四川省德陽(yáng)市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1四川省德陽(yáng)市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）第I卷（選擇題）一?選擇題1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因?yàn)椋?，故?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C2.設(shè)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且，下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中正確的是（）A. B.C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.的虛部為〖答案〗B〖解析〗由復(fù)數(shù)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且，則，則，，A錯(cuò)誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；的虛部為，D錯(cuò)誤.故選：B.3.數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)品，如吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，如圖.若將該大學(xué)的校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線的一部分，且點(diǎn)在該拋物線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.（0，－1） C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意在拋物線上，所以，所以，故，且拋物線開口向下，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A4.已知為共面三個(gè)單位向量，且，則的取值范圍是（）A.[－3，3] B.[－2，2]C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，為共面的三個(gè)單位向量,則，則由，則的取值范圍是.故選：D.5.某幾何體三視圖如圖所示，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，則幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗幾何體可看作半圓柱去掉底面為等腰直角三角形三棱柱，其中半圓柱的體積為，三棱柱的體積為，故幾何體的體積為.故選：A.6.某班主任為了了解該班學(xué)生暑假期間去圖書館的情況,隨機(jī)抽取該班15名學(xué)生,調(diào)查得到這15名學(xué)生暑假期間去圖書館的次數(shù)分別為（其中有一位學(xué)生的數(shù)據(jù)丟失記為），則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是①這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能是19；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能是18；③的值可以通過(guò)中位數(shù)的值確定；④的值可以通過(guò)全部數(shù)據(jù)的平均數(shù)確定.（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)〖答案〗B〖解析〗由題意，若，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：，則中位數(shù)是19,①正確；和，眾數(shù)都是，②錯(cuò)誤，中位數(shù)是19時(shí)，，不確定，③錯(cuò)誤；平均值，則與一一對(duì)應(yīng)，即平均數(shù)確定則對(duì)應(yīng)確定，④正確.故選：B.7.小明同學(xué)過(guò)生日時(shí)，他和好朋友小天一起分享一個(gè)質(zhì)地均勻但形狀不規(guī)則的蛋糕，他們商量決定用刀把蛋糕平均分成兩份（蛋糕厚度不計(jì)），你認(rèn)為下面的判斷中正確的是（）A.無(wú)論從哪個(gè)位置（某個(gè)點(diǎn)）切一刀都可以平均分成兩份B.只能從某個(gè)位置（某個(gè)點(diǎn)）切一刀才可以平均分成兩份C.無(wú)論從哪個(gè)位置（某個(gè)點(diǎn)）切一刀都不可以平均分成兩份D.至少要切兩刀才可以平均分成兩份〖答案〗A〖解析〗如圖，在形狀不規(guī)則的蛋糕上任取一點(diǎn)，則這一刀可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的任意一條直線，過(guò)點(diǎn)的直線將圖像分為兩部分，其面積為，將直線以以為旋轉(zhuǎn)中心，以軸正方向的夾角記為，，得連續(xù)函數(shù)，作輔助函數(shù)，則為連續(xù)函數(shù)，設(shè)，則，根據(jù)零點(diǎn)定理，存在一點(diǎn)，使得，即，即過(guò)點(diǎn)作直線，使之以軸正方向的夾角為，改直線即為所求；即無(wú)論從哪個(gè)位置（某個(gè)點(diǎn)）切一刀都可以平均分成兩份.故選：A8.是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中重要的激活函數(shù)，又稱Sigmoid函數(shù).則下列對(duì)該函數(shù)圖象和情質(zhì)的描述中正確的是（）A.的值域是B.的圖象不是中心對(duì)稱圖形C.在上不單調(diào)D.（其中是的導(dǎo)函數(shù)〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)，定義域?yàn)?，，，則，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以Sigmoid雨數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，B錯(cuò)誤；求導(dǎo)得：，，，則Sigmoid函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D9.已知函數(shù)，設(shè)甲：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，乙：的取值范圍是，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗甲：在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，則，∴，，即，，又，故只能取，∴．又∵乙：的取值范圍是，∴甲是乙的必要不充分條件．故選：B．10.德陽(yáng)某高校為迎接2023年世界新能源大會(huì)，決定選派一批志愿者參與志愿服務(wù)，計(jì)劃首批次先選派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因?qū)W生報(bào)名積極，學(xué)校決定改變派遣計(jì)劃，若將原計(jì)劃派遣的各批次人數(shù)看成數(shù)列，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變的情況下，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)依次構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，若按照新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣學(xué)生，則前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為（）A.2091 B.2101 C.2110 D.2112〖答案〗B〖解析〗由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，，故前20批次共派遣學(xué)生的人數(shù)為.故選：B.11.已知點(diǎn)在曲線上，那么的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗可看作到直線的距離，可看作到點(diǎn)的距離，如圖所示，聯(lián)立與得，，則，此時(shí)，解得，故，故與相切于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，最小值為0，當(dāng)不與重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)至?xí)r，，此時(shí)取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：D12.已知函數(shù)的定義域?yàn)榍?，，那么（）A.為偶函數(shù) B.C.是函數(shù)的極大值點(diǎn) D.的最小值為〖答案〗D〖解析〗令，得，即，①令，結(jié)合，則，②結(jié)合①②可得，用代替得，，③對(duì)于中，取得，把變?yōu)椋Y(jié)合，得，④聯(lián)立③④，可得,對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,易得最小值為，故D正確，故選：D.第II卷（非選擇題）二?填空題13.若展開式中的系數(shù)為20，則__________.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗由二項(xiàng)式，可得展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)為，解得.故〖答案〗為：.14.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線分平面區(qū)域M為面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)的值為________．〖答案〗〖解析〗不等式組,所表示的平面區(qū)域如圖示:

