（全國(guó)通用）中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題13 二次函數(shù)的應(yīng)用（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（原卷版+解析）

專題13二次函數(shù)的應(yīng)用（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1圖形面積或周長(zhǎng)問(wèn)題】 1【考點(diǎn)2圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】 4【考點(diǎn)3拱橋問(wèn)題】 5【考點(diǎn)4銷售問(wèn)題】 7【考點(diǎn)5投球問(wèn)題】 10【考點(diǎn)6噴水問(wèn)題】 12【考點(diǎn)7增長(zhǎng)率問(wèn)題】 14【考點(diǎn)8車過(guò)隧道問(wèn)題】 15【考點(diǎn)9行程問(wèn)題】 17【考點(diǎn)10其他問(wèn)題】 19【要點(diǎn)1解二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題；檢：檢驗(yàn)所得的解，是否符合實(shí)際，即是否為所提問(wèn)題的答案；答：寫出答案.【考點(diǎn)1圖形面積或周長(zhǎng)問(wèn)題】【例1】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對(duì)稱軸為y軸，高度OC=8dm．現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-1】（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場(chǎng)面積的最大值．【變式1-2】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)AD=4m，寬AB=1m的長(zhǎng)方形水池ABCD進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長(zhǎng)長(zhǎng)度DM為xmx>0，加長(zhǎng)后水池1的總面積為y1m2，則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1=x+4x>0；設(shè)水池2的邊EF的長(zhǎng)為x【問(wèn)題解決】(1)若水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，則EF長(zhǎng)度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________m2(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時(shí)的xm(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，xm(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；(5)假設(shè)水池ABCD的邊AD的長(zhǎng)度為bm，其他條件不變（這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3），則水池3的總面積y3m2關(guān)于xmx>0的函數(shù)解析式為：【變式1-3】（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？【考點(diǎn)2圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】【例2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．PQ交AC于點(diǎn)F，連接(1)當(dāng)EQ⊥AD時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時(shí)刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2-1】（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OC勻速運(yùn)動(dòng)．E，F(xiàn)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤52），在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作等邊三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線(1)若點(diǎn)G落在邊AD上，求t的值；(2)若t=2，求△EFG和矩形ABCD重疊部分的周長(zhǎng)；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．【變式2-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE＝x．（1）當(dāng)AM＝13時(shí)，求x（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出該定值；（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．【變式2-3】（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┮阎喝鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADPQ為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形ADPQ:【考點(diǎn)3拱橋問(wèn)題】【例3】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【變式3-1】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B【變式3-2】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【變式3-3】（2022·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）圖示為一座拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時(shí)，橋洞頂部離水面的距離為2m．(1)若圖中的拱形呈拋物線形狀，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為多少？(2)若圖中的拱形呈圓弧形狀，當(dāng)水面下降1m后，水面寬又為多少？【考點(diǎn)4銷售問(wèn)題】【例4】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；(2)當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式4-1】（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式4-2】（2022·遼寧盤錦·中考真題）精準(zhǔn)扶貧工作已經(jīng)進(jìn)入攻堅(jiān)階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（天）123…x每天的銷售量（千克）101214…

設(shè)第x天的售價(jià)為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤(rùn)是w元．（利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本）(1)將表格中的最后一列補(bǔ)充完整；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售草莓的第幾天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【變式4-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）“八婺”菜場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過(guò)描點(diǎn)（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y1（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為y售價(jià)x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y2（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為y③1~7月份該蔬菜售價(jià)x1（元/千克），成本x2（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式分別為x1請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說(shuō)明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)．【考點(diǎn)5投球問(wèn)題】【例5】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖1的小山丘是科研部門的小球彈射實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，在小山丘一側(cè)的山坡上建有小球彈射發(fā)射裝置，另一側(cè)建有圓柱形小球接收裝置，如圖2為實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的縱截面示意圖，小山丘縱截面的外部輪廓線近似為拋物線的一部分，以小山丘縱截面與地面的交線為x軸，以過(guò)發(fā)射裝置所在的直線AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)射裝置底部在輪廓線的點(diǎn)A處，距離地面為1米，在發(fā)射裝置3米的點(diǎn)B處是發(fā)射點(diǎn)，已知小山丘縱截面的外部輪廓線為C1:y=?1(1)直接寫出c的值，當(dāng)小球離B處的水平距離和豎直距離都為4米時(shí)，求b的值，并求小球到小山丘的豎直距離為1米時(shí)，小球離B處的水平距離；(2)若小球最遠(yuǎn)著陸點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為15米，當(dāng)小球飛行到小山丘頂?shù)恼戏?