概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)五章

第5章隨機(jī)變量的數(shù)字特征在許多問題中，并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，而只需了解它的某一性質(zhì)或特征就可以了。本章將介紹隨機(jī)變量的一些常見的數(shù)字特征，如數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)等，它們?cè)诶碚摵蛯?shí)踐上都有重要意義。

§5.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望5.1.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義5.1.1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=ak}=pk(k=1,2,...),若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱它為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，或平均值（簡(jiǎn)稱期望或均值）記為，即（5.1.1）

若級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在.例5.1.1有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：甲：乙：擊中環(huán)數(shù)８９１０擊中環(huán)數(shù)８９１０概率0.30.10.6概率0.20.50.3試問哪個(gè)射手本領(lǐng)較大？例5.1.2

據(jù)統(tǒng)計(jì)，一個(gè)50歲的人，在一年內(nèi)死亡的概率為1.5％，今有一個(gè)50歲的人參加一年期保險(xiǎn)額度為20萬(wàn)元的某種保險(xiǎn)，須繳保費(fèi)4千元，求保險(xiǎn)公司獲利的數(shù)學(xué)期望．例5.1.3（一種驗(yàn)血方法）在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，N個(gè)人去驗(yàn)血，對(duì)這些人的血的化驗(yàn)可以用兩種方法進(jìn)行。（1）每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要化驗(yàn)N次；（2）把k個(gè)人血液混在一起化驗(yàn)，如果是陰性的，那么對(duì)這k個(gè)人只需作一次化驗(yàn)，如果結(jié)果是陽(yáng)性的，那么必須對(duì)這k個(gè)人再逐個(gè)分別化驗(yàn)，這時(shí)對(duì)這k個(gè)人共需作k+1化驗(yàn)。假定對(duì)所有的人來(lái)說(shuō)，化驗(yàn)是陽(yáng)性反應(yīng)的概率都是p，而且這些人的反應(yīng)是相互獨(dú)立的。試說(shuō)明按方法（2）可以減少化驗(yàn)次數(shù)，并說(shuō)明k取何值時(shí)最為適當(dāng)。1．兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布律為

X10

概率pq

2．二項(xiàng)分布隨機(jī)變量X的分布律為3．泊松分布隨機(jī)變量X的分布律為4．幾何分布隨機(jī)變量X的分布律為例5.1.4

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到第一次擊中為止，求射擊次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．5.1.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，若其密度函數(shù)為，注意到的作用與離散型隨機(jī)變量的相類似，于是有如下定義．定義5.1.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對(duì)收斂，則定義（5.1.2）若積分不絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在．下面介紹幾個(gè)常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．1．均勻分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為2．指數(shù)分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為3．正態(tài)分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例5.1.5

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求X的數(shù)學(xué)期望．例5.1.6有5個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一個(gè)指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為（1）若將這5個(gè)裝置串聯(lián)組成整機(jī)，求整機(jī)的壽命的數(shù)學(xué)期望；（2）若將這5個(gè)裝置并聯(lián)組成整機(jī)，求整機(jī)的壽命的數(shù)學(xué)期望.例5.1.7

設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為則．例5.1.8

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為已知，試求的值．5.1.3

隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在許多實(shí)際問題中，常常需要計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即若，要求出，當(dāng)然可以先由X的分布求出Y的分布,再由定義求．但我們也可以不必求出Y的概率分布，而直接由的概率分布來(lái)計(jì)算．定理5.1.1

設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)，，是連續(xù)函數(shù)．（1）X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則（5.1.3）（2）X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為,若絕對(duì)收斂，則（5.1.4）證略（定理證明超出本書范圍）．該定理可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的情形.定理5.1.2

設(shè)隨機(jī)變量Z是隨機(jī)變量X，Y的函數(shù)，，是連續(xù)函數(shù)．（1）是離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則有

（5.1.5）（2）是連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為，若積分絕對(duì)收斂，則有

（5.1.6）例5.1.9某商家對(duì)一商品的需求量是隨機(jī)變量X（單位：噸），它在[2000,4000]上服從均勻分布,設(shè)商家每出售該商品1噸，可獲利3萬(wàn)元，若銷售不出而積壓于倉(cāng)庫(kù),每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)元．問需組織多少貨源，才能使商家最大獲利？例5.1.10

設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作.若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障,可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元;發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元;發(fā)生兩次故障則無(wú)利潤(rùn);發(fā)生三次或三次媽上故障就要虧損2萬(wàn)元.求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少?例5.1.11

某巴士車站從早上6點(diǎn)到晚上9點(diǎn)于每個(gè)整數(shù)點(diǎn)后的第5、第15、第35、第55分鐘均有一輛巴士到達(dá)．假設(shè)乘客在一個(gè)整數(shù)點(diǎn)內(nèi)到達(dá)是等可能的，求一個(gè)乘客由于等車而浪費(fèi)的平均時(shí)間．例5.1.12設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求*例5.1.13

