浙江省寧波市九年級上期中數(shù)學試卷含答案解析

cm，故答案為：4【點評】此題考查了垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．16．將拋物線y=2x2﹣12x+16繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】根據(jù)拋物線解析式間的關(guān)系，可得頂點式解析式，根據(jù)繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，可得頂點相同，開口方向相反，可得答案．【解答】解：y=2x2﹣12x+16，頂點式y(tǒng)=2（x﹣3）2﹣2，拋物線y=2x2﹣12x+16繞它的頂點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是y=﹣2（x﹣3）2﹣2，故答案為：y=﹣2（x﹣3）2﹣2．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了繞定點旋轉(zhuǎn)的規(guī)律．17．5月26日，中國羽毛球隊蟬聯(lián)蘇迪曼杯團體賽冠，成就了首個五連冠霸業(yè)．比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線（如圖）．若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足關(guān)系，則羽毛球飛出的水平距離為5米．【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】根據(jù)羽毛球飛出的水平距離即為拋物線與x軸正半軸交點到原點的距離，進而求出即可．【解答】解：當y=0時，0=﹣x2+x+，解得：x1=﹣1（舍去），x2=5，故羽毛球飛出的水平距離為5m．故答案為：5．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出圖象與x軸交點坐標是解題關(guān)鍵．18．如圖為一個半徑為4m的圓形廣場，其中放有六個寬為1m的長方形臨時攤位，這些攤位均有兩個頂點在廣場邊上，另兩個頂點緊靠相鄰攤位的頂點，則每個長方形攤位的長為m．【考點】正多邊形和圓．【專題】應(yīng)用題．【分析】設(shè)圓心是O，連接OA，OB，作OC于BC垂直．設(shè)長方形的攤位長是2xm，在直角△OAD和直角△OBC中，利用勾股定理和三角函數(shù)表示出OC和OD的長，根據(jù)OC﹣OD=1即可列方程求得．【解答】解：設(shè)圓心是O，連接OA，OB，作OC于BC垂直．設(shè)長方形的攤位長是2xm，在直角△OAD中，∠AOD=30°，AD=xm，則OD=xm，在直角△OBC中，OC==，∵OC﹣OD=CD=1，∴﹣x=1，解得：x=，則2x=．故答案是：．【點評】本題考查了正多邊形的計算，解正多邊形的問題最常用的方法是轉(zhuǎn)化為直角三角形的計算問題，解方程是本題的關(guān)鍵．三．解答題（本大題有8小題，共78分）19．在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，3），點B的坐標是（﹣4，0），將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEF，點O，B對應(yīng)點分別是E，F(xiàn)，請在圖中畫出△AEF，并寫出點E，F(xiàn)的坐標．【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換．【專題】作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱．【分析】以A為旋轉(zhuǎn)中心，△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEF，如圖所示，確定出E與F坐標即可．【解答】解：如圖所示，△AEF就是所求作的三角形；根據(jù)圖形得：點E的坐標是（3，3），點F的坐標是（3，﹣1）．【點評】此題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．20．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，3），頂點坐標為（1，4），（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求圖象與x軸交點A、B兩點的坐標；（3）圖象與y軸交點為點C，求三角形ABC的面積．【考點】拋物線與x軸的交點；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【專題】計算題．【分析】（1）設(shè)出二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a（x﹣1）2+4，將點（0，3）代入解析式，求出a的值即可得到函數(shù)解析式；（2）令y=0，據(jù)此即可求出函數(shù)與x軸交點的橫坐標，從而得到圖象與x軸交點A、B兩點的坐標；（3）由于知道C點坐標，根據(jù)A、B的坐標，求出AB的長，利用三角形的面積公式求出三角形的面積．【解答】解：（1）設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣1）2+4，把x=0，y=3代入上式，得：3=a（0﹣1）2+4，解得：a=﹣1，∴所求的二次函數(shù)解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）當y=0時，0=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴圖象與x軸交點A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0），（3，0），（3）由題意得：C點坐標為（0，3），AB=4，∴S△ABC=×4×3=6．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，分別令x=0、y=0，據(jù)此即可求出與坐標軸的交點．21．一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．（1）布袋里紅球有多少個？（2）先從布袋中摸出1個球后不放回，再摸出1個球，請用列表法或畫樹狀圖等方法求出兩次摸到的球都是白球的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】（1）設(shè)紅球的個數(shù)為x，根據(jù)白球的概率可得關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）畫出樹形圖，即可求出兩次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）設(shè)紅球的個數(shù)為x，由題意可得：，解得：x=1，經(jīng)檢驗x=1是方程的根，即紅球的個數(shù)為1個；（2）畫樹狀圖如下：∴P（摸得兩白）==．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．（?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】證明題．【分析】（1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到BE=CE；（2）連結(jié)DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用相似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．【解答】（1）證明：連結(jié)AE，如圖，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）連結(jié)DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．23．（?義烏市）如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M（1，1），則稱此拋物線為定點拋物線．（1）張老師在投影屏幕上出示了一個題目：請你寫出一條定點拋物線的一個解析式．