，且與頂部距離不小于23米時(shí)，求b的取值范圍，并求小球飛行路線的頂點(diǎn)到x(3)圓柱形小球接收裝置的最大截面為矩形CDEF，已知點(diǎn)E在C1上，其橫坐標(biāo)為14，CF∥x軸，CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），請(qǐng)直接寫出b【變式5-1】（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過(guò)程中形成的拋物線．按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y=?112x【變式5-2】（2022·山東青島·?？级＃┤鐖D，一小球M從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)y=12x(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在斜坡OA上的B點(diǎn)有一棵樹，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹高為4，小球M能否飛過(guò)這棵樹？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(3)求小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度．【變式5-3】（2022·河北邯鄲·?？既＃┠称古仪蝠^使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的長(zhǎng)為2.74m．過(guò)點(diǎn)A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線BC為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運(yùn)行時(shí)間為t（s），在桌面上的落點(diǎn)為D，經(jīng)測(cè)試，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：t（s）00.20.40.60.8．．．x（m）00.511.52．．．y（m）0.250.40.450.40.25．．．(1)當(dāng)t＝s時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度；猜想y與x之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求出函數(shù)關(guān)系式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間位于球網(wǎng)正上方，此時(shí)乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(3)乒乓球落在點(diǎn)D后隨即彈起，沿拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運(yùn)動(dòng)，小明拿球拍EF與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長(zhǎng)為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L′與EF在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的距離【考點(diǎn)6噴水問(wèn)題】【例6】（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)2.5m；噴頭高4m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)3m．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m．【變式6-1】（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開(kāi)研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax??(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【變式6-2】（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為?（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度為EF的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d(1)若?=1.5，EF=0.5m①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍；(2)若EF=1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出?【變式6-3】（2022·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目．如圖，運(yùn)動(dòng)員通過(guò)助滑道后在點(diǎn)A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處．騰空點(diǎn)A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，75），（8，78）．(1)求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)在空中飛行過(guò)程中，求運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離；(3)落點(diǎn)P與坡頂C之間的距離為m．【考點(diǎn)7增長(zhǎng)率問(wèn)題】【例7】（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考一模）為了打造“清潔能源示范城市”，東營(yíng)市2016年投入資金2560萬(wàn)元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬(wàn)元.（1）從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為多少？（2）2019年?yáng)|營(yíng)市計(jì)劃再安裝A、B兩種型號(hào)的充電樁共200個(gè).已知安裝一個(gè)A型充電樁需3.5萬(wàn)元，安裝一個(gè)B型充電樁需4萬(wàn)元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號(hào)充電樁各安裝多少個(gè)時(shí)，所需資金最少，最少為多少？【變式7-1】（2022·浙江麗水·校聯(lián)考三模）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y=2.41+2x B．C．y=2.41+x2 【變式7-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）某工廠前年的生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增長(zhǎng)率為x，預(yù)計(jì)今年比去年的年增長(zhǎng)率仍為x，今年的總產(chǎn)值為y萬(wàn)元．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)x=20%時(shí)，今年的總產(chǎn)值為多少？（3）在（2）的條件下，前年、去年和今年三年的總產(chǎn)值為多少萬(wàn)元？【變式7-3】（2022·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考二模）為積極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？【考點(diǎn)8車過(guò)隧道問(wèn)題】【例8】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【綜合與實(shí)踐】如圖1，一個(gè)橫斷面呈拋物線狀的公路隧道，其高度PH為8米，寬度OA為16米．車輛在此隧道可以雙向通行，但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米（AB=2米）這一范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道的最小空隙CD不少于12米．如圖2，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OA所在直線為x(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)是______，拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是______；(2)求出這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3)根據(jù)題中的要求，可以確定通過(guò)隧道車輛的高度不能超過(guò)______米．【變式8-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)單向隧道的斷面，隧道頂是一條拋物線的一部分，經(jīng)測(cè)量，隧道頂?shù)目缍葹?