黃金卷05-【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（廣東專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學模擬卷（廣東專用）黃金卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知全集，集合，，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合的運算求解即可.【詳解】因為，所以.故選：B2．若復數(shù)z滿足，則z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用復數(shù)除法，準確計算，即可求解.【詳解】由，可得，所以，故z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限.故選：A.3.《九章算術》中將圓臺稱為“圓亭”．已知圓亭的高為，上底面半徑為1，母線與底面成角，則此圓亭的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作該圓亭的軸截面，根據(jù)幾何關系求得下底面半徑，進而根據(jù)體積公式求解即可.【詳解】由題意，可作該圓亭的軸截面，如下圖所示：則圓臺的高，上底面半徑，下底面半徑，母線，即，在中，，則，綜上，，圓臺的體積．故選：A．4.的展開式中的系數(shù)為12，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)乘法的運算法則，結合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進行求解即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)可以看成：6個因式中選取5個因式提供，余下一個因式中提供或者6個因式中選取4個因式提供，余下兩個因式中均提供，故的系數(shù)為，∴，∴，故選：C5．已知RL串聯(lián)電路短接時，電流隨時間的變化關系式為，電路的時間常數(shù)，當由減小到時，相應的時間間隔稱為半衰期．若某RL串聯(lián)電路電流從減少到的時間間隔為，則該電路的時間常數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：A．B．C．D．【答案】C【解析】設半衰期為，依題意，兩邊取對數(shù)得，由得，即，所以，解得．故選C．6.在中，點是的中點，點是的中點，點在線段上并且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可.【詳解】因為，所以，又點是的中點，點是的中點，所以，故.故選：D.7.已知函數(shù)，滿足，在下列不等關系中，一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造，應用導數(shù)研究單調(diào)性，進而比較大小即可.【詳解】設，則，所以單調(diào)遞增，則，即，即.故選：A8.已知又，對任意的均有成立，且存在使，方程在上存在唯一實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡可得，根據(jù)成立，且存在，可知存在使得，即，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)建立不等式關系進行求解即可.詳解】由，其中滿足，又由任意的均有成立，即任意的均有成立，且存在使，可知最大值為，又，當時，，又在上存在唯一實數(shù)使，即.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，中位數(shù)為，方差為，極差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則（

）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是C．新數(shù)據(jù)的方差是 D．新數(shù)據(jù)的極差是【答案】CD10.已知圓，直線，則下列結論正確的是（

）A．存在實數(shù)k，使得直線l與圓C相切B．若直線l與圓C交于A，B兩點，則的最大值為4C．當時，圓C上存在4個點到直線l的距離為D．當時，對任意，曲線恒過直線與圓C的交點【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系逐項判斷即可.【詳解】，圓心且半徑為，因為直線過定點，且點在圓上，若直線l與圓C相切，則直線l的斜率不存在，即，故A不正確；當直線l經(jīng)過圓心時，取最大值即圓的直徑，故B正確；當時，直線，因為圓心C到直線l的距離，所以，所以圓C上有4個點到直線的距離為，故C正確；當時，直線，曲線，即一定過直線與圓的交點，故D正確．故選：BCD．11.關于函數(shù)，下述結論正確的是（

）A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在上有3個零點 D．曲線關于直線對稱【答案】CD【分析】分情況討論，去掉絕對值，結合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】因為，所以的一個周期為；對于A，當時，，因為，所以，的最小值為；當時，，因為，所以，的最小值為，A不正確.對于B，當時，，令，由的單調(diào)性可知在上先增后減，B不正確.對于C，當時，令得，因為，所以或，即或；當時，令得，因為，所以，即；所以共有3個零點，C正確.對于D，因為，所以曲線關于直線對稱，D正確.故選：CD12.如圖，在中，，，，過中點的直線與線段交于點．將沿直線翻折至，且點在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點，是直線上異于的任意一點，則（）A.B.C.點的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A、B選項結合線面角最小，二面角最大可判斷;對于C，先由旋轉(zhuǎn)，易判斷出，故其軌跡為圓弧，即可求解.對于D求直線與平面所成角的余弦值，即求，，用表示，再結合三角恒等變換求出函數(shù)的最值即可【詳解】依題意，將沿直線翻折至，連接,由翻折的性質(zhì)可知，關于所沿軸對稱的兩點連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面.平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角對于A選項，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯誤；對于B選項，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項，如下圖所示設，在中，，，在中，，，所以，設直線與平面所成角為，則，當且僅當時取等號，故D正確．故選：BCD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù),則．【答案】【分析】根據(jù)解析式分別求出和，再相加可得結果.【詳解】,,所以.故答案為：14．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項公式可以為．（寫出滿足題意的一個通項公式）【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，由存在最大值可得，結合d為奇數(shù)且可得的取值，從而可得.【詳解】由得，即．因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可知．設等差數(shù)列的公差為d，則，．因為存在最大值，所以公差，又因為d為奇數(shù)且，故可取．當時，，；當時，，；當時，，．故答案為：（答案不唯一）15.第33屆奧運會將于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行.某田徑運動員準備參加100米?200米兩項比賽，根據(jù)以往賽事分析，該運動員100米比賽未能站上領獎臺的概率為，200米比賽未能站上領獎臺的概率為，兩項比賽都未能站上領獎臺的概率為，若該運動員在100米比賽中站上領獎臺，則他在200米比賽中也站上領獎臺的概率是.【答案】【分析】設出事件，根據(jù)事件的關系得到，進而求出，再利用條件概率公式求出答案.【詳解】設在200米比賽中站上領獎臺為事件，在100米比賽中站上領獎臺為事件，則，，，，則，則，故.故答案為：16．已知橢圓的兩個焦點分別為．若為上關于坐標原點對稱的兩點，且的面積，則的離心率的取值范圍為______________．【答案】【解析】不妨設的離心率為，焦距為分別位于第一、三象限，連接，，并結合圖形對稱性，可知四邊形為對角線長度相等的平行四邊形，即矩形，因此為直角，所以，且的面積與的面積相等，若橢圓上存在點使得為直角，則上頂點處應滿足，也即，解得，又，所以，則的面積為，因此，即．所以的取值范圍為．故答案為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17.已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分為，兩種情況，結合等差數(shù)列前項和公式求解；（2）利用裂項相消法可求.【小問1詳解】當時，.當時，，也適合上式.故.【小問2詳解】由（1）可得，則.18.如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結合線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結合向量的夾角與二面角的關系即可求解.【詳解】（1）連接，交于點G，連接FG，因為E，F(xiàn)分別為BC，的中點，所以，且，所以四邊形AEFG是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立坐標系，如圖所示，

