高三二輪復習專題09空間幾何體的表面積和體積

2024屆高三二輪復習第9講：空間幾何體表面積和體積解析版2023年考情考題示例考點關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第12題球、圓柱、棱柱的性質(zhì)無2023年新I卷，第14題棱臺的體積無2023年新Ⅱ卷，第9題圓錐的側(cè)面積和體積二面角2023年天津卷，第8題三棱錐的體積無2023年乙卷文科，第16題球的性質(zhì)線面垂直2023年乙卷文科，第19題（2）三棱錐的體積無2023年甲卷理科，第11題四棱錐無2023年甲卷理科，第15題球和正方體的性質(zhì)無2023年甲卷文科，第10題三棱錐的體積無2023年甲卷文科，第18題（2）四棱錐的高求法四棱錐的體積題型一：多面體的表面積和體積【典例例題】例1.（2023春·廣東省東莞實驗中學高三一模）如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當傾斜到某一位置時，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h為（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【分析】利用兩個圖形裝水的體積相等即可求解.【詳解】在圖1中，在圖2中，，.故選：A.【變式訓練】1.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三第二次聯(lián)考）如圖為三棱錐的平面展開圖，其中，，垂足為，則該三棱錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何體平面展開圖得到其直觀圖，再根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】由三棱錐的平面展開圖可得其直觀圖如下：其中，，，，又，平面，所以平面，所以，故答案：2.（2023春·廣東省高三二模）已知直四棱柱的棱長均為2，，除面ABCD外，該四棱柱其余各個面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，Ⅰ，則由點E，F(xiàn)，G，H，Ⅰ構(gòu)成的四棱錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合錐體的體積公式分析運算.【詳解】連接，由題意可得，分別過E，F(xiàn)，G，H作底面ABCD的垂線，垂足分別為，可得分別為的中點，連接，可得，由題意可得：為四棱柱，則，四棱錐的高為直四棱柱的高的一半，即為1，所以四棱錐的體積.故答案為：.3.（2023秋·廣東省深圳市高三模擬）（多選）已知正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為2，則（）A.棱臺的側(cè)面積為B.棱臺的體積為C.棱臺的側(cè)棱與底面所成角的余弦值為D.棱臺的側(cè)面與底面所成銳二面角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A.在等腰梯形中解出其面積即可得出棱臺的側(cè)面積.對于B.在等腰梯形中解出其高即為棱臺的高，將其代入即可得出答案.對于C.棱臺的側(cè)棱與底面所成角為，在解出即可.對于D.側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角為角，在解出即可.【詳解】作正四棱臺如圖所示：對于A.過作于，,所以,所以棱臺的側(cè)面積為.所以A正確.對于B.連接，過作于，過作于點，，,,，上底面面積，下底面面積，棱臺的體積為.故B錯誤.對于C.因為為在底面的投影，所以為側(cè)棱與底面所成角.,所以C正確.對于D.為側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，，所以D正確.故選：ACD.題型二：旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積【典例例題】例1.（2023春·廣東省高三一模）已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，因為圓錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長為，則圓錐和圓柱的高為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為,故選:C.【變式訓練】1.（2023春·廣東省高三二模）現(xiàn)有一個軸截面是邊長為4的等邊三角形的倒置圓錐（頂點在下方，底面在上方），將半徑為的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側(cè)面相切，過所有切點所在平面將圓錐分割成兩個部分，則分割得到的圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作軸截面圖，求出圓臺的母線長，底面半徑長，結(jié)合側(cè)面積公式可得其解.【詳解】作軸截面圖如下：為圓錐的軸截面，點為與側(cè)面相切球的球心，點為切點，由已知，可得，，，，在中，，，，所以，又，所以，所以圓臺的母線長為，因，，所以為等邊三角形，所以，所以圓臺的側(cè)面積.故選：D.2.（2023春·廣東省潮州市高三二模）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出圓臺上下底面半徑，圓臺的高，代入圓臺的體積計算公式即可求解.【詳解】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：圖中，，過點向作垂線，垂足為，則，所以圓臺的高，則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：，故選：3.（2023春·廣東省佛山市高三二模）科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號”III型浮空艇成功完成10次升空大氣科學觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力．