米，最高處到地面的距離為4米，兩側(cè)墻高均為3米，距左側(cè)墻壁1米和3米時(shí)，隧道高度均為3.75米．設(shè)距左側(cè)墻壁水平距離為x米的地點(diǎn)，隧道高度為y米．請(qǐng)解決以下問(wèn)題：(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；(2)請(qǐng)結(jié)合所畫圖象，寫出拋物線的對(duì)稱軸；(3)今有寬為2.4米的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的高度為3.2米，要求卡車從隧道中間通過(guò)時(shí)，為保證安全，要求卡車載物后最高點(diǎn)到隧道頂面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離均不小于0.6米，結(jié)合所畫圖象，試判斷該卡車能否通過(guò)隧道．【變式8-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考一模）某坦克部隊(duì)需要經(jīng)過(guò)一個(gè)拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；（2）若支柱每米造價(jià)為2萬(wàn)元，求5根支柱的總造價(jià)；（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道是坦克的行進(jìn)方向，現(xiàn)每輛坦克長(zhǎng)4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計(jì)，試問(wèn)120輛該型號(hào)坦克從剛開(kāi)始進(jìn)入到全部通過(guò)這座長(zhǎng)1000m的拱橋隧道所需最短時(shí)間為多少分鐘？【變式8-3】（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點(diǎn)P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長(zhǎng)l（?。┬藿ㄒ粋€(gè)“”型柵欄，如圖2，點(diǎn)P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)為m0<m≤6，求柵欄總長(zhǎng)l與（ⅱ）現(xiàn)修建一個(gè)總長(zhǎng)為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4【考點(diǎn)9行程問(wèn)題】【例9】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1是城市平直道路，道路限速60km/h，A路口停車線l1和B路口停車線l2之間相距S＝400m，A、B兩路口各有一個(gè)紅綠燈．在停車線l1后面停著一輛汽車，該汽車的車頭恰好與停車線l1平齊，已知汽車啟動(dòng)后開(kāi)始加速，加速后汽車行駛的路程S、速度v與時(shí)間(1)求該汽車從停車線l1(2)求該汽車最快需要多少時(shí)間可以通過(guò)停車線l2(3)若A路口綠燈亮起29s后B路口綠燈亮起，且B路口綠燈的持續(xù)時(shí)間為23s．該汽車先加速行駛，然后一直勻速行駛．若該汽車在B路口綠燈期間能順利通過(guò)停車線l2【變式9-1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考一模）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開(kāi)始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當(dāng)甲車減速至9m/s時(shí)，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時(shí)相距最近，最近距離是多少？【變式9-2】（2022·安徽合肥·校考二模）某汽車公司為確定一種型號(hào)的新能源汽車在高速公路上緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時(shí)的速度大小x（單位：km?）函數(shù)關(guān)系．測(cè)得該汽車在速度大小為40km/h時(shí)，緊急剎車后滑行的距離為4m；速度大小為80km/h時(shí)，緊急剎車后滑行的距離為12m．已知緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時(shí)的速度大小x(1)求a，b的值(2)若兩次測(cè)量中，剎車時(shí)的速度大小之差為20，滑行距離之差為6，求兩次測(cè)量中，剎車時(shí)的速度大小的平均值．【變式9-3】（2022·北京·校考一模）某地想要建造兒童直線斜坡軌道滑車設(shè)施（如圖），為防止滑車下滑速度過(guò)快，軌道與地面夾角要適度，根據(jù)兒童能夠在斜坡軌道上的滑行時(shí)間來(lái)確定直線斜坡軌道的長(zhǎng)度．為解決此問(wèn)題，小明用小車沿斜面滑下的實(shí)驗(yàn)來(lái)模擬此過(guò)程．借助打點(diǎn)計(jì)時(shí)器（一種測(cè)量短暫時(shí)間的工具，每隔0.02s打一次點(diǎn)），讓小車帶動(dòng)紙帶通過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器，再按順序測(cè)得相鄰各點(diǎn)之間的距離數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間（秒）00.020.040.060.080.10相鄰各點(diǎn)的距離（厘米）00.30.50.70.91.0(1)當(dāng)時(shí)間為0.04秒時(shí)，滑行距離是______厘米；(2)請(qǐng)?jiān)谙聢D網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以滑行距離為縱坐標(biāo)，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算并描點(diǎn)，用平滑的曲線連起來(lái)；(3)通過(guò)計(jì)算確定滑車能夠在斜坡軌道上滑行10秒時(shí)直線斜坡軌道的長(zhǎng)度．【考點(diǎn)10其他問(wèn)題】【例10】（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進(jìn)行核酸抽樣檢測(cè)；防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入操場(chǎng)進(jìn)行核酸檢測(cè)情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進(jìn)入操場(chǎng)的累計(jì)人數(shù)y（單位：人）與時(shí)間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：y=a時(shí)間x（分鐘）0123…88<x?10累計(jì)人數(shù)y（人）0150280390…640640(1)求a，b，c的值；(2)如果學(xué)生一進(jìn)入操場(chǎng)就開(kāi)始排隊(duì)進(jìn)行核酸檢測(cè)，檢測(cè)點(diǎn)有4個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)5人，求排隊(duì)人數(shù)的最大值（排隊(duì)人數(shù)-累計(jì)人數(shù)-已檢測(cè)人數(shù)）；(3)在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測(cè)需要多少時(shí)間？如果要在不超過(guò)20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測(cè)，從一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？【變式10-1】（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）為增強(qiáng)民眾生活幸福感，市政府大力推進(jìn)老舊小區(qū)改造工程．和諧小區(qū)新建一小型活動(dòng)廣場(chǎng)，計(jì)劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種花卉種植費(fèi)用y（元/m2）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉種植費(fèi)用為15元/m2．(1)當(dāng)x≤100時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)甲種花卉種植面積不少于30m2，且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時(shí)．①如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費(fèi)用w（元）最少？最少是多少元？②受投入資金的限制，種植總費(fèi)用不超過(guò)6000元，請(qǐng)直接寫出甲種花卉種植面積x的取值范圍．【變式10-2】（2022·河北保定·?？