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PAGEPAGE1遼寧省五校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.,,,為坐標原點,則點的坐標為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)點C坐標為,因為,,所以,,又因為,所以,,,即,,,所以C坐標為.故選:A2.直線,若直線的一個法向量為,則()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直線的一個法向量為,直線的斜率直線,解得故選:B.3.已知書架上有4本不同的數(shù)學(xué)書,3本不同的化學(xué)書,從中任取3本書.若數(shù)學(xué)書,化學(xué)書每種都取出至少一本,則不同的取法種數(shù)為()A.60 B.180 C.30 D.90〖答案〗C〖解析〗由書架上有4本不同的數(shù)學(xué)書,3本不同的化學(xué)書,從中任取3本書,若數(shù)學(xué)書,化學(xué)書每種都取出至少一本,可分為兩類:若1本數(shù)學(xué)書,2本化學(xué)書,有種;若2本數(shù)學(xué)書,1本化學(xué)書,有種,所以不同的取法種數(shù)共有種.故選:C.4.為雙曲線上一點,,則的最小值為()A.3 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)點是雙曲線上任意一點,則,即,則,因為或,所以,當(dāng)時,可得,所以的最小值為.故選:D.5.是平面內(nèi)的一條直線,是平面的一條斜線,且在平面內(nèi)的射影為.若與的夾角為,與的夾角為,則與平面所成角的大小為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨設(shè)直線相交于點,在直線上取異于的點,過作⊥于點,過做⊥于點,連接,由題意知:,,,且是直線與平面所成角,∵,,∴,又,,∴平面,平面,∴,∴在Rt中,,在Rt中,,∴,由題意可知,∴在Rt中,,即,又,∴.∴與平面所成角的大小為.故選:C.6.,則()A.31 B.1023 C.1024 D.32〖答案〗B〖解析〗由二項式的展開式的通項為,所以,當(dāng)時,可得為正數(shù),當(dāng)時,可得為負數(shù),令,可得,令,可得,所以.故選:B.7.已知雙曲線(,),點是直線上任意一點,若圓與雙曲線的右支沒有公共點,則雙曲線的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線的一條漸近線方程為,因為點是直線上任意一點,又直線與直線的距離為:,即圓心到直線的距離為:,因為圓與雙曲線C的右支沒有公共點,所以,即,又,所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選:B.8.正四面體棱長為6,,且,以為球心且半徑為1的球面上有兩點,,,則的最小值為()A.24 B.25 C.48 D.50〖答案〗D〖解析〗因為正四面體的棱長為,所以,同理可得,,又因為以A為球心且半徑為1的球面上有兩點M,N,,所以,由,則因為,所以當(dāng)且僅當(dāng)取等號,此時,所以故的最小值為.故選:D二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知直線,下列說法正確的是()A.恒過定點B.當(dāng)時,在軸上的截距為2C.當(dāng)時,的傾斜角為D.圓與相切時,〖答案〗AC〖解析〗A選項,變形為,令,解得,故恒過定點,A正確;B選項,當(dāng)時,,令時,,當(dāng)時,在軸上的截距為,B錯誤;C選項,當(dāng)時,,直線的斜率為,故傾斜角為,C正確;D選項,由題意得,解得,圓與相切時,,D錯誤.故選:AC10.現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗專家到四家醫(yī)院進行核酸檢測指導(dǎo),每名專家只能選擇一家醫(yī)院,且允許多人選擇同一家醫(yī)院,則()A.所有可能的安排方法有64種B.若三名專家選擇兩所醫(yī)院,每所醫(yī)院至少去一人,則不同的安排方法有6種C.若三名專家選擇三所醫(yī)院,每所醫(yī)院去一人,則不同的安排方法有24種D.若三名專家選擇三所醫(yī)院,每所醫(yī)院去一人,但是甲不去A醫(yī)院,則不同的安排方法有18種〖答案〗ACD〖解析〗A選項,甲、乙、丙三人均有4種選擇,故所有可能的安排方法有種,A正確;B選項,先從4所醫(yī)院選擇2所,有種選擇,再將三名專家分到兩所醫(yī)院,有種選擇,則不同的安排方法有種,B錯誤;C選項,先從4所醫(yī)院選擇3所,有種選擇,再將三名專家和三所醫(yī)院進行全排列,有種選擇,則不同的安排方法有種,C正確;D選項,由C選項可知,三名專家選擇三所醫(yī)院,每所醫(yī)院去一人,共24種選擇,若甲去A醫(yī)院,從所醫(yī)院中選兩所,和剩余兩名專家進行全排列,共有種選擇,故不同的安排方法有種,D正確.故選:ACD11.已知正方體的棱長為1,則()A.與平面所成角的正弦值為B.為平面內(nèi)一點,則C.異面直線與的距離為D.