設，則，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則,即，不妨取，則，即，設平面的一個法向量為，則,即，不妨取，則，即，所以，設二面角的平面角為，則，所以故二面角的正弦值為.19.在斜三角形中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和化簡三角函數(shù)方程，即可證明結論；（2）由正弦定理求出的表達式，即可得出其最小值.【詳解】（1）由題意證明如下，在中，，，，，又為斜三角形，則，，，∵為的內(nèi)角，.（2）由題意及（1）得，在中，，，是等腰三角形，由正弦定理，則，又，即，，，令，，又因為，即，當即時，取最小值，且，∴的最小值為．20.《中國制造2025》提出，堅持“創(chuàng)新驅(qū)動?質(zhì)量為先?綠色發(fā)展?結構優(yōu)化?人才為本”的基本方針，通過“三步走”實現(xiàn)制造強國的戰(zhàn)略目標：第一步，到2025年邁入制造強國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達到世界制造強國陣營中等水平；第三步，到新中國成立一百年時，綜合實力進入世界制造強國前列.為此，我國在基礎教育階段鼓勵中學生開展科技發(fā)明活動，為了解某校學生對科技發(fā)明活動的興趣，隨機從該校學生中抽取了100人進行調(diào)查，其中女生中對科技發(fā)明活動沒興趣的占女生人數(shù)的，男生有5人表示對科技發(fā)明活動沒有興趣.(1)完成列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為“該校學生對科技發(fā)明活動是否有興趣與性別有關”？有興趣沒興趣合計男60女合計參考表格、公式如下：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635.(2)從樣本中對科技發(fā)明活動沒有興趣的學生按性別分層抽樣的方法抽出6名學生，記從這6人中隨機抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】(1)有的把握認為“該校學生對科技發(fā)明活動是否有興趣與性別有關”(2)分布列見解析，期望【分析】（1）首先結合已知條件和題設完成列聯(lián)表，然后根據(jù)表格計算，判斷成立即可求解.（2）首先算出抽取的6人中男生、女生的人數(shù)，然后寫出的所有可能取值，并算出相應的概率，由此即可得出的分布列和期望.【詳解】（1）由題述列聯(lián)表可知，男生合計60人，所以女生合計人，由題意，女生中對科技發(fā)明沒興趣、有興趣的分別有人，人，男生中對科技發(fā)明沒興趣、有興趣的分別有5人，人，由此可以得到完整列聯(lián)表如下：有興趣沒興趣合計男55560女301040合計8515100所以，所以有的把握認為“該校學生對科技發(fā)明活動是否有興趣與性別有關”.（2）由題意首先抽出的6名學生中，男生、女生分別有人，人，若從這6人中隨機抽取3人，抽到的男生人數(shù)為，則的所有可能取值為，，，，所以的分布列如下表：012所以的期望為.21.已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，直接列出方程求解，可得答案.（2）根據(jù)題意，分類討論當垂直于軸和不垂直于軸時的情況，對于垂直于軸的情況，直接列方程計算；對于不垂直于軸時的情況，直線與雙曲線聯(lián)立方程，利用韋達定理，計算化簡可證明成立.【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的一條漸近線方程為，將代入C的方程有，，所以M，N到直線的距離之和為，所以，C的方程為.（2）

方法1：當l垂直于x軸時，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當l不垂直于x軸時，由雙曲線的定義可知，，故.設，代入C的方程有：，設，，則，，所以，所以.綜上，的值為6.方法2：當l垂直于x軸時，由（1）可知，，且由雙曲的定義可知，故.當l不垂直于x軸時，設，代入C的方程有：.設，，則，，所以.綜上，的值為6.22.已知函數(shù)，的導函數(shù)為．(1)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，記函數(shù)的極大值和極小值分別為，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得在上恒