“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”III型浮空艇的體積約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為，而圓臺一個底面的半徑為，再根據(jù)球、圓柱和圓臺的體積公式即可求解．【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺一個底面的半徑為（m），而圓臺一個底面的半徑為（m），則（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故選：A．4.（2023春·廣東省揭陽市普寧市華僑中學高三二模）遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎（如圖1）出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（忽略鼎壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用球體、圓柱體體積公式求鼎的容積.【詳解】由題設(shè)，此鼎的容積為半球體積與圓錐體積的和，所以容積約為.故選：D題型三：球的表面積和體積【典例例題】例1.（2023春·廣東省高三一模）水平桌面上放置了4個半徑為2的小球，4個小球的球心構(gòu)成正方形，且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為（）A.4 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，保證小球與球各面（含球面部分）都相切，進而求半徑最小值.【詳解】要使半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小，只需保證小球與球各面（含球面部分）都相切，此時，如上圖示，為半球的球心，為其中一個小球球心，則是棱長為2的正方體的體對角線，且該小球與半球球面上的切點與共線，所以半球形容器內(nèi)壁的半徑的最小值為小球半徑與長度之和，即,故選：C【變式訓練】1.（2023春·廣東省廣州市高三一模）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A2.（2023春·廣東省江門市高三一模）（多選）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機械工程專家，機構(gòu)運動學的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（）A.勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B.勒洛四面體被平面截得的截面面積是C.勒洛四面體表面上交線的長度為D.勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于2【答案】ABD【解析】【分析】A選項：求出正四面體的外接球半徑，進而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項，作出截面圖形，求出截面面積；C選項，根據(jù)對稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長度；D選項，作出正四面體對棱中點連線，在C選項的基礎(chǔ)上求出長度.【詳解】A選項，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：取的中點，連接，過點作于點，則為等邊的中心，外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，由正四面體的棱長為2，則，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此時我們再次完整的抽取部分勒洛四面體，如圖所示：圖中取正四面體中心為，連接交平面于點，交于點，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；B選項，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個頂點的截面，如圖所示：面積為，B正確；C選項，由對稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點，故，又，由余弦定理得：，故，且半徑為，故交線的長度等于，C錯誤；D選項，將正四面體對棱所在的弧中點連接，此時連線長度最大，如圖所示：連接，交于中點，交于中點，連接，則，則由C選項的分析知：，所以，故勒洛四面體表面上兩點間的距離可能大于2，D正確.故選：ABD3.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）如圖，在正四棱臺中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積______．【答案】【解析】【分析】作出正棱臺以及球的截面圖，作輔助線結(jié)合圓的切線性質(zhì)，求得球的半徑，即可求得答案.【詳解】設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點，與面，面分別切于點，作出其截面如圖所示，則，，于是，過點M作于點H，則，由勾股定理可得︰,所以，所以該球的表面積，故答案為：4.（2023春·廣東省梅州市高三一模）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學著作，書中記載有幾何體“芻甍”.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面為正方形，平面，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，且，則此芻甍的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點到平面的距離，再由幾何體的結(jié)構(gòu)特征確定球心位置，結(jié)合球面的性質(zhì)求解作答.【詳解】取、中點、，正方形中心，中點，連接，根據(jù)題意可得平面，，點是的中點，，在等腰中，，，同理，則等腰梯形的高為，根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征可知，芻甍的外接球的球心在直線上，連接，正方體的外接圓的半徑，則有，而，，當點在線段的延長線（含點）時，視為非負數(shù)，若點在線段的延長線（不含點）時，視為負數(shù)，即有，則，解得，則芻甍的外接球的半徑為，則芻甍的外接球的表面積為，故選：C.5.