山東省濟(jì)寧市泗水縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山東省濟(jì)寧市泗水縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直線的斜率不存在，直線的傾斜角為.故選：D.2.已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，且三向量共面，所以，所以，所以，解得故選：A3.已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分不必要條件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得：．所以成立的充要條件是：．結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知：成立的充分不必要條件是，故選：B.4.過圓內(nèi)一點(diǎn)作直線交圓O于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作圓的切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則以為直徑的圓，即①因?yàn)槭菆AO的切線，所以，所以A，B在圓M上，所以是圓O與圓M的公共弦，又因?yàn)閳A②，所以由①②得直線的方程為：，又點(diǎn)滿足直線方程，所以，即.故選：A.5.萬眾矚目的北京冬奧會于2022年2月4日正式開幕，是繼2008年北京奧運(yùn)會之后，國家體育場（又名鳥巢）再次承辦奧運(yùn)會開幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（）cmA.30 B.20 C.10 D.〖答案〗B〖解析〗扁平程度相同的橢圓，即離心率相等，大橢圓，，，離心率為；小橢圓，離心率，解得，故長軸長為.故選：B6.如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋礊榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?故選：C7.吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個(gè)小盒子，里面隨機(jī)擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定，每次想吸煙時(shí)，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”的概率為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題：“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”說明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖一次香煙，記香煙為，口香糖為，進(jìn)行四次取物，基本事件總數(shù)為：種事件“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”前四次取物順序分為以下三種情況：煙、糖、糖、糖：種糖、煙、糖、糖：種糖、糖、煙、糖：種包含的基本事件個(gè)數(shù)為：54，所以，其概率為故選：D8.如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連，若，則，，，又，則，即，得，又，即，代入得.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子，記下骰子朝上面的點(diǎn)數(shù).用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.定義事件：事件為“為奇數(shù)”，事件為“為奇數(shù)”，事件為“為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與互斥 B.與對立C. D.A與相互獨(dú)立〖答案〗ACD〖解析〗由題可得，樣本空間為，共有36個(gè)樣本點(diǎn)，其中共包含18個(gè)樣本點(diǎn)，共包含9個(gè)樣本點(diǎn)，，共有18個(gè)樣本點(diǎn)，對A，因?yàn)?所以與互斥,A正確；對B，因?yàn)?所以與不對立,B錯(cuò)誤；對C，，C正確；對D，,所以,又因?yàn)樗裕訟與相互獨(dú)立，D正確；故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.已知直線過點(diǎn)，且在軸上截距相等，則直線的方程為.B.直線的傾斜角為.C.，“直線與垂直”是“”的必要不充分條件.D.若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為〖答案〗BCD〖解析〗對于A，由題意，顯然直線斜率存在，且直線過點(diǎn)，可設(shè)方程為，令，；令，，因?yàn)樵谳S上截距相等，所以，則，，解得或，故直線方程為或，故A錯(cuò)誤；對于B，直線方程，轉(zhuǎn)化為，設(shè)該直線的傾斜角為，故，解得，故B正確；對于C，先證充分性：由“直線與垂直”，則，，，解得或，故“直線與垂直”是“”的必要不充分條件，故C正確；對于D，由題意，可設(shè)，向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，可得，則，因?yàn)榛氐皆瓉淼奈恢?，所以，，解得，故D正確.故選：BCD.11.正方體的棱長為a，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤；故選：BC12.已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則弦長可能是（）A.1 B. C. D.3〖答案〗BC〖解析〗當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)過斜率存在的直線方程為：，聯(lián)立方程組消去，并整理得，易得，設(shè)，，則，，，，當(dāng)斜率不存在時(shí)，故．故選:BC．第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，那么與夾角的余弦值為________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?所以與夾角的余弦值為.故〖答案〗為：.14.與圓相交所得的弦長為2，且在軸上截距為的直線方程是__________〖答案〗〖解析〗由，得，則圓有圓心為，半徑為，由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離為，因?yàn)榕c圓相交所得的弦長為2，所以，解得，所以直線方程為，即直線方程為，故〖答案〗為：15.一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次記為，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，中有兩個(gè)不同數(shù)字的和等于剩下的一個(gè)數(shù)字時(shí)，稱這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”（如213，341等）．現(xiàn)從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是______．〖答案〗〖解析〗從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中兩個(gè)的和等于第三個(gè)的有123，134，因此“有緣數(shù)”個(gè)數(shù)為，所以這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率．故〖答案〗：．16.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________．〖答案〗〖解析〗如圖，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號成立.∵，則，∴的最小值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為．現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的．（1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；（2）求取球兩次終止的概率（3）求甲取到白球概率．解：（1）設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知：，解得n＝3（舍去n＝﹣2），即袋中原有3個(gè)白球（2）記“取球兩次終止”為事件A，（3）因?yàn)榧紫热?，所以甲只有可能在?次或第3次或第5次取到白球記“甲取到白球”為事件B，18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，.（1）若平面，求的值；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）分別取中點(diǎn)，連接，由已知底面是直角梯形，，，，易得，∵平面平面，平面平面，∴，以為中心，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意知為等腰直角三角形，，,則，∴，∵，∴，顯然是平面的一個(gè)法向量，若平面，則，即；（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，∴，設(shè)分別為平面與平面的一個(gè)法向量，則有，，不妨令，則，則，設(shè)平面與平面的夾角為，故,即平面與平面的夾角的余弦值為.19.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，求直線的方程及弦的長度.解：（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，則①，又橢圓過點(diǎn)，所以②，聯(lián)立①②解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，則，消去得，所以，又是弦的中點(diǎn)，所以，解得，則，所以故直線的方程為，弦為.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過兩點(diǎn)和，直線的方程為.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作圓C切線，求切線方程；（3）當(dāng)時(shí)，Q為直線上的點(diǎn)，若圓C上存在唯一的點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：（1）設(shè)圓的方程為，將M，N坐標(biāo)代入，得：，解得，所以圓的方程為；（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離，解得，故切線方程為，綜上，切線方程為或；（3）設(shè)，，則，化簡得，此圓與圓C相切，所以有，解得，所以或.21.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點(diǎn)在母線上，且，．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面（3）若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．解：（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以，即，又平面，直線平面，平面，所以直線平面．（2）因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以平面平面；?）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故當(dāng)直線與平面所成角的