為正方體內(nèi)任意一點,,,,則〖答案〗BCD〖解析〗以為原點,以所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,可得,對于A中,由,設(shè)平面的法向量為,則,取,可得,所以,又由,設(shè)與平面所成角為,則,即與平面所成角正弦值為,所以A錯誤;對于B中,在正方體中,可得平面,因為平面,所以,即在直線上的射影為,所以,所以B正確;對于C中,由,設(shè)平面的法向量為,則,取,可得,所以,因為,且平面,平面,所以平面,所以異面直線與的距離,即為直線到平面的距離,又由,可得,所以C正確;對于D中,設(shè)點,其中,可得,且,則,,,則,所以D正確.故選:BCD.12.已知橢圓上有不同兩點,,,則()A.若過原點,則B.,的最小值為C.若,則的最大值為9D.,,異于點,若線段的垂直平分線與軸相交于點,則直線的斜率為〖答案〗ABD〖解析〗因為橢圓,所以,則是其右焦點,對于A,設(shè)橢圓的左焦點為,因為過原點,所以由橢圓的對稱性易知四邊形是平行四邊形,則,故A正確;對于B,因為,則,又,所以,當(dāng)在線段與橢圓交點位置時,等號成立,故B正確;對于C,當(dāng)軸,點為橢圓的右頂點時,滿足,此時,但,故C錯誤;對于D,因為在橢圓上,所以,,所以,同理:,而由,可知,所以由,得,則,故可設(shè)的中點坐標為,又在橢圓上,所以,,兩式相減,得,所以.所以直線的斜率為,則直線的方程為,令,得,即,所以直線的斜率,故D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.,,,,則點A到平面的距離為________.〖答案〗〖解析〗由題,,設(shè)平面BCD的法向量為,則,取,則,又,則點A到平面的距離為.故〖答案〗為:14.已知點和拋物線,則過點A且與拋物線相切的直線的方程為_____________.〖答案〗或〖解析〗當(dāng)過的直線斜率不存在時,方程為,與相切,滿足要求,當(dāng)過的直線斜率存在時,設(shè)切線方程為,聯(lián)立得,,令,解得,故,即.故〖答案〗為:或15.已知橢圓的左、右焦點分別為,,直線與交于兩點,.若△的面積是△面積的3倍,則___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)直線與軸交于點,則△的面積,△的面積又由橢圓,得,,在直線上,故〖答案〗為:.16.已知是平行六面體,,,,,為直線上一點,若,則_________.〖答案〗〖解析〗設(shè),即,則,因為且,所以,即即,所以,所以.故〖答案〗為:四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知在()的展開式中,第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比值為2.(1)求的值;(2)求展開式中含的項.解:(1)由題知:,解得.(2),,,令,得,所以展開式中含有的項為:18.如圖,在正四棱柱中,,點在上,且,為中點.(1)求直線和直線所成角的余弦值;(2)求到直線的距離.解:(1)正四棱柱中,,,,以為坐標原點,分別以向量,,的方向為軸、軸、軸正方向,建立如圖所示空間直角坐標系,∵,,,∴,,,,,∴直線和直線所成角的余弦值為.(2),,所以的單位方向向量∴到直線的距離為19.圓與軸的交點分別為,且與和都相切.(1)求圓的方程;(2)圓上是否存在點滿足?若存在,求出滿足條件所有點的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)由,,可得中垂線為,可得設(shè),因為圓都與和都相切,可得,所以或,解得,所以圓心坐標,可得,即圓的半徑,所以圓的方程為.(2)假設(shè)存在滿足題意,設(shè),,,可得,因為,聯(lián)立方程組,解得,又因為是圓上的一點,可得,所以此方程組無解,所以點不存在.20.已知平面直角坐標系中,動點到的距離比到軸的距離大1.(1)求動點的軌跡的方程;(2)過且斜率為的直線與軌跡交于,兩點,,.①求的值;②若,,且滿足直線和直線的斜率之和恒為0,求的值.解:(1)設(shè),則,當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴,∴;可以檢驗,上述方程就是點的軌跡方程.∴的方程為和.(2)①直線的方程為:,設(shè),,易知直線與無交點,聯(lián)立得,,恒成立,∴,,∴,∴,②,即,∴∴,∴,∴.21.如圖,在四棱錐中,平面,,為中點,且,,,,.(1)求二面角的余弦值;(2)若在線段上,直線與平面所成角的正弦值為,求點到平面的距離.解:(1)設(shè)為中點,連接,因為,所以,又因為,所以四邊形為平行四邊形,因為,所以四邊形為矩形,所以,又因為平面,且平面,所以,,以為坐標原點,分別以所在的直線為軸軸軸正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示,可得,,,,則,,,,設(shè)平面的一個法向量為,則,取,可得,所以,設(shè)平面的一個法向量為,則,取,可得,所以,設(shè)二面角為,且由圖知為銳角,所以.(2)設(shè),且,由,,可得,所以,所以,化簡得,解得或,因為,可得,所以,,則,,設(shè)平面的一個法向量為,則,取,可得,所以,所以,所以點到平面的距離為.22.已
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