（2023秋·廣東省中山市模擬）已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】求出三角形外接圓圓心，過作平面，且，則為三棱錐的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.【詳解】如圖根據(jù)題意，平面，所以即與平面所成角，則，又因為，，所以，則,又，即三角形為直角三角形，取中點，則為三角形外接圓圓心，取中點，則，且，所以，即為三棱錐的外接球球心，其半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：1.（新課標全國Ⅰ卷）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【詳解】對于選項A：因為，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對于選項B：因為正方體的面對角線長為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對于選項C：因為正方體的體對角線長為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對于選項D：因為，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過的中點作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對稱放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.2.（新課標全國Ⅰ卷）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為________．【答案】【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.3.（新課標全國Ⅱ卷）（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設(shè)是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.4.（新課標全國Ⅱ卷）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.5.（全國乙卷數(shù)學(理)（文））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（

）A．24 B．26 C．28 D．30【答案】D【詳解】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.6.（全國乙卷數(shù)學（文））已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為直三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.7.（全國乙卷數(shù)學(理)）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B8.（全國甲卷數(shù)學（文））在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】取中點，連接，如圖，是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A9.（全國甲卷數(shù)學（文））在正方體中，為的中點，若該正方體的棱與球的球面有公共點，則球的半徑的取值范圍是________．【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為.當球是正方體的外接球時，恰好經(jīng)過正方體的每個頂點，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會包含正方體，導致球面和棱沒有交點，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；分別取側(cè)棱的中點，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點，連接，則，當球的一個大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：10.（全國甲卷數(shù)學（理））在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.11.（全國甲卷數(shù)學（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____________．【答案】12【詳解】不妨設(shè)正方體棱長為2，中點為，取，中點，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個交點，同理，根據(jù)正方體的對稱性知，其余各棱和球面也只有1個交點，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.故答案為：1212.（新高考天津卷）在三棱錐中，線段上的點滿足，線段上的點滿足，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B1.（2023春·廣東省深圳市4月份高三大聯(lián)考）圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為r，母線長為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A.2.（2023秋·廣東省東莞市模擬）已知體積為1的正四棱臺上、下底面的邊長分別為，若棱臺的高為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由棱臺的體積公式及立方差公式計算可得.【詳解】由題意，正四棱臺的體積，所以.故選：A3.（2023春·廣東省深圳市高三一模）如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因為，，所以，即.故選：A4.