甘肅省玉門一中高三第一次模擬考試文科數(shù)學試題

甘肅玉門一中2020年高三模擬考試文科數(shù)學試卷I第Ⅰ卷一.選擇題：本大共12小題，每小題5分，共60分.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合后可得.【詳解】因為，故，故選：C.【點睛】本題考查集合的交以及一元二次不等式的解集，考查學生的運算求解的能力，本題屬于基礎題.2.復數(shù)（是虛數(shù)單位），則A. B. C. D.2【答案】B【解析】試題分析：因為，所以，故應選．考點：1、復數(shù)的基本運算；2、復數(shù)的基本概念；3.函數(shù)在處導數(shù)存在，若p:是的極值點，則（）A.p是q的充分必要條件 B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件C.p是q的必要條件但不是q的充分條件 D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)函數(shù)極值的定義可知，函數(shù)為函數(shù)的極值點，一定成立，但當時，函數(shù)不一定取得極值，比如函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)，當時，，但函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，則是的必要條件，但不是的充分條件，故選C．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判定．4.已知向量，則的值為A.1 B.7 C.13 D.11【答案】B【解析】試題分析：因為，所以應選．考點：1、平面向量的數(shù)量積；5.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先將原式轉化為，即可得到答案.【詳解】.故選：C【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)的商數(shù)關系，屬于簡單題.6.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數(shù)為9080+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉化與化歸思想解題．7.已知，則a,b,c的大小關系為（）A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得三者之間的大小關系．【詳解】因為為上的增函數(shù)，而，所以，所以．因為為上的增函數(shù)，而，所以，故．故選：B．【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，通過利用函數(shù)的單調(diào)性和中間數(shù)來比較大小，本題屬于基礎題．8.如圖，是的邊的中點，則向量等于()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用向量運算的三角形法則計算得到答案.【詳解】是的邊的中點，則向量.故選：【點睛】本題考查了向量的運算，意在考查學生的計算能力.9.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，且，故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除；又當時，滿足，即圖象與直線的交點中有一個點的橫坐標為，排除，故選B．【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除10.三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：分析可知球心在的中點．因為，，所以．所以．球的半徑．所以此球的表面積為．故A正確．考點：三棱錐的外接球．11.若直線l與曲線相切于點O(0,0),并且直線l和曲線也相切，則a的值是（）A.1 B.-1 C.2【答案】A【解析】【分析】先求出直線的方程，再將該方程與方程聯(lián)立，利用判別式為零可求a的值.【詳解】，故，故切線的方程為即，由可得，因為直線和曲線也相切，故，故.故選：A.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及拋物線的切線的求法，注意函數(shù)在某點橫坐標處的導數(shù)就是函數(shù)圖象在該點處切線的斜率，而直線和拋物線相切可利用判別式來處理，關注兩者的區(qū)別，本題屬于基礎題.12.已知函數(shù)f(x)對?x∈R都有f(x－4)＝－f(x)，且當x∈[－1,0]時f(x)＝2x，則f(2020)＝（）A.1 B.－1 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的周期，再利用周期可求的值.【詳解】因為，故即.故，故的周期為8，所以，故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性，一般地，定義在上的函數(shù)滿足對任意的恒成立，則的一個周期為，本題屬于基礎題.第Ⅱ卷二.填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則函數(shù)最小正周期為_______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式、余弦公式和輔助角公式可得，從而可求其最小正周期．【詳解】因為，故，所以的最小正周期為，故答案為：．【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期，注意形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，再根據(jù)公式可求周期．本題屬于基礎題．14.已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則______.【答案】44【解析】【分析】根據(jù)題設條件可求得的值，從而可得的值.【詳解】因為且為等差數(shù)列，故即，所以，故答案為：44.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質，一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.15.已知、、分別是的三個內(nèi)角、、的對邊，且，則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，由題意得到，推出，化簡整理，求出，即可得出結果.【詳解】因為，由正弦定理可得，，則，則，即，則，所以，則，因為為三角形內(nèi)角，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，考查兩角和的正弦公式，屬于基礎題型.16.眾所周知，0.618叫做黃金分割比，黃金分割最早起源于幾何學，是古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的，黃金分割的定義：把任一線段分割成兩段，使“大段/全段=小段/大段”，這樣的分割叫做黃金分割，這樣的比值叫做黃金比，這一數(shù)值也可以表示為，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出，代入所求式子，根據(jù)誘導公式，以及二倍角公式，直接化簡，即可得出結果.