隨機(jī)變量，，試求．5.1.4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)5.1.1

設(shè)X是隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則性質(zhì)5.1.2設(shè)X、Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有性質(zhì)5.1.3

設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有例5.1.14

有100人過年時(shí)互贈(zèng)寫有祝福語(yǔ)的賀卡，每人準(zhǔn)備一張（外形相同）集中放在一起，然后每人從中隨機(jī)地挑選一張，求恰好取回自己賀卡人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．例5.1.15

設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為試證E(XY)=E(X)E(Y),但X與Y不相互獨(dú)立.§5.2隨機(jī)變量的方差數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的集中位置，或者說(shuō)是隨機(jī)變量的平均值．有時(shí)僅了解隨機(jī)變量取值的均值還不夠，還需了解其取值與均值的偏離程度，這就需要引進(jìn)隨機(jī)變量的另一個(gè)重要數(shù)字特征——方差．定義5.2.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,若存在，則稱為隨機(jī)變量X的方差，記為，或，即（5.2.1）而稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為．有時(shí)也將簡(jiǎn)寫為．

若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為則（5.2.2）

若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，則（5.2.3）

由方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得方差的如下的計(jì)算公式（5.2.4）例5.2.1

已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為試求X的分布律.例5.2.2

已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求方差．例5.2.3設(shè)二維隨機(jī)變量服從D上的均勻分布，其中D是由軸x，軸y及直線所圍成的三角區(qū)域，求D(Y)．下面計(jì)算幾個(gè)常見的隨機(jī)變量的方差．1．兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布律為

X10

概率pq,，則2．二項(xiàng)分布隨機(jī)變量X的分布律為把X看作是n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率．令顯然，，這里服從參數(shù)為p的0-1分布,且相互獨(dú)立，因此3．泊松分布隨機(jī)變量X的分布律為4．均勻分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為5．指數(shù)分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為6．正態(tài)分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

特別地，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望是0，方差是1．在有些問題中，經(jīng)常需要將隨機(jī)變量“標(biāo)準(zhǔn)化”，即對(duì)任一隨機(jī)變量X，如果它的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，，則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量．方差的一些基本性質(zhì)．性質(zhì)5.2.1設(shè)C為常數(shù)，則．性質(zhì)5.2.2

設(shè)X為隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則性質(zhì)5.2.3

設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則性質(zhì)5.2.3還可以推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量的情形．如果是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且均存在，則性質(zhì)5.2.4

的充要條件是依概率1取常數(shù)C,即

P(X=C)=1§5.3

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義5.3.1

若存在，則稱它為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差,記為，即（5.3.1）而（5.3.2）稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)．是一個(gè)無(wú)量綱的量，要求，．例5.3.1

設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律為

-10101/301/3101/30計(jì)算，．XY例5.3.2

設(shè)服從二維正態(tài)分布,即的聯(lián)合密度函數(shù)為試求相關(guān)系數(shù)．由定義，不難驗(yàn)證協(xié)方差滿足下列性質(zhì)：對(duì)于相關(guān)系數(shù)來(lái)說(shuō)，具有下列有關(guān)性質(zhì)：

(1)，

該性質(zhì)表明X,Y的相關(guān)系數(shù)是衡量X與Y之間線性相關(guān)程度的量.當(dāng)時(shí),X與Y依概率1線性相關(guān).特別當(dāng)時(shí),Y隨X的增大而線性地增大,此時(shí)稱X與Y正線性相關(guān);當(dāng)時(shí),Y隨X的增大而線性地減小,此時(shí)稱X與Y負(fù)線性相關(guān).而當(dāng)時(shí),X與Y之間線性相關(guān)程度減弱,特別當(dāng)時(shí),我們稱X與Y不相關(guān).例5.3.3

設(shè)隨機(jī)變量X的概率概率密度函數(shù)為(1)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X);(2)求X與|X|的協(xié)方差,并問X與|X|是否不相關(guān)?(3)問X與|X|是否相互獨(dú)立?為什么?§5.4高階矩對(duì)數(shù)學(xué)期望和方差作進(jìn)一步的推廣，可得到更廣泛的一種隨機(jī)變量的數(shù)字特征——高階矩．定義5.4.1

設(shè)X與Y是隨機(jī)變量，若（5.4.1）存在，則稱它為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，若（5.4.2）存在，則稱它為隨機(jī)變量X的k階中心矩，若（5.4.3）若（5.4.4）存在，則稱它為隨機(jī)變量X與Y的階混合中心矩．顯然X的數(shù)學(xué)期望是X的一階原點(diǎn)矩，方差是X的二階中心矩，協(xié)方差是X與Y的1+1階混合中心矩．例5.