家荒＃┬滦徒ú模葱滦徒ㄖ牧希┦菂^(qū)別于傳統(tǒng)的磚瓦、灰砂石等建材的建筑材料新品種，行業(yè)內(nèi)將新型建筑材料的范圍作了明確的界定，即新型建筑材料主要包括新型墻體材料、新型防水保溫隔熱密封材料和裝飾裝修材料三大類，某開(kāi)發(fā)商承建一精密實(shí)驗(yàn)室，要求全部使用新型建筑材料，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：新型建筑材料總成本包括裝飾裝修材料成本、新型墻體材料成本和新型防水保溫隔熱密封材料成本，其中裝飾裝修材料成本固定不變?yōu)?00萬(wàn)元，新型墻體材料成本與建筑面積x（m2）成正比，新型防水保溫隔熱密封材料成本與建筑面積x（m2）的平方成正比，在建筑過(guò)程中，設(shè)新型建筑材料總成本為y（萬(wàn)元），獲得如下數(shù)據(jù)：x（單位：m2）2050y（單位：萬(wàn)元）240600(1)求新型建筑材料總成本為y（萬(wàn)元）與建筑面積x（m2）的函數(shù)表達(dá)式；(2)在建筑過(guò)型中，開(kāi)發(fā)商測(cè)算出此時(shí)每平方米的平均成本為12萬(wàn)元，求此時(shí)完成的建筑面積；(3)設(shè)建設(shè)該廠房每平方米的毛利潤(rùn)為Q（萬(wàn)元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知當(dāng)x＝50時(shí)，Q為12.5萬(wàn)元，且此時(shí)開(kāi)發(fā)商總純利潤(rùn)W最大，求k、b的值．（純利潤(rùn)＝毛利潤(rùn)﹣成本）【變式10-3】（2022·河北承德·統(tǒng)考二模）在建筑工人臨時(shí)宿舍外，有兩根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無(wú)法繃直，其形狀可近似看成拋物線y=120x2+bx+c，已知繩子最低點(diǎn)距離地面74米．以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BD為(1)求立柱AB的長(zhǎng)度；(2)一段時(shí)間后，繩子被抻長(zhǎng)，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4米的地方加上一根立柱MN撐起繩子，這時(shí)立柱左側(cè)的拋物線F1的最低點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)A下降了1米，距立柱MN也是1米，如圖2所示，求MN(3)若加在線段BD之間的立柱MN的長(zhǎng)度是2.4米，并通過(guò)調(diào)整MN的位置，使拋物線F1的開(kāi)口大小與拋物線y=112x2+1專題13二次函數(shù)的應(yīng)用（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1圖形面積或周長(zhǎng)問(wèn)題】 1【考點(diǎn)2圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】 9【考點(diǎn)3拱橋問(wèn)題】 19【考點(diǎn)4銷售問(wèn)題】 26【考點(diǎn)5投球問(wèn)題】 32【考點(diǎn)6噴水問(wèn)題】 40【考點(diǎn)7增長(zhǎng)率問(wèn)題】 48【考點(diǎn)8車過(guò)隧道問(wèn)題】 51【考點(diǎn)9行程問(wèn)題】 58【考點(diǎn)10其他問(wèn)題】 65【要點(diǎn)1解二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題；檢：檢驗(yàn)所得的解，是否符合實(shí)際，即是否為所提問(wèn)題的答案；答：寫出答案.【考點(diǎn)1圖形面積或周長(zhǎng)問(wèn)題】【例1】（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對(duì)稱軸為y軸，高度OC=8dm．現(xiàn)計(jì)劃將此余料進(jìn)行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長(zhǎng)最大，求此矩形的周長(zhǎng)；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)96?325dm(2)20dm；(3)能切得半徑為3dm的圓．【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來(lái)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m，表示在二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可得到關(guān)于m的方程進(jìn)行求解；（2）如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的周長(zhǎng)求最大值即可；（3）設(shè)半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線小腳，設(shè)交點(diǎn)為N，求出交點(diǎn)N的坐標(biāo)，并計(jì)算點(diǎn)N是⊙M與拋物線在y軸右側(cè)的切點(diǎn)即可．【詳解】（1）由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，∵對(duì)稱軸為y軸，∴b=0，將A、C代入得，a=?12，則二次函數(shù)解析式為y=?1如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長(zhǎng)為2m，則P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為（m，2m）代入二次函數(shù)解析式得，?12m∴2m=45?4則正方形的面積為96?325（2）如下如所示矩形DEFG，設(shè)DE=2n，則E（n，0）將x=n代入二次函數(shù)解析式，得y=?1則EF=?1矩形DEFG的周長(zhǎng)為：2（DE+EF）=2（2n+?12n當(dāng)n=2時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，最大周長(zhǎng)為20dm；（3）若能切成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：如圖，N為⊙M上一點(diǎn)，也是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作⊙M的切線交y軸于點(diǎn)Q，連接MN，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥y軸于P，設(shè)Nm,?由勾股定理得：PM∴m解得：m1=22∴N2∴PM=4?3=1∵cos∴QM=3MN=9∴Q設(shè)QN的解析式為：y=kx+b∴b=12∴k=?2∴QN的解析式為：y=?2與拋物線聯(lián)立為：?1Δ所以此時(shí)N為⊙M與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點(diǎn)，所以若切割成圓，能夠切成半徑為3dm的圓．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場(chǎng)面積的最大值．【答案】288m2【分析】設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為47?x+12m，設(shè)雞場(chǎng)面積為ym2【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長(zhǎng)為47?x+12m，設(shè)雞場(chǎng)面積為ym2根據(jù)題意，得y=x?47?x+1∴當(dāng)x=24時(shí)，y有最大值為288，∴雞場(chǎng)面積的最大值為288m2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式．【變式1-2】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對(duì)景觀帶中一個(gè)長(zhǎng)AD=4m，寬AB=1m的長(zhǎng)方形水池ABCD進(jìn)行加長(zhǎng)改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長(zhǎng)方形，以下簡(jiǎn)稱水池1），同時(shí)，再建造一個(gè)周長(zhǎng)為12m【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長(zhǎng)長(zhǎng)度DM為xmx>0，加長(zhǎng)后水池1的總面積為y1m2，則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1=x+4x>0；設(shè)水池2的邊EF的長(zhǎng)為x【問(wèn)題解決】(1)若水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，則EF長(zhǎng)度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________m2(2)在圖③字母標(biāo)注的點(diǎn)中，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是_________，此時(shí)的xm(3)當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，xm(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個(gè)水池面積差的最大值和此時(shí)x的值；(5)假設(shè)水池ABCD的邊AD的長(zhǎng)度為bm，其他條件不變（這個(gè)加長(zhǎng)改造后的新水池簡(jiǎn)稱水池3），則水池3的總面積y3m2關(guān)于xmx>0的函數(shù)解析式為：【答案】(1)3<x<6；9(2)C，E；1，4；(3)0<x<1或4<x<6(4)94，(5)25【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解決問(wèn)題；（2）交點(diǎn)即為面積相等的點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)可得結(jié)論；（4）求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（5）根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)Δ=0，求出b【詳解】（1）∵y∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，9），對(duì)稱軸為x=3，∵水池2的面積隨EF長(zhǎng)度的增加而減小，∴EF長(zhǎng)度的取值范圍是3<x<6；水池2面積的最大值是9m2故答案為：3<x<6；9；（2）由圖象得，兩函數(shù)交于點(diǎn)C，E，所以，表示兩個(gè)水池面積相等的點(diǎn)是C，E；聯(lián)立方程組y=x+4y=?