廣州市2021-2022學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)S“為等差數(shù)列{qJ的前”項(xiàng)和，若2(0,+%+%)+3(4+42)=66,則S"=

A.56B.66

C.77D.78

2.已知復(fù)數(shù)z滿足Z?產(chǎn)2。=1+/。19(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z的虛部是()

A.-1B.1C.-iD.i

3.為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)(指標(biāo)值滿分為5分，分

值高者為優(yōu))，根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是()

A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲

B.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙

D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差

4.己知全集為實(shí)數(shù)集K,集合A={XM+2X-8>0},B={x\log2X<l},貝等于()

A.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)

5.若復(fù)數(shù)機(jī)(相-2)+(/_2,m+2)/是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為()

A.?；?B.2C.0D.1或2

22

6.已知雙曲線C:三—六=l(a>0]>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《、工，拋物線y=2px(p>0)與雙曲線C有相

同的焦點(diǎn).設(shè)P為拋物線與雙曲線C的一個交點(diǎn)，且COSNPKK=T，則雙曲線C的離心率為（）

A.&或6B.血或3C.2或D.2或3

7.記等差數(shù)列{%}的公差為d,前〃項(xiàng)和為S“.若￡。=40,4=5,則（）

A.d=3B.《o=12C.S20=280D.%=-4

1102.x|,X>0

8.已知函數(shù)/（x）=方程/（xi=°有四個不同的根'記最大的根的所有取值為集合。，則"函

數(shù)E（x）=/（x）（xe。）有兩個零點(diǎn)”是“％>g”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.若皿-則2=（）

25

A.B.C.D.

_7_1_；；

~J-JJ2

10.3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學(xué)書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學(xué)書的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.—

24510

11.已知集合4={月%>—1},集合8={x|x（x+2）v0},那么AU8等于（）

A.{x\x>-2}B.{x|-l<x<0}C.{x|x>-l}D.{x|-l<x<2}

22

12.已知雙曲線0-4=1（4>0,6>0）的離心率為e,拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,若e=〃，則雙

a'b-

曲線。的漸近線方程為（）

A.y=+y[?>xB.y—+2\[2x

r,V5n*6

C.y=±——xD.y=±x

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

―+—+--x<0

13.已知函數(shù)/（%）=6x2'，若關(guān)于x的方程/（幻+/（-x）=0在定義域上有四個不同的解，則實(shí)數(shù)“

Inx—x,x>0

的取值范圍是.

14.在/XABC中，角A,B,C所對的邊分別為名"c,NABC=120。，NABC的平分線交AC于點(diǎn)O,且60=1,

則4?+c的最小值為.

15.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為.

aaa

16.數(shù)列｛%｝滿足遞推公式n+2=%+%+1，且4=2,2＜?9""202。=2020,貝（Ja；+④+…+.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

-23'

17.（12分）已知矩陣人=,的一個特征值為4,求矩陣A的逆矩陣AT.

t1

18.（12分）在AABC中，角的對邊分別為a/,c,若島=，（sinC+石cosC）.

（1）求角3的大??；

7T

（2）若A=§,。為AA8C外一點(diǎn)，05=2,8=1,求四邊形A3OC面積的最大值.

22/7T

19.（12分）設(shè)橢圓三+￡=1,（4＞匕＞0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，工，離心率e=苧，右準(zhǔn)線為/,是/上的

兩個動點(diǎn)，麗?印:0.

（I）若|不可=|可|=2氐求出"的值;

（H）證明：當(dāng)|阿取最小值時，砸+￡河與而共線.

20.（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖.如圖，該弓形所在的圓是以A3為直徑的

圓，且A8=300米，景觀湖邊界CD與A3平行且它們間的距離為50亞米.開發(fā)商計(jì)劃從A點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋

（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作PQ.設(shè)NAQP=26.

p

B

(1)用。表示線段P。，并確定sin2。的范圍;

(2)為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將PQ的長度設(shè)計(jì)到最長，求PQ的最大值.

21.(12分)已知橢圓C:吞+方=1(〃＞匕＞0)經(jīng)過點(diǎn)(G』)，離心率為手.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)M(4,0)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若而=如麗，在線段AB上取點(diǎn)。，使而=一義麗，求證：

點(diǎn)。在定直線上.

22.(10分)某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合

格，，，，不合格，，兩個等級，同時對相應(yīng)等級進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記。分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)

計(jì)結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：

等級不合格合格

得分[20,40J[40,60][60,80][80,100]

頻數(shù)6a24b

(1)由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

(2)其他條件不變，在評定等級為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得

分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

(3)用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，

記所選4人的量化總分為g,求J的數(shù)學(xué)期望E(J).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得2(4+4+%)+3(%+&)=6q+6《0=66,即%+=11，

所以幾=也詈2=7(%+%)=77,故選C.

2.A

【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得z=l-i,則答案可求.

【詳解】

解：???/=1,

?-2020-4x505i-2019-4x504+3-

??I=I=1>I=I=—I9

則Z?產(chǎn)2。=1+產(chǎn)M9化為z=l—i,

.?.Z的虛部為一1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù)：

數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析

甲454545

乙343354

由數(shù)據(jù)可知選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.

