河南省新鄉(xiāng)市九師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市九師聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋越桥c角終邊相同.故選：C.2.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，，∴，∴．故選：C．3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得．故選：A.4.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗易知函數(shù)在其定義域上連續(xù)不斷，且，則函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上．故選：B．5.“”的一個(gè)必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，要成為“”的必要條件，則是其對(duì)應(yīng)的集合的真子集，而均不滿足題意，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”的一個(gè)必要條件是“”.故選：C.6.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗，．故選：A．7.已知，點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗二次函數(shù)，其圖象的對(duì)稱軸方程為，而，所以，即，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，即，綜上，．故選：D．8.若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上至多一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，可得，必有，解得，所以，，解得；當(dāng)時(shí)，由，可得或，所以，，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知角和的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)榻呛徒K邊關(guān)于x軸對(duì)稱，可得，對(duì)于A，由，A正確；對(duì)于B，由，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，C正確；對(duì)于D，由，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列說法正確的是（）A.若，則有最小值2 B.若，則有最大值2C.若，則 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值是，B錯(cuò)；由不等式的性質(zhì)知C正確，因?yàn)?，所以，所以，即，D正確.故選：ACD．11.關(guān)于冪函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象經(jīng)過原點(diǎn) B.為偶函數(shù)C.的值域?yàn)?D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗由題意，，所以，即，對(duì)于A，的定義域?yàn)椋实膱D象不經(jīng)過原點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，故為偶函?shù)，B正確；對(duì)于C，由于，故值域?yàn)椋珻正確；對(duì)于D，由于，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤．故選：BC．12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于任意給定的正數(shù)，定義函數(shù)則稱為的“界函數(shù)”.若函數(shù)，則（）A. B.的最小值為C.在上單調(diào)遞減 D.為偶函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗根據(jù)題意，由，解得，，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，即的值域?yàn)椋蔅正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則的圖象如圖所示：由圖可知的圖象關(guān)軸對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知某扇形所在圓的半徑為3，扇形的面積為，則該扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為________.〖答案〗〖解析〗由扇形面積，得，解得，所以該扇形的圓心角（正角）.故選：.14.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，，因?yàn)?，所以，所以的范圍?故〖答案〗為：．15.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______________.〖答案〗〖解析〗，由，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為．故〖答案〗為：．16.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象交于三點(diǎn)，則此三點(diǎn)中最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離為__________.〖答案〗〖解析〗不妨記，函數(shù)與是奇函數(shù)且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，易知兩個(gè)函數(shù)的圖象均以點(diǎn)為對(duì)稱中心，所以三個(gè)交點(diǎn)中一個(gè)必是點(diǎn)，另外兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，不妨記，設(shè)，所以，即，解得，，則，所以此三點(diǎn)中最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)間的距離為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)．（1）求，的值；（2）求的值．解：（1）由，故角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，.（2）.18.選用恰當(dāng)?shù)淖C明方法，證明下列不等式.（1）已知均為正數(shù)，且，求證：；（2）已知，求證：.解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以．（2），因?yàn)椋?，所以，所以，即?9.已知函數(shù)．（1）求證：函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，都有，且，所以函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)．（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：對(duì)于，且，，因?yàn)椋?，則，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.20.已知（a，b均為常數(shù)），且．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若對(duì)，不等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，得，即，由，可得解得所以.（2）由，可得，所以對(duì)，都有成立，由于，所以在上單調(diào)遞減，且，因此當(dāng)時(shí)，，要使，則，且，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．21.已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)點(diǎn)是圖象上任意一點(diǎn)，則關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，即，所以．（2），①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，要使上單調(diào)遞減，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以；③當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞減，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．22.兩縣城和相距，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城和城的總影響度為對(duì)城與對(duì)城的影響度之和.記點(diǎn)到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為9.（1）若垃圾處理廠建在圓弧的中點(diǎn)處，求垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度；（2）求垃圾