（2023秋·廣東省深圳市高三聯(lián)考）如圖所示，一個球內(nèi)接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.【詳解】因為圓臺外接球的表面積，所以球的半徑，設(shè)圓臺的上?下底面圓心分別為，在上?下底面圓周上分別取點，連接，如圖，因為圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，所以，，所以，,所以，所以圓臺體積.故選：D.5.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）已知四棱臺的下底面為矩形，，高為，且該棱臺的體積為，則該棱臺上底面的周長的最小值是（）A.15 B.14 C.13 D.12【答案】D【解析】【分析】設(shè)棱臺的上底面矩形邊長分別為，，則下底面矩形邊長分別為，，由棱臺的體積公式得到，再利用基本不等式求出上底面的周長最小值．【詳解】設(shè)棱臺的上底面矩形邊長分別為，，則下底面矩形邊長分別為，，則棱臺的體積為，，所以棱臺的上底面的周長為，當時，即上底面的周長最小值為．故選：D．6.（2023春·廣東省深圳市高三二模）設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為、和，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.表示出3個幾何體的表面積，得出，進而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.【詳解】設(shè)正方體棱長為，正四面體棱長為，球的半徑為，面積為.正方體表面積為，所以，所以，；如圖，正四面體，為的中點，為的中心，則是底面上的高.則，，所以，所以，所以，正四面體的表面積為，所以.又為的中心，所以.又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知，所以，所以，；球的表面積為，所以，所以，.因為，所以，，所以，.故選：B.7.（2023秋·廣東省東莞市高三模擬）如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時，水面恰好過，，，的中點，那么當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用水的體積不變，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】如圖，設(shè)，，的中點分別為E，F(xiàn)，G，則，，所以水部分四棱柱與原三棱柱的底面面積之比為，由于兩種狀態(tài)下水的體積相等，所以當?shù)酌嫠椒胖脮r，水面高為側(cè)棱長的，即.故選：C8．（2023春·廣東省東莞實驗中學高三一模）（多選）已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（

）.A．平面QBCB．設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C．平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D．二面角的正切值為【答案】BCD【分析】由題可得PQ為球O的直徑，設(shè)P到底面的距離為h，球的半徑為R，結(jié)合條件可得，可得，然后逐項分析即得.【詳解】∵同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.9.（2023春·廣東省惠州市高三一模）（多選）在如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正方形，均與底面垂直，且，點分別為線段的中點，則下列說法正確的是（）A.直線與所在平面相交B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與直線所成角的余弦值為D.二面角中，平面，平面為棱上不同兩點，，若，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)條件可知該幾何體為長方體截去一個角，對于A項，可以證線面平行來否定；對于B項，容易得到外接球直徑進而求得外接球表面積；對于C項，利用空間向量的數(shù)量積計算異面直線的夾角；對于D項，先得出二面角，再利用空間向量計算模長即可.【詳解】由已知可得該幾何體為長方體截去一個角，對于，連接，可證得四點共面，又可證得，所以平面，故錯誤；對于B，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球的表面積為，故B正確；對于C項，易證AB⊥BF，AB⊥C1F，F(xiàn)C1⊥BE，則，，故C正確；對于D項，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，于是，，且，故D正確．故選：BCD．10.（2023春·廣東省汕頭市高三一模）（多選）如圖，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（）A.B.C.四邊形的面積為D.平行六面體的體積為【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項通過空間向量的模長及數(shù)量積進行判斷即可；C選項通過空間向量求出，進而求出面積即可；D選項作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長，即可求出體積.【詳解】，則，故，A正確；，，，故，B正確；連接，則，，即，同理，故四邊形為矩形，面積為，C錯誤；過作面，易知在直線上，過作于，連接，由得面，易得，故，，，故平行六面體的體積為，D正確.故選：ABD.12.（2023春·廣東省大灣區(qū)高三第二次聯(lián)考）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得內(nèi)切球半徑，再畫圖設(shè)底面半徑為，利用三角函數(shù)值代換表達出表面積的公式，再設(shè)，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點為，底面圓周上一點為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當且僅當，即時取等號.故選：A.13.