解得，x∴x的值為1或4，故答案為：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直線在拋物線上方時(shí)，0<x<1或4<x<6，所以，水池1的面積大于水池2的面積時(shí)，xm的取值范圍是0<x<1或4<x<6故答案為0<x<1或4<x<6；（4）在1<x<4范圍內(nèi)，兩個(gè)水池面積差M=(?x∵?1<0,∴函數(shù)有最大值，∵0<x<6∴當(dāng)x=52即，當(dāng)x=52（5）∵水池3與水池2的面積相等，∴x+b=?x整理得，x2∵xm∴Δ=解得，b=【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問(wèn)BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？【答案】(1)CG長(zhǎng)為8m，DG長(zhǎng)為4m(2)當(dāng)BC=72m時(shí)，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=1474【分析】（1）兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-72)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=72m時(shí)，y最大=1474m【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．【考點(diǎn)2圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題】【例2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．PQ交AC于點(diǎn)F，連接(1)當(dāng)EQ⊥AD時(shí)，求t的值；(2)設(shè)四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時(shí)刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)16(2)S=(3)存在，t=【分析】（1）利用△AQE∽△AED得AQAE=AE（2）分別過(guò)點(diǎn)C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分別為M，N，證△ABC∽△CAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125（3）當(dāng)PQ∥CD時(shí)∠AQP=∠ADC，易證△APQ∽△MCD，得出APMC=AQMD，則（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADE∴AD=5∵EQ⊥AD∴∠AQE=∠AED=90°又∠EAQ=∠DAE∴△AQE∽△AED∴AQ∴t∴t=答：當(dāng)EQ⊥AD時(shí)，t的值為165（2）解：分別過(guò)點(diǎn)C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分別為M，N∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°∴∠B=∠CAM又∠BCA=∠AMC=90°∴△ABC∽△CAM∴AB∴5∴AM=∵∠B=∠B∴△BPN∽△BAC∴BP∴t∴PN=∴SS∴S==6+8?=∴S=（3）解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使PQ∥CD∵AD=5,AM=∴DM=AD?AM=5?∵PQ∥CD∴∠AQP=∠ADC又∠PAQ=∠CMD=90°∴△APQ∽△MCD∴AP∴5?t∴t=∴存在時(shí)刻t=6529s【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與相似，利用勾股定理求線段長(zhǎng)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到相似圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是中考中的常考題．【變式2-1】（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OC勻速運(yùn)動(dòng)．E，F(xiàn)兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤52），在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作等邊三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線(1)若點(diǎn)G落在邊AD上，求t的值；(2)若t=2，求△EFG和矩形ABCD重疊部分的周長(zhǎng)；(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)1(2)11+(3)s=【分析】（1）由題意得BE=t，OF=2t，EFt=3＋t，列出方程求解即可；（2）設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點(diǎn)M，N，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)K，求出KF=2，KC=3，再求出KN=2，MN=1，ME=4，最后求得△EFG和矩形ABCD重疊部分的周長(zhǎng)；（3）分當(dāng)0≤t≤1時(shí)、當(dāng)1＜t≤32時(shí)、當(dāng)32＜t≤52時(shí)，對(duì)三種情況進(jìn)行討論，分別求出S(1)由題意，得OB=OC=3，BE=t，OF=2t，∴EF=OB－BE＋OF=3－t＋2t=3＋t．當(dāng)G落在AD上時(shí)，如圖①，G到EF的距離為2∴EF=4，即3＋t=4，t=1．(2)當(dāng)t=2時(shí)（如圖②），設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點(diǎn)M，N，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)K，則BE=2，OF=4，EC=4，CF=1．在Rt△CFK中，∠F=60°，∴KF=2，KC=3．∵CD=23∴KC=3，即K是CD的中點(diǎn)．∴KN=2，MN=1，ME=4．∴重疊部分的周長(zhǎng)=4+3+2+1+4=11+3．(3)(i)當(dāng)0≤t≤1時(shí)，由（1）知，S=S△EFG=3(t+3)24(ii)當(dāng)1＜t≤32設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點(diǎn)M，N，則MN=t－1，∴S=S四邊形MNFE=(t－1＋t＋3)×232=

(iii)當(dāng)32＜t≤5設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點(diǎn)M，N，F(xiàn)G與CD相交于點(diǎn)K，則MN=t－1，CF=2t－3，CK=3(2t?3)∴S=S四邊形MNFE－S△CFK=(t－1＋t＋3)×232－3(2t?3)綜上所述，S=3【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的有關(guān)知識(shí)以及多邊形面積求法，關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論得出．【變式2-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M始終落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，設(shè)BE＝x．（1）當(dāng)AM＝13時(shí)，求x（2）隨著點(diǎn)M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出該定值；（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最小值．【答案】（1）x＝59；（2）不變，△MDP的周長(zhǎng)為2；（3）S=12t?122+【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)得ME＝BE＝x，則AE＝1－x，在根據(jù)勾股定理列式求出x的值；（2）連接AM、BO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，垂足為H，證明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周長(zhǎng)就等于AD＋DC，是定值；（3）連接BM，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，證明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，設(shè)AM＝a，根據(jù)勾股定理列式得到a與x的關(guān)系式，表示出CF和BE長(zhǎng)，得到三角形面積表達(dá)式，再求出最值．