四川省雅安市2024屆高三零診考試數(shù)學試題（文）（解析版）

PAGEPAGE1四川省雅安市2024屆高三零診考試數(shù)學試題（文）一?選擇題1.設(shè)表示有限集合A中元素的個數(shù).則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為，又，所以，故，故則是的充要條件.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以共軛復(fù)數(shù).故選：B.3.等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗設(shè)，設(shè)，則.又，所以1是函數(shù)的一個零點；因，，所以，.又，，所以，.根據(jù)零點的存在定理，可知，，使得，即是函數(shù)的一個零點；因為，，所以，.又，，所以，.根據(jù)零點的存在定理，可知，，使得，即是函數(shù)的一個零點.結(jié)合函數(shù)圖象以及的增長速度可知，當或時，函數(shù)沒有零點.綜上所述，函數(shù)的零點為1，，，共3個零點.故選：C.5.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A.樣本的平均數(shù) B.樣本的中位數(shù)C.樣本的眾數(shù) D.樣本的標準差〖答案〗D〖解析〗由題意，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢.一般地,對數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述,可以用平均數(shù)和中位數(shù),對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述,可以用眾數(shù).方差、標準差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征.故選：D.6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗易知.故選：B.7.在等比數(shù)列中，若，，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗等比數(shù)列，若，則或，驗證不成立；故，，，兩式相除得到，即，.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為恒成立.當時,,則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以關(guān)于對稱，所以，因為，所以，因為，，故在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因為，，所以，當時，，結(jié)合單調(diào)性可知，當時，，結(jié)合單調(diào)性可知，故的解集為.故選：A9.已知函數(shù)，下列結(jié)論中：①當時，的最小值為3；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；④是圖象的一條切線，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗①當時，,,當且僅當即時等號成立，所以最小值是3，正確；②函數(shù)，記，其定義域是，，因此是奇函數(shù)，正確；③的圖象關(guān)于原點對稱，把它向右平移一個單位，再向上平移一個單位得的圖象，因此的圖象關(guān)于點對稱，正確；④，由得或，，，因此直線和都是函數(shù)圖象的切線，④正確，故選：D．10.已知函數(shù)（且），設(shè)T為函數(shù)的最小正周期，，若在區(qū)間有且只有三個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知為函數(shù)的最小正周期，故，由得，即，由于，故，在區(qū)間有且只有三個零點，故，且由于在上使得的x的值依次為，故，解得，即，故選：D11.質(zhì)點和在以坐標原點為圓心，半徑為1的圓上逆時針作勻速圓周運動，當和從圓與軸正半軸的交點同時出發(fā)，且點的角速度是點的角速度大小的2倍.當點第一次運動到射線與圓的交點時，點運動到點處，此時等于（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)，因為射線的方程為，可得，因為，所以，所以點，則，因為點的角速度是點的角速度大小的2倍，可得，則，所以點，則，又由，設(shè)，即，所以，，即.故選：C.12.已知函數(shù),設(shè),則等于（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，，，.故選：B.二?填空題13.寫出一個最小正周期為1的偶函數(shù)______．〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的周期為，所以函數(shù)的周期為1.故〖答案〗為：.（〖答案〗不唯一）14.執(zhí)行如圖中的程序框圖，如果輸入的，則輸出的所在區(qū)間是________．〖答案〗〖解析〗該程序框圖的功能是求的值域，當時，；當時，；所以輸出的所在區(qū)間是.故〖答案〗為：.15.已知，若，則的最小值為___________.〖答案〗1〖解析〗由已知，則，得，，則，設(shè)，，令，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，，所以的最小值為.故〖答案〗為：1.16.已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗是偶函數(shù)，所以，是奇函數(shù)，所以，兩式聯(lián)立解得，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，因此最小值是．故〖答案〗為：．三?解答題（一）必考題17.在圓的內(nèi)接四邊形中，.（1）求的長和的大?。唬?）求四邊形的面積和圓的面積.解：（1）在四邊形中，四點共圓，則與互補，且為銳角.設(shè)，則，故，如圖所示：在中，由余弦定理，得，即--①，在中，由余弦定理，得，即--②，由①和②解之得，，為銳角所以；（2）由，知，四邊形的面積等于與面積之和，故在中，由正弦定理得，（設(shè)為的半徑），所以，故，所以圓的面積為.18.“一帶一路”是促進各國共同發(fā)展，實現(xiàn)共同繁榮的合作共贏之路.為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿(mào)易量情況，隨機抽查了100天進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量（單位：億人民幣/天）得下表：進口出口3218468123710（1）估計事件“我國與該國貿(mào)易中，一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億人民幣”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：進口出口（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為“我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量”有關(guān)？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由題中表中的信息可知，在100天中，進口貿(mào)易與出口貿(mào)易均不超過100的天數(shù)為，用頻率估計概率，可得所求概率為.（2）列出列聯(lián)表如下：進口出口64161010（3）由（2）得，所以有99%的把握認為我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關(guān).19.已知函數(shù)在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）若對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，，在中，，在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.∴即，，，當時，在上單調(diào)遞增.當時，在上單調(diào)遞減.當時，在時有極小值.故符合題意，即為所求.（2）由題意及（1）得，，在中，，即對任意實數(shù)恒成立，設(shè)，則.當時，，則，故在上單調(diào)遞增；當時，，則，故在上單調(diào)遞減；當時，，則，故時有極小值，也就是的最小值，故即為所求.20.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）在等差數(shù)列中，首項為，設(shè)公差為.則，則，在等比數(shù)列中，首項，設(shè)公比為則，則，當和時，有，解得或，當時，，則當時，，與矛盾，舍去，當時，恒成立，滿足要求，故（2），①，②由①-②得：，.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因，所以.因為，當，即時，，當，即時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）由（1）知，因為，所以，所以，由題意在上有兩個不等實根，即有兩個實根且在每個實根兩側(cè)的符號不同.設(shè)，則，令，得，當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減.所以，，，所以當時，在上有兩個實根.即的取值范圍為.（二）選考題【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線.（1）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標方程；（2）將曲線的極坐標方程化為直角坐標系方程，并指出它的曲線類型.解：（1）消去參數(shù)，得，所以是以為圓心，為半徑的圓.將代入其中，則得，整理得這就是的極坐標方程.（2）由曲線的極坐標方程，得，，即，這就是曲線的直角坐標系方程，它表示以為圓心，以2為半徑的圓.【選修4-5：不等式選講】