江蘇省南通市如皋市2023-2024學年高一上學期期末教學質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2023-2024學年高一上學期期末教學質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把〖答案〗填涂在答題卡相應位置上.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，，所以.故選：C.2.若角終點上一點，且，則（）A. B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得：點在角的終邊上，且，所以：，解得：，（舍），故C項正確.故選：C.3.已知，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，而，所以，所以.故選：D.4.（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.5.求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，即，解得，由函數(shù)表示開口向下，且對稱軸為的拋物線，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.故選：A.6.已知函數(shù)在上有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)在上有且只有一個零點，所以，即在上有且只有一個實根，所以與的函數(shù)圖象在時有一個公共點，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.7.在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，其中有意義，則滿足，其中，即，其中，解得，即函數(shù)的定義域為.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（）A.1 B.10 C.11 D.1024〖答案〗C〖解析〗因為定義在上的函數(shù)，滿足，所以令，得，所以，令，得，因為，所以，所以.故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把〖答案〗填涂在答題卡相應位置上.）9.下列代數(shù)式的值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD.10.下列命題正確的有（）A.存在正實數(shù)，，使得B.對任意的角，都有C.是與終邊在同一條直線上的充要條件D.函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件〖答案〗AD〖解析〗對于A，由，可得，則可以取，此時滿足題意，故A正確；對于B，對任意的角，都有，故B錯誤；對于C，當時，或，此時與終邊在同一條直線上，故充分性成立，當與終邊同在直線上時，不存在，故必要性不成立，故是與終邊在同一條直線上的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，若函數(shù)為奇函數(shù)，設定義域為關于原點對稱，則，用替換，得到，此時定義域為，關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，故充分性成立，若函數(shù)為奇函數(shù)，設定義域為關于原點對稱，則，用替換，得到，此時定義域為，關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，故必要性成立，所以函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故D正確.故選：AD.11.已知實數(shù)，滿足，則下列不等關系一定正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，，所以，則，故A正確；對于B，正負無法確定，取，則滿足，但，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，由，得，又因為，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，則下列結論正確的是（）A.B.的最大值為2C.的增區(qū)間為D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，當時，，此時函數(shù)周期為，故，故A正確；對于B，當時，，當且僅當，即時等號成立，所以，又因為當時，，函數(shù)周期為，所以的最大值為2，故B正確；對于C，當時，，此時，所以在上為偶函數(shù)，任取，且，則，因為，且，所以，，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，根據(jù)周期性可知，的增區(qū)間為，故C正確；對于D，取，則，此時，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把〖答案〗填寫在答題卡相應位置上.）13.已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為__________弧度.〖答案〗2〖解析〗設扇形的圓心角為，由題意得，，解得，所以扇形的圓心角為2弧度.故〖答案〗為：2.14.已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為_______.〖答案〗1〖解析〗因為函數(shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以或1或2，當或2時，定義域為，且，此時函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當時，定義域為，且，此時函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；綜上所述，.故〖答案〗為：1.15.希羅平均數(shù)（Heronianmean）是兩個非負實數(shù)的一種平均，若，是兩個非負實數(shù)，則它們的希羅平均數(shù).記，，則從小到大的關系為______________.（用“≤”連接）〖答案〗〖解析〗由基本不等式可知，，當且僅當時等號成立；因為，當且僅當，即時等號成立，所以；因為，當且僅當，即時等號成立，所以；綜上所述，，當且僅當時等號成立.故〖答案〗為：.16.已知，則________，若，則________.〖答案〗〖解析〗由題意：，得：，所以：，所以：，因為：，所以：，又因為：，得：，所以：，得：，又因為：，所以：，，所以：.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共計70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知，求，的值.解：因為，所以，當時，，，則；當時，，，則；綜上所述，，，或，.18.已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，.（1）求的〖解析〗式；（2）求方程的解集.解：（1）因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，，所以任取，則，此時，所以.（2）當時，令，即，令，則，解得或，當時，，當時，，根據(jù)偶函數(shù)對稱性可知，當時，符合題意的解為，，綜上，原方程的解集為.19.（1）證明：；（2）已知，求值.解：（1）因為，且，所以.（2）因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以.20.某企業(yè)為響應國家節(jié)水號召，決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設備.這種凈水設備的購置費（單位：萬元）與設備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費（單位：萬元）與設備占地面積之間的函數(shù)關系為.將該企業(yè)的凈水設備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為（單位：萬元）.（1）要使不超過7.2萬元，求設備占地面積的取值范圍；（2）設備占地面積為多少時，的值最?。拷猓海?）由題意得，要滿足題意，則，即，解得：，即設備占地面積的取值范圍為.（2），當且僅當時等號成立，所以設備占地面積為時，的值最小.21.已知函數(shù)（其中），且.（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）解不等式：.解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：因為，所以，所以，任取，且，則，因為，且，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（2）定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以不等式，即，又因為在上單調(diào)遞增，，，所以，即，則，則，所以或，即不等式的解集為.22.已知函數(shù)，.（1）求的最大值；（2）若對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，，此時，，則；當時，單