【詳解】（1）由折疊可知ME＝BE＝x，∴AE＝1－x，在Rt△AEM中，由AM＝13，得1解得x＝59（2）如圖，連接AM、BO，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MN，垂足為H，∵EB＝EM，∴∠EBM＝∠EMB，∵∠EBC＝∠EMN，∴∠MBC＝∠BMN，∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，∴△BAM≌△BHM，∴AM＝HM，BH＝AB，∵BC＝AB，∴BH＝BC，∵BP＝BP，∴Rt△BHP≌Rt△BCP，∴HP＝PC，∴△MDP的周長(zhǎng)＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，∴△MDP的周長(zhǎng)為2；（3）如圖，連接BM，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，則QF＝BC＝AB，∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，∴∠BEF＝∠AMB，∵∠A＝∠EQF，∴△AMB≌△QEF，∴AM＝EQ，設(shè)AM＝a，則a2∴a＝2x?1，∴CF＝x－2x?1，∴S＝12＝12(x－2x?1＋x＝12(2x－2x?1設(shè)2x?1＝t，則2x=tS=1∴當(dāng)t＝12，即x＝58時(shí)，面積的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，折疊性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)最值的求解，需要掌握數(shù)形結(jié)合的思想．【變式2-3】（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┮阎喝鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADPQ為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形ADPQ:【答案】(1)20(2)y=(3)存在，2【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ∥（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，證明△BPE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE、PD，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求出t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4∴AB=A∵PD∥∴當(dāng)PQ∥AC時(shí)，四邊形∴QBAB=BP解得，t=20答：當(dāng)t=2013時(shí)，四邊形（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，∵∠PEB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△BPE∽△BAC，∴PEAC=BP解得，PE=3∵PD∥∴∠DPC=∠B，∠C=∠C，∴△CPD∽△CBA，∴PDAB=CP解得，PD=20?5t∴y===9（3）解：若存在某一時(shí)刻，使S四邊形則y=∵S∴940解得，t1=0（舍去），則t為2s時(shí)，S【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理．【考點(diǎn)3拱橋問(wèn)題】【例3】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【答案】149##【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，通過(guò)代入A點(diǎn)坐標(biāo)（?3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫圖可得知O為原點(diǎn)，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標(biāo)為（0，2），通過(guò)以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，把點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)（?3，0）代入得，∴9a+2=0，∴a=?2∴拋物線解析式為：y=?2當(dāng)水面下降，水面寬為8米時(shí)，有把x=4代入解析式，得y=?2∴水面下降149故答案為：149【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B【答案】(1)y=?(2)A(5?【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)2+9（2）根據(jù)題意知，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可解決問(wèn)題．【詳解】（1）依題意，頂點(diǎn)P(5,9)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x?5)將(0,0)代入，得0=a(0?5)2+9∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?9（2）令y=6，得?9解之，得x1∴A(5?5【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析，y=?120x2；任務(wù)二：懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意，以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式即可求解；任務(wù)二：根據(jù)題意，求得懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y≥?5+1.8+1+0.4=?1.8，進(jìn)而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)的范圍；任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛燈籠；方案二：如圖3，從對(duì)稱軸兩側(cè)開(kāi)始懸掛燈籠，正中間兩盞與對(duì)稱軸的距離均為0.8m，根據(jù)題意求得任意一種方案即可求解．【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為(0,0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(10,?5)．設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為y=ax則?5=100a，∴a=?1∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=?1任務(wù)二：∵水位再上漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m，燈籠長(zhǎng)0.4m，∴懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y≥?5+1.8+1+0.4=?1.8，∴懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是?1.8．當(dāng)y=?1.8時(shí)，?1.8=?120x2，解得∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是?6≤x≤6．任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛燈籠．∵?6≤x≤6，相鄰兩燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m，∴若頂點(diǎn)一側(cè)掛4盞燈籠，則1.6×4>6，若頂點(diǎn)一側(cè)掛3盞燈籠，則1.6×3<6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多可掛3盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛7盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是?4.8．方案二：如圖3，從對(duì)稱軸兩側(cè)開(kāi)始懸掛燈籠，正中間兩盞與對(duì)稱軸的距離均為0.8m，∵若頂點(diǎn)一側(cè)掛5盞燈籠，則0.8+1.6×(5?1)>6，若頂點(diǎn)一側(cè)掛4盞燈籠，則0.8+1.6×(4?1)<6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多可掛4盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛8盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是?5.6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）圖示為一座拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時(shí)，橋洞頂部離水面的距離為2m．(1)若圖中的拱形呈拋物線形狀，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為多少？(2)若圖中的拱形呈圓弧形狀，當(dāng)水面下降1m后，水面寬又為多少？【答案】（1）66m；（2）當(dāng)水面下降1m后，水面寬為2【分析】（1）先建立直角坐標(biāo)系，求出函數(shù)解析式，計(jì)算當(dāng)y=-1時(shí)的橫坐標(biāo)即可得到答案；（2）設(shè)弧AB的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，交弧于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)C，連接OB，設(shè)圓的半徑為xm，根據(jù)勾股定理列方程求出半徑，設(shè)水位下降1m后的水面寬為EF，交OD于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理即可求出答案.【詳解】（1）以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B（6，0），A（-6，0），∵（0，2）在拋物線上，∴設(shè)其拋物線為：y=ax2+2，把（6，0）代入得：0=a×62+2，∴a=?1∴拋物線為：y=?1當(dāng)y=-1時(shí)，有?1=?1解得x=±36∴此時(shí)水面的寬為：2×36（2）如圖，設(shè)弧AB的圓心為O，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，交弧于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)C，連接OB，則CD=2，BC=6．設(shè)圓的半徑為xm，則OC=(x-2)m由勾股定理得：(x-2)2+62=x2解得：x=10設(shè)水位下降1m后的水面寬為EF，交OD于點(diǎn)M，則OM=10-3=7(m)，