（2023春·廣東省高州市高三二模）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的4倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為，根據(jù)棱柱和棱臺的體積公式直接計算，然后求比可得.【詳解】設(shè)上面的六棱柱的底面面積為S，高為，由上到下的三個幾何體體積分別記為，則，，，所以故選：D14.（2023秋·廣東省梅州市高三模擬）（多選）如圖所示，四邊形是邊長為4的正方形，分別為線段上異于點的動點，且滿足，點為的中點，將點沿折至點處，使平面，則下列判斷正確的是（）A.若點為的中點，則五棱錐的體積為B.當點與點重合時，三棱錐的體積為C.當點與點重合時，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為D.五棱錐體積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意得出五棱錐的體積為，結(jié)合B點所在位置和錐體的體積公式判斷A、B、D選項；根據(jù)等體積法判斷C選項.【詳解】設(shè)，因為，點為的中點，所以，且，底面的面積為4），所以五棱錐的體積為.當點為的中點時，五棱錐的體積為，A正確.當點與點重合時，三棱錐的體積為，B正確.連接，因為，所以三棱錐的表面積為，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則，解得，C錯誤.五棱錐的體積，則，令，得；令，得.所以，D正確.故選：ABD15.（2023春·廣東省茂名市高三二模）如圖所示，正三棱錐，底面邊長為2，點Р到平面ABC距離為2，點M在平面PAC內(nèi)，且點M到平面ABC的距離是點P到平面ABC距離的，過點M作一個平面，使其平行于直線PB和AC，則這個平面與三棱錐表面交線的總長為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】過點P作底面的垂線于點O，過B作AC的垂線于H.過點M作平面平行和AC交三棱錐與平面.求出各邊邊長，及可求出.【詳解】因為三棱錐為正三棱錐，所有三角形為等邊三角形并且邊長為2，即.又因為為正三棱錐，因此過點P作底面的垂線于點O，則點O為三角形的中心.過B作AC的垂線于H.由三角形為等邊三角形，因此，在直角三角形中，.又因為，在直角三角形中，，故.因為三棱錐為正三棱錐，因此均為等腰三角形.又M到平面距離為點P到平面距離的，因此M為的三等分點（靠近P），過點M作交于，交于.過點作交于，過點作交于，連接.所以，則四點共面.因為，面，面所以面.所以面即為過點M且平行于直線PB和AC的平面.利用三角形相似可得：,.這個平面與三棱錐表面交線的總長為.故選：B16.（2023春·廣東省茂名市高三二模）（多選）如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點，E是CD上的動點，則下列說法正確的是（）A.若E是CD的中點，則直線AE與PB所成角為B.的周長最小值為C.如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D.如果在這個容器中放入10個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項：連接AD.證明出，即可求出直線AE與PB所成角為；B選項，把沿著CD展開與面BDC同一個平面內(nèi)，利用余弦定理求出，即可判斷；C選項，判斷出小球是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.利用等體積法求解；D選項，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設(shè)小球半徑為，利用幾何關(guān)系求出.【詳解】A選項：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點，所以.因為平面，平面，,所以直線平面.因為平面.所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項正確；B選項，把沿著CD展開與面BDC同一個平面內(nèi)，由，，所以，所以，所以的周長最小值為不正確.故B選項錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項正確；D選項，10個小球分三層（1個，3個，6個）放進去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個面相切，設(shè)小球半徑為，四個角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項正確.故選：ACD17.（2023春·廣東省汕頭市高三二模）（多選）已知圓臺的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為，設(shè)圓臺的體積為V，則下列選項中說法正確的是（）A.當時，B.V存在最大值C.當r在區(qū)間內(nèi)變化時，V逐漸減小D.當r在區(qū)間內(nèi)變化時，V先增大后減小【答案】BD【解析】【分析】通過題意得到圓臺體積V關(guān)于外接球半徑r的函數(shù)，容易判斷A；利用導數(shù)探討該函數(shù)的單調(diào)性和最值，可以判斷B,C,D.【詳解】設(shè)圓臺的上底面的圓心為，下底面的圓心為，點為上底面圓周上任意一點，圓臺的高為，球的半徑為，如圖所示，則，對選項不正確；，設(shè)，則，令可得，解得，知，且當；2)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由，，使得，當，即當，即，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則B，D正確，C錯誤，故選：BD.18.（2023秋·廣東省惠州市高三模擬）（多選）如圖，正方體的棱長為2，點是其側(cè)面上的一個動點（含邊界），點P是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點，使得二面角大小為B.存在點，使得平面與平面平行C.當P為棱的中點且時，則點M的軌跡長度為D.