高考數(shù)學二輪復習 小題考法專訓（六）直線與圓-人教版高三全冊數(shù)學試題

小題考法專訓（六）直線與圓A級——保分小題落實練一、選擇題1．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2解析：選C由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(3,2).經(jīng)檢驗，當a＝0或a＝－eq\f(3,2)時均有l(wèi)1∥l2，故選C.2．直線ax＋y＋3a－1＝0恒過定點M，則直線2x＋3y－6＝0關于M點對稱的直線方程為()A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0解析：選D由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，∴M(－3,1)，M不在直線2x＋3y－6＝0上，設直線2x＋3y－6＝0關于M點對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，則eq\f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq\f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，∴所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D.3．(2019·開封定位考試)已知圓(x－2)2＋y2＝9，則過點M(1,2)的最長弦與最短弦的長之和為()A．4 B．6C．8 D．10解析：選D圓(x－2)2＋y2＝9的圓心為(2,0)，半徑為3，所以過點M的最長弦的長為6，最短弦的長為2eq\r(32－[\r(2－12＋0－22)]2)＝4，所以過點M的最長弦與最短弦的長之和為10，故選D.4．已知圓(x－1)2＋y2＝1被直線x－eq\r(3)y＝0分成兩段圓弧，則較短弧長與較長弧長之比為()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5解析：選A(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1.圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(1＋3))＝eq\f(1,2)，所以較短弧所對的圓心角為eq\f(2π,3)，較長弧所對的圓心角為eq\f(4π,3)，故兩弧長之比為1∶2，故選A.5．已知直線3x＋ay＝0(a＞0)被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則a的值為()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)解析：選B由已知條件可知，圓的半徑為2，又直線被圓所截得的弦長為2，故圓心到直線的距離為eq\r(3)，即eq\f(6,\r(9＋a2))＝eq\r(3)，得a＝eq\r(3).6．已知圓(x－a)2＋y2＝1與直線y＝x相切于第三象限，則a的值是()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D．－2解析：選B依題意得，圓心(a,0)到直線x－y＝0的距離等于半徑，即有eq\f(|a|,\r(2))＝1，|a|＝eq\r(2).又切點位于第三象限，結(jié)合圖形(圖略)可知，a＝－eq\r(2)，故選B.7．已知圓C過點A(2,4)，B(4,2)，且圓心C在直線x＋y＝4上，若直線x＋2y－t＝0與圓C相切，則t的值為()A．－6±2eq\r(5) B．6±2eq\r(5)C．2eq\r(5)±6 D．6±4eq\r(5)解析：選B因為圓C過點A(2,4)，B(4,2)，所以圓心C在線段AB的垂直平分線y＝x上，又圓心C在直線x＋y＝4上，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y＝4，))解得x＝y(tǒng)＝2，即圓心C(2,2)，圓C的半徑r＝eq\r(2－22＋2－42)＝2.又直線x＋2y－t＝0與圓C相切，所以eq\f(|2＋4－t|,\r(5))＝2，解得t＝6±2eq\r(5).8．(2019·石家莊模擬)已知圓C截兩坐標軸所得弦長相等，且圓C過點(－1,0)和(2,3)，則圓C的半徑為()A．8 B．2eq\r(2)C．5 D．eq\r(5)解析：選D設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵圓C經(jīng)過點(－1,0)和(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋12＋b2＝r2，,a－22＋b－32＝r2，))∴a＋b－2＝0.①又圓C截兩坐標軸所得弦長相等，∴|a|＝|b|.②由①②得a＝b＝1，∴圓C的半徑為eq\r(5)，故選D.9．若點P(1,1)為圓C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0解析：選D由圓的方程易知圓心C的坐標為(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝eq\f(0－1,3－1)＝－eq\f(1,2).易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根據(jù)弦MN所在的直線經(jīng)過點P(1,1)得所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故選D.10．已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為()A．1 B．±1C.eq\r(3) D．±eq\r(3)解析：選D圓的方程可以化為x2＋(y－3)2＝3，圓心為C(0,3)，半徑為eq\r(3)，根據(jù)△ABC為等邊三角形可知AB＝AC＝BC＝eq\r(3)，所以圓心C(0,3)到直線y＝ax的距離d＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,2)，所以eq\f(3,2)＝eq\f(|a×0－3|,\r(a2＋1))?2＝eq\r(a2＋1)?a＝±eq\r(3).11．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選B圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點有2個．故選B.12．已知圓O：x2＋y2＝9，過點C(2,1)的直線l與圓O交于P，Q兩點，則當△OPQ的面積最大時，直線l的方程為()A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0解析：選D當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝2，則P(2，eq\r(5))，Q(2，－eq\r(5))，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5).