小敏寫出了一個答案：y=2x2+3x﹣4，請你寫出一個不同于小敏的答案；（2）張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題：已知定點拋物線y=﹣x2+2bx+c+1，求該拋物線頂點縱坐標的值最小時的解析式，請你解答．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)頂點式的表示方法，結(jié)合題意寫一個符合條件的表達式則可；（2）根據(jù)頂點縱坐標得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，進而得出拋物線的解析式．【解答】解：（1）依題意，選擇點（1，1）作為拋物線的頂點，二次項系數(shù)是1，根據(jù)頂點式得：y=x2﹣2x+2；（2）∵定點拋物線的頂點坐標為（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，∴c=1﹣2b，∵頂點縱坐標c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，∴當b=1時，c+b2+1最小，拋物線頂點縱坐標的值最小，此時c=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x．【點評】本題考查拋物線的形狀與拋物線表達式系數(shù)的關(guān)系，首先利用頂點坐標式寫出來，再化為一般形式．24．（?青島）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；（3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)利潤=（銷售單價﹣進價）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)（1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運用配方法求最大值；（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較．【解答】解：（1）由題意得，銷售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，則w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，w有最大值，當x=35時，w最大=2250，故當單價為35元時，該文具每天的利潤最大；（3）A方案利潤高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故當x=30時，w有最大值，此時wA=2000；B方案中：，故x的取值范圍為：45≤x≤49，∵函數(shù)w=﹣10（x﹣35）2+2250，對稱軸為直線x=35，∴當x=45時，w有最大值，此時wB=1250，∵wA＞wB，∴A方案利潤更高．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=時取得．25．（?寧波期中）已知AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB，D為上任意一點，E為弦BD上一點，且BE=AD．（1）試判斷△CDE的形狀，并加以證明．（2）若∠ABD=15°，AO=4，求DE的長．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【分析】（1）由條件可證明△ADC≌△BEC，則可得到CD=CE，結(jié)合AB為直徑可證明∠DCE=90°，可判斷△CDE為等腰直角三角形；（2）由條件可證明△COD為等邊三角形，則可求得CD=4，利用勾股定理可求得DE的長．【解答】解：（1）△CDE為等腰直角三角形，證明如下：如圖1，連接AC、BC，則∠DAC=∠DBC，∵AB為直徑，CO⊥AB，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC=BC，在△ADC和△BEC中∴△ADC≌△BEC（SAS），∴CD=CE，∠DCA=∠BCE，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∴∠DCA+∠ACE=90°，即∠DCE=90°，∴△CDE為等腰直角三角形；（2）如圖2，連接OD，則∠AOD=2∠ABD=2×15°=30°，∵∠AOC=90°，∴∠DOC=60°，且OD=OC=OA=4，∴△OCD為等邊三角形，∴CD=CE=OA=4，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE===4．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，在（2）中證明△OCD為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．26．（?寧波期中）如圖，拋物線y=ax2﹣x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣2），已知B點坐標為（4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，記點M到線段BC的距離為d，當d取最大值時，求出此時M點的坐標；（4）若點P是拋物線上一點，點E是直線y=﹣x上的動點，是否存在點P、E，使以點A，點B，點P，點E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）令拋物線解析式中y=0得到關(guān)于x的一元二次方程，解方程求出x值，由此即可得出點A的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式即可求出AC、AB、BC，利用勾股定理得逆定理即可得出△ABC為直角三角形，由此即可得出△ABC的外接圓的圓心位置，再根據(jù)點A、B的坐標即可求出圓心坐標；（3）將直線AB往下平移得到直線l，直線l與拋物線只有一個交點M時，此時點M到直線AB的距離最遠，根據(jù)點B、C的坐標利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)出直線l的解析式為y=x+m，將其代入拋物線解析式中令△=0，即可求出m值，再聯(lián)立直線l和拋物線解析式成方程組，解方程組即可求出點M的坐標；（4）假設(shè)存在，設(shè)點E的坐標為（n，﹣n）．以點A，點B，點P，點E為頂點的平行四邊形分兩種情況：①以AB為邊，根據(jù)A、B、E點的坐標表示出P點的坐標，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點E的坐標；②以AB為對角線，根據(jù)A、B、E點的坐標表示出P點的坐標，將其代入拋物線線解析式中即可求出n值，從而得出點E的坐標．綜上即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y=ax2﹣x+c（a≠0）中，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2．（2）令y=x2﹣x﹣2中x=0，即x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴A（﹣1，0）．∵B（4，0），C（0，﹣2），∴AC=，BC=2，AB=5，∵AC2+BC2=5+20=25=AB2，∴△ABC為直角三角形．∴AB為△ABC外接圓的直徑，∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（，0）．（3）將直線AB往下平移得到直線l，直線l與拋物線只有一個交點M時，此時點M到直線AB的距離最遠，如圖1所示．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，直線l的解析式為y=kx+m，將點B（4，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣2．將y=x+m代入y=x2﹣x﹣2中，得x2﹣x﹣2=x+m，即x2﹣2x﹣2﹣m=0．∵直線l與拋物線只有一個交點，∴△=（﹣2）2﹣4××（﹣2﹣m）=8+2m=0，解得：m=﹣4，∴直線l的解析式為y=x﹣4．聯(lián)立直線l與拋物線解析式得：，解得：，∴M（2，﹣3）．故：記點M到線段BC的距離為d，當d取最大值時，求出此時M點的坐標為（2，﹣3）．（4