平面向量與三角形的四心問(wèn)題-高三理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義與跟蹤訓(xùn)練含解析

平向與角的心題I題源探·黃金母題是

精解【試題來(lái)源2018南陽(yáng)中高三學(xué)第次考

【母題評(píng)析本主考向的）2B.【答案】C【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，因?yàn)?/p>

是

重心，

幾運(yùn)及用本等求值考考的析題決題的力屬難．【思路方法利基不式最值，定正理和握一正二，相”內(nèi)：正是首要斷數(shù)否正二定，次看或是為值（定最，定最；相是最一要證號(hào)否成（要意點(diǎn)一相時(shí)參否定域，是次所以，或

時(shí)號(hào)否時(shí)立，所以，簡(jiǎn)得，得題目所給圖像可知．由基本不等得，即．且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為．

II．場(chǎng)精彩真題回放【例高浙江向滿的最小值是_，大值是．【答案】，

a1,2,

則aa

【命題意圖本主考．題能好考考分問(wèn)解問(wèn)的力基計(jì)能等【考試方向這試在查型【解析】解法一：設(shè)向量a,b的夾角為，由余弦定理有：

上通以擇或空的式254cos

，

出，度等22

5

，則：

【難點(diǎn)中心】本通過(guò),b

的角結(jié)合模公式，解4cos

，令

a5

y則216cos據(jù)此可得：2016，maxa的最小值是，最大值是．

，

，利三角界性出大最值解法二：如圖所示，+b和a是,為邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，則ab

10

，A是

為圓心的單位圓上的一動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造個(gè)全等的平行四邊形

AOBD

，平行四邊形

ECOA

．所以+．易知當(dāng)A，B，C點(diǎn)共線時(shí)，

最小，此時(shí)ABAC

；當(dāng)AOBC時(shí)AB

最大，此時(shí)ABACAB5．a(chǎn)

D

ab

A

-b

EB

III理論礎(chǔ)·解原理三角形的心，指的是三角形的心、重心、內(nèi)心、外心．（1三角形的垂心是指三條高線的交點(diǎn)．垂心常用字母來(lái)示．

SS（2三角形的垂心是指三條中線的交點(diǎn)．重心常用字母G來(lái)示．重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的二倍．（3三角形的內(nèi)心是指三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．內(nèi)心常用字母I來(lái)表示．內(nèi)心到三邊的距離相等．（4三角形的外心是指三邊的中垂線的交點(diǎn)外心常用字母O來(lái)示．外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．公式1：圖在

中，點(diǎn)

為角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則

PC

(其A

)（）BDC證明：設(shè)

APBD,DC

，則OP

OAODOC,OD1

，

OB(1))(1)

．令

1,1)(1)(1)

，代入上式，取O為，得1)進(jìn)而可證明：

SPBC,,，記SSSaPACcABCABC

．代入公式（）得：公式：

SPASPCabc

（下面用公式三角形的四心統(tǒng)一公式進(jìn)行推導(dǎo)：⑴當(dāng)點(diǎn)為心

時(shí)，

S:Sab

1Rsin2sin2B:R22sin2Asin2B:sin2C

（其中

R

為三角形外接圓半徑）代入（）式得：sin2sin2BOBsin20

；⑵當(dāng)點(diǎn)為心

I

時(shí)，

S::Sabc

11ar::a:bcsin:sinB:22

（其中

r

為三角形內(nèi)切圓

2AB2AB半徑入）式得：sin2Asin2B:sin2C

（其中

R

為三角形外接圓半徑）代入（）式得：sinAIAsinBIB0bIBcIC

；⑶當(dāng)點(diǎn)為心

時(shí)，

S:a

，代入（2式得：

GC

．⑷當(dāng)點(diǎn)P為心

H

時(shí)，如圖，

SCEBHaSAEBHtan

tantan，同理tanAtanCStanB

，S:Stan:B:tanabc

，代入（2式得：

tanC

．IV題型攻略·度挖掘【考試方向】這類(lèi)試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等；若作為壓軸題，則難大．【技能方法】三角形“四心”的向量表示①在

中，若

OA

或OA

，則點(diǎn)

是

的外心；②在中若GC，點(diǎn)G是ABC的重心；③在

中，若OPAB

12

BC,

0,

，則直線AP

過(guò)