由圖可知,直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn),當(dāng)直線再經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)時(shí),平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分,

當(dāng)，時(shí),代入直線的方程得，

故〖答案〗為.15.某科學(xué)興趣小組的同學(xué)認(rèn)為生物都是由蛋白質(zhì)構(gòu)成的，高溫可以使蛋白質(zhì)變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關(guān)系，微生物數(shù)量（個(gè)）與溫度的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度481018微生物數(shù)量（個(gè)）30221814由表中數(shù)據(jù)算得回歸方程為，預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為__________個(gè).〖答案〗9〖解析〗由表格數(shù)據(jù)可知，，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，故當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為時(shí)，微生物數(shù)量為9個(gè).故〖答案〗為：916.已知實(shí)數(shù)成公差非零的等差數(shù)列,集合，，若，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗成公差非零的等差數(shù)列，則，動(dòng)直線變形為，令，解得，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，直線的一個(gè)法向量為，若，則直線，點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓心為中點(diǎn)，半徑，，則的最大值為.故〖答案〗為：三?解答題17.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的最大項(xiàng).解：（1）由題意得，設(shè)公比為，若，此時(shí)，此時(shí)不滿足；若，則，故，即，由于，故，解得或1（舍去），故；（2），故，所以，令，由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故.數(shù)列的最大項(xiàng)為18.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若.（1）若，求邊上的中線的長(zhǎng)；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）在中，由于，所以，結(jié)合題意得，即故的三邊長(zhǎng)分別為，所以，在中，，故．（2）由題意知：且．要使是銳角三角形，只要．故，解得：，又，由，得，所以，故的取值范圍是19.設(shè)函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)為極小值點(diǎn)，且，求的取值范圍.解：（1）因，①當(dāng)時(shí)，，在上遞增；②當(dāng)時(shí)，由可得：，則當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為：；單調(diào)遞減區(qū)間為：.（2）由（1）知且.由得:，所以即，因?yàn)?，故又，所以，故?舍)，所以，故，令，上式為.因?yàn)橹谏蠁卧?，?即的取值范圍為.20.2023年11月，世界首屆人工智能峰會(huì)在英國(guó)舉行，我國(guó)因?yàn)樵谠擃I(lǐng)域取得的巨大成就受邀進(jìn)行大會(huì)發(fā)言.為了研究不同性別的學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況，我市某著名高中進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男?女生各50人作為樣本.設(shè)事件“了解人工智能”，“學(xué)生為男生”，據(jù)統(tǒng)計(jì).（1）根據(jù)已知條件，填寫下列列聯(lián)表，是否有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān)？

了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生

女生

合計(jì)

（2）將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，設(shè)其中了解人工智能的學(xué)生的人數(shù)為，求使得取得最大值時(shí)的值.附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）因?yàn)?，所以了解人工智能的女生為，了解人工智能人?shù)為，則了解人工智能的男生有人，結(jié)合男生和女生各有人，填寫列聯(lián)表為：

了解人工智能不了解人工智能合計(jì)男生401050女生302050合計(jì)7030100則，故沒(méi)有把握推斷該校學(xué)生對(duì)人工智能的了解情況與性別有關(guān).（2）由（1）知，了解人工智能的頻率為，所以隨機(jī)變量,則令，解得，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.21.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求；（2）函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：由，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，符合題意，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）解：令，即，即，因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令，可得，①若時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，且極小值為，由時(shí)，可得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)；又由時(shí)，可得，則，令，可得，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，則，所以在上以一個(gè)根，即在有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，此時(shí)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，此時(shí)，函數(shù)在上有只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；③若時(shí)，令，解得或，（i）若時(shí)，即時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上遞增，在遞減，在遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值，因在遞減，所以且當(dāng)，可得，如圖（1）所示，此時(shí)函數(shù)在上有只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；（ii）若時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，且，當(dāng)，可得，如圖（2）所示，此時(shí)函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；（iii）若時(shí)，即時(shí)，此時(shí),當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上遞增，在遞減，在遞增，且，且，當(dāng)，可得，如圖（3）所示，此時(shí)函數(shù)在上有只有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.請(qǐng)考生在22，23二題中任選一題作答.22.歐拉公式（為虛數(shù)單位，）可以表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，其軌跡是圓，所以又稱其為神奇的歐拉轉(zhuǎn)盤.若表示的動(dòng)點(diǎn)為.（1）寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（為參數(shù)），并化為普通方程；（2）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線過(guò)，，求直線被截得的線段的長(zhǎng).解：（1）依題意可知，故的參數(shù)方程為，消去得其普通方程為