第7章 平面圖形的認識(二)-平行線幾何模型(M模型 培優(yōu)篇) 蘇科版七年級數(shù)學下冊基礎(chǔ)知識講與練(含答案)

專題7.16平行線幾何模型（M模型）（鞏固培優(yōu)篇）（專項練習）1．已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．求證：；填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為．3．已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；當點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．4．問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．猜想：若，，試猜想______°；探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．5．如圖：(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．(2)如圖2，，點為直線，間的一點，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．(3)如圖3，與相交于點，點為內(nèi)一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．6．（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么新的猜想？7．如圖，，點E在直線AB，CD內(nèi)部，且．（1）如圖1，連接AC，若AE平分，求證：平分；（2）如圖2，點M在線段AE上，①若，當直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由；②若（為正整數(shù)），當直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．8．已知直線l1//l2，A是l1上的一點，B是l2上的一點，直線l3和直線l1，l2交于C和D，直線CD上有一點P．（1）如果P點在C，D之間運動時，問∠PAC，∠APB，∠PBD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）若點P在C，D兩點的外側(cè)運動時（P點與C，D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）9．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．10．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；若∠E＝60°，則∠F＝；請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．11．如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系；將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大小．12．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）13．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．14．如圖1，點、分別在直線、上，，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．15．已知ABCD，∠ABE的角分線與∠CDE的角分線相交于點F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系．16．已知直線AM、CN和點B在同一平面內(nèi)，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如圖1，求∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若BD⊥AM，垂足為D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，已知點D、E、F都在直線AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．17．如圖1，點在直線上，點在直線上，點在，之間，且滿足．（1）證明：；（2）如圖2，若，，點在線段上，連接，且，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若（為大于等于的整數(shù)），點在線段上，連接，若，則______．18．如圖1，直線ABCD，點P在兩平行線之間，點E在AB上，點F在CD上，連接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，請求出∠EPF．（請寫出必要的步驟，并說明理由）（2）如圖2，若點P，Q在直線AB與CD之間時，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，請求出∠4=．（不需說明理由，請直接寫出答案）（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若設(shè)∠PEB＝x°，∠PFD＝y(tǒng)°，則∠P1=（用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，則∠Pn＝．（用含x，y的式子表示）19．已知，點為平面內(nèi)一點，于．（1）如圖1，點在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；（2）點在兩條平行線之間，過點作于點．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點平分交于點．若，求的度數(shù)．20．如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．21．如圖，，點A、B分別在直線MN、GH上，點O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點C、D是、角平分線上的兩點，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點F是平面上的一點，連結(jié)FA、FB，E是射線FA上的一點，若，，且，求n的值．22．如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．23．已知，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點．（1）如圖1所示時，試問，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．（2）除了（1）的結(jié)論外，試問，，還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫圖并證明（3）當滿足，且，分別平分和，①若，則__________°．②猜想與的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）24．如圖1，由線段組成的圖形像英文字母，稱為“形”．（1）如圖1，形中，若，則______；（2）如圖2，連接形中兩點，若，試探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，且的延長線與的延長線有交點，當點在線段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出與所有可能的數(shù)量關(guān)系．

參考答案1．(1)證明見詳解 (2)；理由見詳解【分析】（1）過點作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內(nèi)角和是180°，可得．（1）解：如圖：過點作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點撥】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用．2．(1)見分析 (2)①；②結(jié)論：【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可；（2）①利用基本結(jié)論求解即可；②利用基本結(jié)論，，求解即可．解：（1）證明：如圖，過作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結(jié)論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．3．(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；②如圖6過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．（1）解：如圖4所示：過點作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過點作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過點作，∵∴∴，，∵，∴．【點撥】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵．4．(1) (2)；證明見詳解 (3)【分析】（1）過點作，利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；（3）分別過點、點作、，然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可．（1）解：如圖過點作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖過點作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如圖分別過點、點作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案為：．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．5．(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，見分析；(3)∠BED的度數(shù)為130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延長DE交BF于點H，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F；（3）延長DF交AB于點H，延長GE到I，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°．解：（1）如圖，作EF∥AB，，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：過點E作EG∥AB，延長DE交BF于點H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，則∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，綜上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延長DF交AB于點H，延長GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度數(shù)為130°．【點撥】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，掌握平行線的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．6．（1）見分析；（2）當點C在AB與ED之外時，，見分析【分析】（1）由題意首先過點C作CF∥AB，由直線AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD．解：（1）證明：過點C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）結(jié)論：∠ABC-∠CDE=∠BCD，證明：如圖：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若點C在直線AB與DE之間，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【點撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法．7．（1）見分析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由見分析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由見分析.【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°，再根據(jù)可得∠EAC+∠ECA=90°，根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°，繼而求得∠DCE=∠ECA；（2）①過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案；②過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.（1）解：因為，所以∠BAC+∠DCA=180°，因為，所以∠EAC+∠ECA=90°，因為AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì).8．（1）；（2）當點在直線上方時，；當點在直線下方時，．【分析】（1）過點作，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）按點的兩種情況分類討論：①當點在直線上方時；②當點在直線下方時，同理（1）可得、，再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論．解：（1）．過點作，如圖1所示．，，，，，，．（2）結(jié)論：當點在直線上方時，；當點在直線下方時，．①當點在直線上方時，如圖2所示．過點作．，，，，，，．②當點在直線下方時，如圖3所示．過點作．，，，，，，．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”找到相等的角．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．9．（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點撥】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理．10．(1) (2)，理由見分析 (3)【分析】（1）如圖1，分別過點，作，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，由，，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過點作，設(shè)，則，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，于是得到結(jié)論．（1）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案為：；（2）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如圖2，過點作，由（2）知，，設(shè)，則，平分，平分，，，，，，，．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．(1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，則∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結(jié)論得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計算出∠BAE的度數(shù)．解：(1)∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED(2)如圖2，由（1）的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED(3)由（1）的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．12．（1）見分析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側(cè)時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側(cè)時，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．13．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（1）見分析；（2），見分析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°和平角定義得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義證得，結(jié)合已知即可得出結(jié)論；（3）分當在直線下方和當在直線上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可．解：（1）如圖1，延長交于點，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）延長交于點，交于點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴；（3）當在直線下方時，如圖，設(shè)射線交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，即，解得：．當在直線上方時，如圖，同理可證得，則有，解得：．綜上，故答案為或．【點撥】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義、角度的運算，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．15．（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EGAB，F(xiàn)HAB，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．解：（1）如圖1，作，，∵，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∵的角平分線和的角平分線相交于F，∴，∴，∵、分別是和的角平分線，∴，，∴，∴；（2）如圖2，∵，，∴，，∵與兩個角的角平分線相交于點，∴，，∴，∵，∴，∴；（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴，，∵與兩個角的角平分線相交于點，∴，，∴，∵，∴．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的計算，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補的性質(zhì)．16．（1）∠A+∠C=90°；（2）見分析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系求解．（2）畫輔助平行線找角的聯(lián)系．（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)求解．解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案為：∠A+∠C=90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點撥】本題考查平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，畫輔助線，找到角的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵．17．（1）見分析；（2）見分析；（3）n-1【分析】（1）連接AB，根據(jù)已知證明∠MAB+∠SBA=180°，即可得證；（2）作CF∥ST，設(shè)∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根據(jù)AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到結(jié)論；（3）作CF∥ST，設(shè)∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分別表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．解：（1）如圖，連接，，，，，（2），理由：作，則如圖，設(shè)，則．，，，，．即．（3）作，則如圖，設(shè)，則．，，，，，故答案為．【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式．18．（1）110°；（2）80°；（3）【分析】（1）過點P作PH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可證得；（2）同理依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可證得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；（3）利用（1）的結(jié)論和角平分線的性質(zhì)即可寫出結(jié)論．解：（1）如圖1，過點P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；（2）過點P作,，，，，，，，，，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案為：80°；（3）過點P作，平分，，同理，∴，同理，故答案為：，．【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．19．（1）∠A+∠C=90°；（2）①見分析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；（2）①過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導．余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時注意方程思想的運用．20．（1）證明見分析；（2）證明見分析；（3）120°．【分析】（1）過點A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．解：（1）證明：如圖1，過點A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準確的推導是解決本題的關(guān)鍵．21．（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如圖：分別延長AC、CD交GH于點E、F，先根據(jù)角平分線求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到；進一步求得，，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；（3）設(shè)BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，從而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．解：（1）如圖：過O作OP//MN，∵MN//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°∵∠NAO=116°，∠OBH=144°∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；（2）分別延長AC、CD交GH于點E、F，∵AC平分且，∴，又∵MN//GH，∴；∵，∵BD平分，∴，又∵∴；∴；（3）設(shè)FB交MN于K，∵，則；∴∵，∴，，在△FAK中，,∴，∴．經(jīng)