當直線l的斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠\f(1,2)))，則圓心到直線l的距離d＝eq\f(|1－2k|,\r(1＋k2))，所以|PQ|＝2eq\r(9－d2)，S△OPQ＝eq\f(1,2)×|PQ|×d＝eq\f(1,2)×2eq\r(9－d2)×d＝eq\r(9－d2d2)≤eq\f(9－d2＋d2,2)＝eq\f(9,2)，當且僅當9－d2＝d2，即d2＝eq\f(9,2)時，S△OPQ取得最大值eq\f(9,2)，因為2eq\r(5)＜eq\f(9,2)，所以S△OPQ的最大值為eq\f(9,2)，此時eq\f(4k2－4k＋1,k2＋1)＝eq\f(9,2)，解得k＝－1或k＝－7，此時直線l的方程為x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0，故選D.二、填空題13．已知直線l1：y＝2x，則過圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心且與直線l1垂直的直線l2的方程為________．解析：由題意，圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圓的圓心坐標為(－1,2)，所以所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝014．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C過點A(0，－8)，且與圓x2＋y2－6x－6y＝0相切于原點，則圓C的方程為______________________，圓C被x軸截得的弦長為________．解析：將已知圓化為標準方程得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圓心為(3,3)，半徑為3eq\r(2).由于兩個圓相切于原點，連心線過切點，故圓C的圓心在直線y＝x上．由于圓C過點(0,0)，(0，－8)，所以圓心又在直線y＝－4上．聯(lián)立y＝x和y＝－4，得圓心C的坐標(－4，－4)．又因為點(－4，－4)到原點的距離為4eq\r(2)，所以圓C的方程為(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圓心C到x軸距離為4，則圓C被x軸截得的弦長為2×eq\r(4\r(2)2－42)＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0815．已知從圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，則當|PM|取最小值時點P的坐標為_______．解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(－1,2)，半徑r＝eq\r(2).因為|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．當PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時，即PO所在直線的方程為2x＋y＝0時，|PM|的值最小，此時點P為兩直線的交點，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4y＋3＝0，,2x＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,10)，,y＝\f(3,5)，))故當|PM|取最小值時點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,10)，\f(3,5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,10)，\f(3,5)))16．(2019·合肥質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C經(jīng)過點(0,1)，(0,3)，且與x軸正半軸相切，若圓C上存在點M，使得直線OM與直線y＝kx(k＞0)關于y軸對稱，則k的最小值為________．解析：由圓C過點(0,1)，(0,3)知，圓心的縱坐標為eq\f(1＋3,2)＝2，又圓C與x軸正半軸相切，所以圓的半徑為2，則圓心的橫坐標x＝eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－1,2)))2)＝eq\r(3)，即圓心為(eq\r(3)，2)，所以圓C的方程為(x－eq\r(3))2＋(y－2)2＝4.因為k＞0，所以k取最小值時，直線y＝－kx與圓相切，可得2＝eq\f(|\r(3)k＋2|,\r(k2＋1))，即k2－4eq\r(3)k＝0，解得k＝4eq\r(3)(k＝0舍去)．答案：4eq\r(3)B級——拔高小題提能練1．[多選題]若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x＝0，則下列關于eq\f(y,x－1)的判斷正確的是()A.eq\f(y,x－1)的最大值為eq\r(3) B．eq\f(y,x－1)的最小值為－eq\r(3)C.eq\f(y,x－1)的最大值為eq\f(\r(3),3) D．eq\f(y,x－1)的最小值為－eq\f(\r(3),3)解析：選CD由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1,0)為圓心、1為半徑的圓，eq\f(y,x－1)表示圓上的點(x，y)與點(1,0)連線的斜率，易知，eq\f(y,x－1)最大值為eq\f(\r(3),3)，最小值為－eq\f(\r(3),3).2．(2019·成都二診)在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是x軸正半軸和y＝x(x＞0)圖象上的兩個動點，且|MN|＝eq\r(2)，則|OM|2＋|ON|2的最大值是()A．4－2eq\r(2) B．eq\f(4,3)C．4 D．4＋2eq\r(2)解析：選D直線y＝x的傾斜角為eq\f(π,4)，所以由題意知∠MON＝eq\f(π,4)，則在△MON中，|MN|2＝|OM|2＋|ON|2－2|OM|·|ON|cos∠MON，即2＝|OM|2＋|ON|2－eq\r(2)|OM|·|ON|≥|OM|2＋|ON|2－eq\r(2)·eq\f(|OM|2＋|ON|2,2)，整理，得|OM|2＋|ON|2≤eq\f(4,2－\r(2))＝4＋2eq\r(2)，當且僅當|OM|＝|ON|＝eq\r(2＋\r(2))時，等號成立，即|OM|2＋|ON|2的最大值為4＋2eq\r(2)，故選D.3．已知A(－eq\r(3)，0)，B(eq\r(3)，0)，P為圓x2＋y2＝1上的動點，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))，過點P作與AP垂直的直線l交直線QB于點M，若點M的橫坐標為x，則|x|的取值范圍是()A．|x|≥1 B．|x|＞1C．|x|≥2 D．|x|≥eq\f(\r(2),2)解析：選A由題意，設P(cosθ，sinθ)，則Q(2cosθ＋eq\r(3)，2sinθ)，所以kAP＝eq\f(sinθ,cosθ＋\r(3))，所以直線PM的方程為(cosθ＋eq\r(3))x＋ysinθ－eq\r(3)cosθ－1＝0，直線BQ的方程為xsinθ－ycosθ－eq\r(3)sinθ＝0，聯(lián)立解得x＝eq\f(\r(3)＋cosθ,1＋\r(3)cosθ)＝eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(3),31＋\r(3)cosθ)，因為1－eq\r(3)≤1＋eq\r(3)cosθ＜0或0＜1＋eq\r(3)cosθ≤1＋eq\r(3)，所以x≤－1或x≥1，即|x|≥1，故選