連接OF，由勾股定理得：MF=102∴當(dāng)水面下降1m后，水面寬為251【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)解析式的求法，勾股定理，圓的性質(zhì)，正確理解拋物線和圓的圖形特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)4銷售問(wèn)題】【例4】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；(2)當(dāng)B品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)B品牌粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元(2)當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低a元，利潤(rùn)為w元，列出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30故A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元；（2）解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低a元，利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得，w=54?a?30∵?5<0，∴當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)y=?2x+100；(2)40元或20元；(3)當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元；【分析】（1）直接由待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出w與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)（25，50）和點(diǎn)（35，30）代入，得25k+b=5035k+b=30，解得k=?2∴一次函數(shù)的解析式為y=?2x+100；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是x元，則(x?10)×(?2x+100)=600，解得：x1=40，∴當(dāng)天玩具的銷售單價(jià)是40元或20元；（3）解：根據(jù)題意，則w=(x?10)×(?2x+100)，整理得：w=?2(x?30)∵?2<0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，最大值為800；∴當(dāng)玩具的銷售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的找出題目的關(guān)系，從而進(jìn)行解題．【變式4-2】（2022·遼寧盤錦·中考真題）精準(zhǔn)扶貧工作已經(jīng)進(jìn)入攻堅(jiān)階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（天）123…x每天的銷售量（千克）101214…

設(shè)第x天的售價(jià)為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤(rùn)是w元．（利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本）(1)將表格中的最后一列補(bǔ)充完整；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售草莓的第幾天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)y＝{(3)銷售草莓的第30天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是272元【分析】（1）設(shè)每天的銷售量為z，則用待定系數(shù)法可求出每天的銷售量與銷售天數(shù)x的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式填表即可；（2）根據(jù)圖像寫出分段函數(shù)即可；（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系列出x和w之間的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）設(shè)每天的銷量為z，∵每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，∴z＝sx+t，∵當(dāng)x＝1時(shí)，z＝10，x＝2時(shí)z＝12，∴{s+t=10解得{s=2即z＝2x+8，當(dāng)x=30時(shí)，銷售量z=68，則將表格中的最后一列補(bǔ)充完整如下表：x（天）123…30每天的銷售量（千克）101214…68（2）由函數(shù)圖像知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y與x成一次函數(shù)，且函數(shù)圖像過(guò)(10，14)，(20，9)，設(shè)y＝kx+b，∴{10k+b=14解得{k=?∴y＝-12當(dāng)20＜x≤30時(shí)，y＝9，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝{?（3）由題意知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，w＝(2x+8)(?12x+19?5)∴此時(shí)當(dāng)x＝12時(shí)，w有最大值為256，當(dāng)20＜x≤30時(shí)，w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，∴此時(shí)當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值為272，綜上所述，銷售草莓的第30天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是272元．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）“八婺”菜場(chǎng)指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過(guò)描點(diǎn)（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y1（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為y售價(jià)x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y2（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為y③1~7月份該蔬菜售價(jià)x1（元/千克），成本x2（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式分別為x1請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說(shuō)明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)．【答案】(1)a=?(2)在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大，見(jiàn)解析(3)該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)為5元/千克，按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)為8000元【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)w=x（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤(rùn)即可．（1）把x=3,y=7.2，x=4,y=5.8代入9a+c=7.2,②-①，得7a=?1.4，解得a=?1把a(bǔ)=?15代入①，得∴a=?1（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)題意，有w=x化簡(jiǎn)，得w=?1∵?14<0,t=4∴當(dāng)t=4時(shí)，w有最大值．答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大．（3）由y供給=y化簡(jiǎn)，得x2+5x?50=0，解得∴售價(jià)為5元/千克．此時(shí)，y供給=y把x=5代入x售價(jià)=1把t=6代入w=?14t∴總利潤(rùn)=w?y=2×4000=8000（元）．