的重心；④在中若

，則點(diǎn)H是ABC的心⑤在ABC中，若OPOA

ABAC

(

，則直線AP通的心．【易錯(cuò)指導(dǎo)】很多同學(xué)不知道三角形中重心，外心，內(nèi)心，外心的定義及性質(zhì)，比如三角形重心將中線分為比一兩段，三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，內(nèi)心到三邊的距離相等；由這幾個(gè)向量式不知道如何簡(jiǎn)，特別是得到PB)V．一反三觸類(lèi)旁通考三形心向量

，由此想到垂心．【例018內(nèi)蒙古呼和浩特市高三11月質(zhì)量普查知AC

是平面上不共線的三點(diǎn)是ABC的心，

OAOBOC2OAOBOC2動(dòng)點(diǎn)

滿足

1

，則

一定為

的（）A重心

BAB

邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）．AB邊中線的中點(diǎn)

D．

邊的中點(diǎn)【答案】B【例2】已知點(diǎn)是()

的重心，內(nèi)角

所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且，則A

B

．

D．【答案】A【解析】∵點(diǎn)O是的重心∴，∵=，∴可設(shè)，，

c=x（x＞0，b=x，c=

（x＞0cosC===，∴

，同理可得：

，，選：．【名師點(diǎn)睛】設(shè)為

所在平面上一點(diǎn)，角

所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，（1為（2為

的外心的重心

．．（3為

的垂心

．（4為

的內(nèi)心

．【例廣桂林市賀州市三上學(xué)期期末聯(lián)考知

G

點(diǎn)為

的重心設(shè)

ABC

的內(nèi)角,BC

的

對(duì)邊為ab

且滿足向量BGCG，

C則實(shí)數(shù)）A2B3．【答案】D

2D3

AD

CD

AC

1922

BC

，

2

2

a

2

,

由atan

bC

，將正切化為正弦與余弦的商，利用正弦定理可得2

2

a

2a212

，故選D．【跟蹤練習(xí)】2018四宜賓高三上半期考】已知中AC4,AB2

，若G為重心，則AG

=A

8

B．

6

．4

D．【答案】C【解析】

AG

1BC133故選．【名師點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用以及數(shù)量積的應(yīng)用．平面向量數(shù)量積的類(lèi)型及法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法一是夾角公式＝θ；是標(biāo)公式a·bxx＋yy；三是利用數(shù)量1212積的幾何意義求復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)利平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．．已知G為ABC的心，且AGBG，212A1B．．D．34【答案】C

1tantanB

，則實(shí)數(shù)的為

AB2AB2

AsinBACsinC2AB21ABcosC2BCC22AB2

2018齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北分重點(diǎn)中學(xué)高考沖刺】已知是面上的一定點(diǎn)A、B、C是面上不共線的三點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿

ABsinACsin

則點(diǎn)P的軌跡一定通ABC的（）A內(nèi)心

B外心

C．心

D．心【答案】C【解析】在

ABC

中，由正弦定理得

sin

sin

，設(shè)

ABACC

邊上的中點(diǎn)為D

，由已知可得

APADkkk

，故

點(diǎn)的軌跡在三角形的中線上，則P

點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形的重心，故選C2018齊名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)高考沖刺】已知G為的重心，點(diǎn)MN分在邊AB上AG,

其中

xyAM

34

的面積之比為_(kāi)．【答案】

209

．圖所示，已知點(diǎn)

G是△ABC的心，過(guò)G作直線與、AC兩分別交于

M、N兩，且AMANyAC

，則

xyx

的值為．1【答案】3【解析】這題應(yīng)該用到這個(gè)結(jié)論：是線AB外點(diǎn)，

OCnOB，C

三點(diǎn)共線的充要條件是m

題中就是設(shè)

AGmAM

m

于

是

的重心

AG

13

(AB)

，又

AG

，根據(jù)平面向量基本定理得

mx

11，即x，3m3n

，代入得

3

．．已知的心O，過(guò)任一直線分別交邊ABAC于P,Q點(diǎn)，設(shè)AQnAC

，則4

的最小值是_______．【答案】

22AB22AB22AB22AB考三形心向量【例四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月月考設(shè)P

是

Δ

所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若ABCA2且BC．則點(diǎn)P是ΔABC的A外心