當為中點時，四棱錐外接球的體積為【答案】BC【解析】【分析】由題意，證得，得到二面角的平面角，可得判定A錯誤；利用線面平行的判定定理分別證得平面，平面，結(jié)合面面平行的判定定理，證得平面平面，可判定B正確；取中點，證得，得到，得到點在側(cè)面內(nèi)運動軌跡是以為圓心、半徑為2的劣弧，可判定C正確；當為中點時，連接與交于點，求得，得到四棱錐外接球的球心為，進而可判定D錯誤.【詳解】在正方體中，可得平面，因為平面，平面，所以，所以二面角的平面角為，其中，所以A錯誤；如圖所示，當M為中點，為中點時，在正方體中，可得，因為平面，且平面，所以平面，又因為，且平面，且平面，所以平面，因為，且平面，所以平面平面，所以B正確；如圖所示，取中點，連接，，，在正方體中，平面，且，所以平面，因為平面，可得，則，則點在側(cè)面內(nèi)運動軌跡是以為圓心、半徑為2的劣弧，分別交，于，，如圖所示，則，則，劣弧的長為，所以C正確當為中點時，可得為等腰直角三角形，且平面平面，連接與交于點，可得，所以四棱錐外接球球心即為與的交點，所以四棱錐外接球的半徑為，其外接球的體積為，所以D錯誤.故選：BC.19.（2023秋·廣東省梅州市高三模擬）（多選）已知同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，則下列說法正確的是（）.A.平面QBCB.設(shè)三棱錐和的體積分別為和，則C.平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍D.二面角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】由題可得PQ為球O直徑，設(shè)P到底面的距離為h，球的半徑為R，結(jié)合條件可得，可得，然后逐項分析即得.【詳解】∵同底面的兩個正三棱錐和均內(nèi)接于球O，∴PQ為球O的直徑，取AB的中點M，連接PM、QM，則PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，設(shè)底面的中心為N，P到底面的距離為h，球的半徑為R，則PN=h，OP=R，ON=R－h(huán)，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四點共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA與QM不平行，故PA與平面QBC不平行，故A錯誤；由QN=4PN，可得，故B正確；∵平面ABC截球O所得的截面面積為，球O表面積為，∴平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的倍，故C正確；∵，∴，，∴，即二面角的正切值為，故D正確.故選：BCD.20.（2023秋·廣東省中山市模擬）（多選）如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（）A.這兩個球體的半徑之和的最大值為B.這兩個球體的半徑之和的最大值為C.這兩個球體的表面積之和的最大值為D.這兩個球體的表面積之和的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意作出截面圖，通過幾何關(guān)系結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而研究兩個球體的半徑的最值，然后將兩個球體的表面積之和表示成，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值；【詳解】當這兩個球體的表面積之和取最大值時，有一個球體和圓錐的底面相切，過底面圓的直徑作截面，如圖所示，過點作，垂足為，過點作，垂足為，過點作，垂足為.設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為r，的最大值為，且取最大值時，，所以，，，，.因為，所以①，整理得，解得.令函數(shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).又因為，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以，即這兩個球體的半徑之和的最大值為.由①可得，這兩個球體的表面積之和為.令，函數(shù)上單調(diào)遞增，所以，即這兩個球體的表面積之和的最大值為.故選：BC.21.（2023春·廣東省梅州市高三二模）半徑為2的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為______【答案】【解析】【分析】有圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面周長，半徑等于圓錐的木現(xiàn)場，求出圓錐的底面半徑和高，由圓錐的體積公式求解即可.【詳解】解：由題意得：半徑為的半圓弧的周長為圓周的底面周長為：扇形圍成的底面圓周的半徑為，母線長為2，故圓錐的體積為：故答案為：22.（2023春·廣東省韶關(guān)市高三二模）將一個圓心角為、面積為的扇形卷成一個圓錐，則此圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】求出圓錐底面圓半徑及母線長，再利用圓錐及內(nèi)切球的軸截面求出球半徑作答.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長為，依題意，，解得，圓錐內(nèi)半徑最大的球為圓錐的內(nèi)切球，圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，如圖中等腰及內(nèi)切圓，，點為邊的中點，，因此的面積，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則有，解得，此球的表面積為，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為.故答案為：23.（2023秋·廣東省肇慶市模擬）已知某正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，可知正三棱柱的高，外接球的半徑，結(jié)合球的表面積可得，進而可求正三棱柱的體積.【詳解】設(shè)底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，則其外接圓半徑為，底面邊長為，若正三棱柱有內(nèi)切球，則正三棱柱的高，則正三棱柱的外接球的半徑，