答：該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)為5元/千克，按此價(jià)格出售獲得的總利潤(rùn)為8000元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)圖象得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5投球問(wèn)題】【例5】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖1的小山丘是科研部門的小球彈射實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地，在小山丘一側(cè)的山坡上建有小球彈射發(fā)射裝置，另一側(cè)建有圓柱形小球接收裝置，如圖2為實(shí)驗(yàn)場(chǎng)地的縱截面示意圖，小山丘縱截面的外部輪廓線近似為拋物線的一部分，以小山丘縱截面與地面的交線為x軸，以過(guò)發(fā)射裝置所在的直線AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)射裝置底部在輪廓線的點(diǎn)A處，距離地面為1米，在發(fā)射裝置3米的點(diǎn)B處是發(fā)射點(diǎn)，已知小山丘縱截面的外部輪廓線為C1:y=?1(1)直接寫出c的值，當(dāng)小球離B處的水平距離和豎直距離都為4米時(shí)，求b的值，并求小球到小山丘的豎直距離為1米時(shí)，小球離B處的水平距離；(2)若小球最遠(yuǎn)著陸點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為15米，當(dāng)小球飛行到小山丘頂?shù)恼戏?，且與頂部距離不小于23米時(shí)，求b的取值范圍，并求小球飛行路線的頂點(diǎn)到x(3)圓柱形小球接收裝置的最大截面為矩形CDEF，已知點(diǎn)E在C1上，其橫坐標(biāo)為14，CF∥x軸，CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），請(qǐng)直接寫出b【答案】(1)c=4；b=32；小球離(2)98≤b≤193(3)157【分析】（1）有題意可得點(diǎn)B坐標(biāo)，然后代入可求得c的值；先求出C2的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)值的差為1可求得此時(shí)小球離B（2）先將x=15代入拋物線C1，可得最遠(yuǎn)著陸點(diǎn)在小山丘外的平地上，再將x=15代入拋物線C2，可得b的取值范圍，然后求出（3）由題意可得，小球恰好落在裝置內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)范圍是13—14，分別將x=13和x=14代入函數(shù)表達(dá)式求出對(duì)應(yīng)b的取值范圍即可．【詳解】（1）由題意可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,4，將B0,4代入C解得c=4；∵C1與y軸交于點(diǎn)A∴A0,1，B0,4．由題意可知，拋物線∴?18×∴拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=?∵小球與小山丘的豎直距離為1米，∴?1解得：x1=?4（不合題意，舍去），∴當(dāng)小球與小山丘的豎直距離為1米時(shí)，小球離B處的水平距離為12米；（2）將x=15代入拋物線C1，得y=?∴最遠(yuǎn)著陸點(diǎn)在小山丘外的平地上，其坐標(biāo)為（15，0）將x=15代入拋物線C2，得y=?解得：b≤∵拋物線C1:y=?1∵當(dāng)小球飛行到小山丘頂正上方，且與頂部距離不小于23∴y=?18∴b的取值范圍是98∵c=4，∴拋物線C2:y=?18x∵98≤b≤193120，∴當(dāng)b=9∴小球飛行路線的項(xiàng)點(diǎn)到x軸距離的最小值為20932（3）∵拋物線C當(dāng)x=14時(shí)，y=?1∴E14,1∵DE=1，CD=1.5，∴C13,2.5當(dāng)x=13時(shí)，y=?1∴C1與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)為若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），則當(dāng)x=13時(shí)，y=?18×當(dāng)x=14時(shí)，y=?18×故b的取值范圍：157104【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過(guò)程中形成的拋物線．按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y=?112x【答案】10【分析】由圖可知，要求OA的長(zhǎng)實(shí)際是需要點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0，將y=0代入函數(shù)的解析式，求出x的值，再舍去不符合實(shí)際的一個(gè)x的值即可．【詳解】將y=0代入y=?10=?整理得：x（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是10m．故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·山東青島·?？级＃┤鐖D，一小球M從斜坡OA上的O點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)y=12x(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在斜坡OA上的B點(diǎn)有一棵樹，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，樹高為4，小球M能否飛過(guò)這棵樹？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；(3)求小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度．【答案】(1)y=?(2)小球M能飛過(guò)這棵樹，理由見(jiàn)解析(3)小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度為49【分析】（1）根據(jù)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為4,8，設(shè)拋物線解析式為y=a(x?4)2+8（2）把x=2分別代入y=?12(x?4)（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：小球到達(dá)的最高的點(diǎn)坐標(biāo)為4,8，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x?4)把0,0代入得，0=a(0?4)解得：a=?1∴拋物線的表達(dá)式為y=?1（2）當(dāng)x=2時(shí)，y1=1∵6?1>4，∴小球M能飛過(guò)這棵樹；（3）小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的高度?=?1∴小球M在飛行的過(guò)程中離斜坡OA的最大高度為498【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·河北邯鄲·?？既＃┠称古仪蝠^使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的長(zhǎng)為2.74m．過(guò)點(diǎn)A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線BC為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運(yùn)動(dòng)路線為拋物線的一部分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運(yùn)行時(shí)間為t（s），在桌面上的落點(diǎn)為D，經(jīng)測(cè)試，得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：t（s）00.20.40.60.8．．．x（m）00.511.52．．．y（m）0.250.40.450.40.25．．．(1)當(dāng)t＝s時(shí)，乒乓球達(dá)到最大高度；猜想y與x之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求出函數(shù)關(guān)系式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間位于球網(wǎng)正上方，此時(shí)乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(3)乒乓球落在點(diǎn)D后隨即彈起，沿拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運(yùn)動(dòng)，小明拿球拍EF與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長(zhǎng)為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L′與EF在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的距離【答案】(1)0.4；y與x之間存在二次函數(shù)關(guān)系，y=?0.2(2)乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過(guò)0.56s時(shí)間位于球網(wǎng)正上方，此時(shí)乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約0.27m；(3)2.5；0.45m【分析】（1）先