B內(nèi)心

C．心

D．心【答案】A【解析】由

ABAB

，即

，所以

ABPB

，設(shè)為AB的點(diǎn)，則

ABPD

，故

；因?yàn)?/p>

ABBC

，所以

，所以

ABAP

，設(shè)BC的點(diǎn)為E同可知

BC

所P為AB與BC的直平分線的交點(diǎn)所以是

Δ

的外心選A【名師點(diǎn)睛】三角形四”的向量表示①在中若

或OAOB，點(diǎn)是的心；②在

中，若

GA

，則點(diǎn)

是

的重心；③在中若OAAB

,0,

，則直線AP過(guò)的心；④在ABC中，若HAHC，點(diǎn)是的心；⑤在

ABC

中，若OAABAC

(

，則直線AP

通過(guò)

ABC

的內(nèi)心．【例河衡水中學(xué)高上學(xué)期九?！恳袿是面上一點(diǎn)，,BC

是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿

ACAC足

OC，2ABcosBC

0,，則點(diǎn)P

的軌跡經(jīng)過(guò)

的（）A外心

B內(nèi)心

C．心

D．心【答案】A∵DPBC

ABcosBAC

coscoscosACcosC

BCBC

，∴⊥，∴點(diǎn)P在BC的直分線上，即P經(jīng)ABC的外心，故選A．【例2018重一中高三下學(xué)期第一次月考】點(diǎn)

O

是銳角三角形

ABC

的外心，6,AC2

，則AO【答案】20【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)

O

分別作

OEAB

于E

于F

，則EF

分別是,

的中點(diǎn)，可得在Rt中OAE

AO

2AO

，所以

2

，同理可得

2

2

，所以

20

．

【名師點(diǎn)睛】本題考查了平面向量化簡(jiǎn)與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，其中解答中將

ABC

放在它的外接圓O中，點(diǎn)分作OEAB，，到,

分別是,AC

的中點(diǎn)，利用數(shù)量積的運(yùn)算，分別求得AO,AO

的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和三角形外接圓的性質(zhì)，有一定的綜合性，屬于中檔試題．【跟蹤練習(xí)】江南昌一?！吭O(shè)O是ABC的心(角形外接圓的圓心)．若

AO

11AB+，∠的33數(shù)等于()A

B45

．60

D．【答案】C【名師點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量在三角形的四心中以及向量三角形法則，求模運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)用，屬于中檔題．對(duì)于向量的小題常用的方法有：數(shù)形結(jié)合法，建系方法，見(jiàn)模平方的意識(shí)，基底化的意識(shí)．浙省普通高等學(xué)校全國(guó)招生統(tǒng)一考試數(shù)模擬知O為角外心，AB，3若AO

，且xy．l，l，lOA12

，則（）A

l213

B

l321

C．

l32

D．

l23【答案】D

12121212∴

AO

，AO22

．∵AO，∴AO3cosBACAOACxcos②③∵xy

92

①∴由①②③得cos

3378

，根據(jù)余弦定理可得BC9

321

，∴

ACAB

．在中由大邊對(duì)大角得：

BOCAOC

．∵

OAOBOC

，且余弦函數(shù)在0,

上為減函數(shù)，∴

OA

，∴

l23

，故選D．【名師點(diǎn)睛向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題．(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題．(3)向量的兩個(gè)作用：①載體作用關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫向外”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)問(wèn)題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題．．已知O銳角的外，

coscos，若ACsinC

則＝）A

B

35．3D．23

【答案】A新烏魯木齊地區(qū)高三第一次診斷測(cè)試ABC中，CACB，O是的外心，若COxCA10【答案】9

，則

．【解析因?yàn)镃OyCB

所COxCACA

，COxCA

，即

11CAxCACAyCBCACB因4y2

，解得x

5410639

．四川省雙流中學(xué)高三月月考知

為

的外心外接圓半徑為1

60，的最大值為_(kāi)_________．2【答案】3【解析】以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，∵

．

22222AB22222AB13設(shè)1,0,(,2

），

則BC

13,y2

,

∵BO，{

1

，解得

{

xy

1232∵B在上，代入

1

，即

，12，得或（舍去）故最大值為，填．4333考

三形心向【例2018西省運(yùn)城市康杰中學(xué)期中考試已O是面上的一定點(diǎn)AB是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿OA

ABAC

0,，則動(dòng)點(diǎn)P的跡一定通過(guò)