【詳解】因為，，則，因此.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡求值，熟記公式即可，屬于基礎題型.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）當時，.當時，.【解析】【分析】設的公差為d，的公比為q，（1）由條件可得和，解方程得，進而可得通項公式；（2）由條件得，解得，分類討論即可得解.【詳解】設的公差為d，的公比為q，則，.由得.①（1）由得②聯(lián)立①和②解得（舍去），因此的通項公式為.（2）由得.解得.當時，由①得，則.當時，由①得，則.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運算，屬于基礎題.18.四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線平面;（2）若△面積為，求四棱錐的體積.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】試題分析：證明線面平有兩種思路，一是尋求線線平行，二是尋求面面平行；取中點，由于平面為等邊三角形，則，利用面面垂直的性質定理可推出底面ABCD，設，表示相關的長度，利用的面積為，求出四棱錐的體積.試題解析：（1）在平面內(nèi)，因為,所以又平面平面故平面（2）取的中點，連接由及得四邊形為正方形，則.因為側面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因為底面，所以,設，則，取的中點，連接，則,所以，因為的面積為，所以，解得（舍去），于是所以四棱錐的體積19.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人（Ⅰ）估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（Ⅱ）從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結合（Ⅱ）的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；(Ⅱ)利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于2000元的概率；(Ⅲ)結合概率統(tǒng)計相關定義給出結論即可.【詳解】（Ⅰ）由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有5人，所以樣本中兩種支付方式都使用的有，所以全校學生中兩種支付方式都使用的有（人）.（Ⅱ）因為樣本中僅使用B的學生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，所以該學生上個月支付金額大于2000元的概率為.（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金額大于2000元的概率為，因為從僅使用B的學生中隨機調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認為僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應用，概率的定義與應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20.已知橢圓離心率為，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設P的橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）由的面積及橢圓C的離心率得、即可求橢圓方程參數(shù)，進而得到橢圓方程；（2）結合（1）以及不與、重合，分類討論在橢圓最左側、最下側易得，其它位置時設：，：聯(lián)立橢圓方程可用、表示點橫坐標且，進而得到、的關系即可證；【詳解】（1）由題意，的面積為1，有：，又橢圓C的離心率為，即，∴解之得：，故：；（2）由（1）知：，，令，不與、重合，即、的斜率不可能為；當在橢圓最左側時，如下圖示：則M與C點重合，N與點重合，即，，∴；當在橢圓最下側時，如下圖示：則M與點重合，N與C點重合，即，，∴；當在橢圓其它位置時，設直線：，直線：，∴，，故，，聯(lián)立直線與橢圓：，可得，即，聯(lián)立直線與橢圓：，可得，即，∴，整理的，；而；∴綜上，有：為定值，得證；【點睛】本題考查了橢圓方程，根據(jù)三角形面積及離心率求橢圓方程，以及證明橢圓上一動點與上頂點、右頂點所成直線分別與x軸、y軸交點，交點與同軸上頂點的線段長度之積為定值；21.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性;（2）若,若函數(shù)存在零點,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的知識，具體涉及到導數(shù)的運算，用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性等，以及函數(shù)圖像的判定，考查學生解決問題的綜合能力、轉化能力、計算能力．第一問，對求導，對a進行討論，分和兩種情況，利用和進行判斷；第二問，將已知代入到中，轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，可以畫出函數(shù)的簡圖，令與函數(shù)圖象相交，找出a的取值范圍.試題解析：（1），，當時，，則在上單調(diào)遞增；當時，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）令，則，令，當無限靠近于0時，趨近于.，令可得，可知時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增．因此的值域為，即為，因此函數(shù)存在零點時，實數(shù)的取值范圍是.考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修44：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），（），圓C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）．（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；（Ⅱ）判斷直線l與圓C的位置關系．【答案】見解析【解析】【分析】（Ⅰ）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；（Ⅱ）求出圓的圓心與半徑，判斷圓心與直線的距離與半徑的關系，即可判斷直線l與圓C的位置關系．【詳解】解：（Ⅰ）M，N的極坐標分別為（2，0），（），所以M、N的直角坐標分別為：M（2，0），N（0，），P為線段MN的中點（1，），直線OP的平面直角坐標方程y；（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程（θ為參數(shù)）．它的直角坐標方程為：（x﹣2）2+（y）2＝4，圓的圓心坐標為（2，），半徑為2，直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），（），方程為y（x﹣2）（x﹣2），即x+3y﹣20．圓心到直線的距離為：2，所以，直線l與圓C相交．【點睛】本題考