心，半徑r＝2的圓，則C到y(tǒng)＝－x＋m的距離為d＝eq\f(|m＋1|,\r(2))，∴當(dāng)d＝1時(shí)，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，若圓C上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線l：y＝－x＋m的距離為1，則d＝eq\f(|m＋1|,\r(2))<1，解得－1－eq\r(2)<m<eq\r(2)－1，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1).答案：(x＋1)2＋y2＝4(－1－eq\r(2)，eq\r(2)－1)17．解析：(1)因?yàn)閘1與l2相交于點(diǎn)(m，－1)，所以點(diǎn)(m，－1)在l1、l2上，將點(diǎn)(m，－1)代入l2，得2m－m－1＝0，解得m＝1.又因?yàn)閙＝1，把(1，－1)代入l1，所以n＝7.故m＝1，n＝7.(2)要使l1∥l2，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－16＝0，,m×（－1）－2n≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.))(3)當(dāng)m≠0時(shí)，(－eq\f(m,8))×(－eq\f(2,m))＝eq\f(1,4)，顯然l1與l2不垂直．當(dāng)m＝0時(shí)，直線l1：y＝－eq\f(n,8)和直線l2：x＝eq\f(1,2)，此時(shí)l1⊥l2.由于l1在y軸上的截距為－1，所以－eq\f(n,8)＝－1，即n＝8.故m＝0，n＝8.18．解析：方法一設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，由已知條件，得直線l與l2的交點(diǎn)為B(－2－x0，4－y0)，并且滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3（－2－x0）－5（4－y0）－5＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x0＋y0＋3＝0，,3x0－5y0＋31＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝5，))因此直線l的方程為eq\f(y－2,5－2)＝eq\f(x－（－1）,－2－（－1）)，即3x＋y＋1＝0.方法二設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0，,4x＋y＋3＝0，))得x＝eq\f(－k－5,k＋4).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋k＋2＝0，,3x－5y－5＝0，))得x＝eq\f(－5k－15,5k－3).則eq\f(－k－5,k＋4)＋eq\f(－5k－15,5k－3)＝－2，解得k＝－3.因此所求直線方程為y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.方法三兩直線l1和l2的方程為(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0，①將上述方程中(x，y)換成(－2－x，4－y)，整理可得l1與l2關(guān)于(－1，2)對(duì)稱圖形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0②①－②整理得3x＋y＋1＝0，即為所求直線方程．19．解析：(1)圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圓心為(－1，－1)，半徑為2，圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝5，圓心為(0，2)，半徑為eq\r(5)，∴圓C1和圓C2的圓心之間的距離為eq\r([0－（－1）]2＋[2－（－1）]2)＝eq\r(10)，由eq\r(5)－2<eq\r(10)<eq\r(5)＋2，可知：圓C1和圓C2相交，得證．(2)由(1)結(jié)論，將圓C1與圓C2作差，得：直線AB的方程為2x＋6y－1＝0，圓C2的圓心(0，2)到直線AB的距離為eq\f(|12－1|,\r(22＋62))＝eq\f(11,2\r(10))，∴|AB|＝2eq\r(（\r(5)）2－（\f(11,2\r(10))）2)＝eq\f(\r(790),10).20．解析：(1)設(shè)M(x，y)，則eq\o(EM,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x－2，y)，所以eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2－4＋y2＝－3，所以曲線C的方程為x2＋y2＝1；(2)因?yàn)镼為切點(diǎn)，則PQ⊥OQ，由勾股定理得|PQ|2＝|PO|2－|OQ|2，又由已知|PQ|＝|PA|，故(a2＋b2)－1＝(a－2)2＋(b－1)2，化簡(jiǎn)得2a＋b－3＝0，所以P的軌跡方程為2a＋b－3＝0.21．解析：(1)由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m∈R，得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，∵m∈R，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0,2x＋y－7＝0))，得x＝3，y＝1，∴直線l恒過(guò)點(diǎn)D(3，1)，又圓C(1，2)，半徑為5，∵CD＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)<5，∴D在圓內(nèi)，則直線l必與圓C相交．(2)由(1)知D在圓內(nèi)，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)AB最短時(shí)，l⊥CD，又kCD＝eq\