ABC

的（）A重心

B垂心

C．心

D．心【答案】D【名師點(diǎn)睛】平面向量的線性運(yùn)技巧：將向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線、平行四邊形等質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．【例四德陽(yáng)高三二診ABC中

所的邊分是a且aB5sinC

，

OB1221144OB12211441C

，若

為

ABC

的內(nèi)心，則

ABO

的面積為．【答案】

【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面積公式，包括倫公式及有關(guān)內(nèi)切圓的面積公式．首先根據(jù)

C，4sin5sinC，到5sinC

，利用兩角和與差的正弦公式和二倍角公式，化簡(jiǎn)這個(gè)式子可求得cosC的．利用海倫公式可求得面積．【跟蹤練習(xí)】2017年月浙江省重點(diǎn)中學(xué)期末熱身聯(lián)考】已知三角形ABC，，BC，，為角形

的內(nèi)心，記

I1

，

IOB?2

，

I3

，則（）A

II31

B

II1

3

C．

III3

2

D．

II2【答案】A【解析】∵三角形ABC，AB2，BC，AC，O為角形ABC的心∴

OAOC∴3OAABOAAC，OAOB，

4AC9即ABAC39OCCB，即

OC

ACBCACAC3999∴IOA

20242162ABACABABAB8181

2323420243IOBABACACABACAB8181818147216220216020IOCACABAB999981818181根據(jù)余弦定理可得：

BAC

BA

2

2BC216∴

ABAC

112∴

I

16112713044311135160201110，I，I818128181812162818123∴

III31【名師點(diǎn)睛面量的綜合題與角度與長(zhǎng)度結(jié)合在一起考查解時(shí)運(yùn)用向量的運(yùn)算量的幾何意義，同時(shí)，需注意挖掘題目中尤其是幾何圖形中的隱含條件，常利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化利用幾何圖形中的不等關(guān)系將問(wèn)題簡(jiǎn)化，一般會(huì)與函數(shù)，不等式等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯，或利用平面向量的數(shù)量積決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題是今后考試命題的趨勢(shì)；點(diǎn)

是平面

ABC

上任意一點(diǎn)，點(diǎn)

是

ABC

內(nèi)心的充要條件是：bO

．2017山西太原高三二?！恳阎c(diǎn)

是

ABC

的內(nèi)心，

，

，則

BOC

面積的最大值為_(kāi)______【答案】

312【名師點(diǎn)睛】?jī)?nèi)心性質(zhì)

BOC1800

0A902

，本題關(guān)鍵要找到

與

BOC

的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理，結(jié)合面積公式可求．考三形心向量

【例2018江南昌市八一中學(xué)、洪都中學(xué)、麻丘中學(xué)、十七中、桑海中月聯(lián)考】

ABC

的外接圓的圓心為O，若

OAOBOC

，則H

是

ABC

的（）A外心

B內(nèi)心

C．心

D．心【答案】D【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是如何借助三角形的外接圓的圓心這一有效信息，然后再運(yùn)用向的數(shù)量積公式進(jìn)行合理地變形最逐一驗(yàn)證獲

H

，

，

由此可推斷

是三角形的垂心，從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)捷、巧妙獲解．【例10廣東東莞市高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查】已知在中，是垂心，點(diǎn)P滿：3OP

1OAOB，ABP的積與的積之比是（）2A

23B．．D342【答案】A【解析】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，設(shè)

11OAON，則N是的中點(diǎn)，點(diǎn)與M22

重合，故由3OP

1OAOB2

可得

OP

，即

OCOM

，也即

PM

，由向量的共線定理可得,P,M共且

MP

23

MC

所結(jié)合圖形可得ABP

的面積與

的面積之比是

2222222223

，應(yīng)選答案A．【跟蹤練習(xí)】．已知O為ΔABC所平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足BCOCAB

，則是Δ的（）A外心

B內(nèi)心

C．心

D．心【答案】C云省名校月考（一

，

，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A若是的重心，則C．PABC的心，則

B若P是ABC的心，則D若P是的心，則

24【答案】B【解析】如圖，設(shè)AD，線AP與線交D點(diǎn)，因?yàn)?/p>

，所以

D

r

r

r

r

，即

，過(guò)D

作DE

分別平行于,，則

AE

，而

，

AC

，由平行線分線段成比例得

CDFD

，同