4.D

【解析】

求解一元二次不等式化簡4,求解對數(shù)不等式化簡3,然后利用補(bǔ)集與交集的運(yùn)算得答案.

【詳解】

解：由/+2*-8>0,得xV-4或x>2,

/.A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},

由/og2X<l,x>0,得0VxV2,

/.B={x\logix<1}={x|0<x<2},

則4A={x|-4Wx<2},

.-.（M）n5=（o,2）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，考查了對數(shù)不等式，二次不等式的求法，是基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)機(jī)（根一2）+（加2-3根+2），,是純虛數(shù)，所以〃2（〃2-2）=0且m2一3機(jī)+2工0,因此加=0.注意不

要忽視虛部不為零這一隱含條件.

考點(diǎn)：純虛數(shù)

6.D

【解析】

設(shè)歸用=①，盧瑪|=〃，根據(jù)COSNPKE=T和拋物線性質(zhì)得出上用=1加，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出m=7。，

n=5a,最后根據(jù)余弦定理列方程得出。、c間的關(guān)系，從而可得出離心率.

【詳解】

過P分別向x軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N,不妨設(shè)|P國=加，|P同=",

N

則阿用=|PN|=|P用=歸附cosNPF'Fz=當(dāng)，

?.?尸為雙曲線上的點(diǎn)，則|尸61Tp閭=2。，即/〃一軍=2。，得〃?=7a,二〃=5a.

又忻用=2c,在△然國中，由余弦定理可得』=49上4。2二25^

72x7ax2c

整理得，—5ac+6a2=0,即e2-5e+6=0,Qe>1,解得e=2或e=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.C

【解析】

由So=色」?口2=5（%+4）=40,和4=5,可求得%=3,從而求得。和為,再驗(yàn)證選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)镾=（《+=5（%+4）=40,4=5,

所以解得%=3,

所以〃=。6-。5=2,

所以％o=4+44=5+8=13,a,=?5-4J=3-8=-5,S20=20al+190d=-100+380=280,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xwD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=[]l°g2x|，x〉°的圖象如圖，

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有2個零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個不同的根，

也就是y=kx與y=f(x)在(2,4]上有2個交點(diǎn)，則k的最小值為:；

設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=log2X的切點(diǎn)為(x(),log2Xo),斜率為rw，

,1,、

則切線方程為y—log2X=——(x—Xo),

x0ln2

把(0,0)代入，可得一log,Xo=—J；,即X0=e,切線斜率為工，

ln2eln2

(11A

的取值范圍是彳,??；，

eln27

二函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xwD)有兩個零點(diǎn)”是“k>!”的充分不必要條件,

故選A.

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

9.B

【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.

【詳解】

因?yàn)?，i由誘導(dǎo)公式得T所以一

Sin（L：+y）=yCOSZ=-yCOS2匚=2COS；口U=一

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件.計(jì)數(shù)后可求得概率.

【詳解】

3本不同的語文書編號為2本不同的數(shù)學(xué)書編號為。力，從中任意取出2本，所有的可能為：

AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10個，恰好都是數(shù)學(xué)書的只有他一種，.?.所求概率為P=

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計(jì)數(shù)計(jì)算概率.

11.A

【解析】

求出集合3,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.

【詳解】

VA={x|x>-1）,B={x|-2<x<0},

:.AU§={x|x>-2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的離心率，然后求解m6關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程.

【詳解】

拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,

又0=。，所以e=￡=2,可得'2=4d=42+加，可得：》=&“，所以雙曲線的漸近線方程為：.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.‘川

【解析】

2

由題意可f(X)+/(-X)=0在定義域上有四個不同的解等價于V=yX+-+^關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)

6x2

丁=一3爐+/—g與函數(shù)〃力=1門一%(%>0)的圖象有兩個交點(diǎn)，運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析

單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.

【詳解】

1+-+-x<0

已知定義在(-W,0)D(0,4。。)上的函數(shù)/(x)=6X2'

lnx-x,x>0

若/(x)+/(-X)=0在定義域上有四個不同的解

等價于丁='/+0+:關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)丫=一,/+q一:與函數(shù)/(幻=阮1：(*>0)的圖象有兩個交點(diǎn),

6x26x2

聯(lián)立可得Inx-x+'x?=0有兩個解，即a=xlnx-x?+_1%

6x262

可設(shè)g(x)=xlnx—x2+'丁+gx,貝J]g，(x)-lnx—2x+^x2+^,

進(jìn)而8"("=》+(-220且不恒為零，可得g'(x)在(0,+。)單調(diào)遞增.

由g'(l)=0可得

()<x<l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

X>1時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

即g（X）在X=1處取得極小值且為-；

作出y=g（x）的圖象，可得一:<“<0時，1內(nèi)一1+，/一@+_1=0有兩個解.

36x2

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于難題.

14.9

【解析】

分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

詳解：由題意可知，S》BC=S~B°+SM8,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得

—acsin120°=—axlxsin60°+—cxlxsin60°,化簡得ac=a+c,‘+'=1,因此

222ac

.、/11、uc4a、uc/c4a

4a+c=（4a+c）（—l—）=5■（125+2J—?———n9,

acacV<2c

當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.

點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母

為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.

15.8+-

3

【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.

【詳解】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為V=[x2x2x4+!x]乃x『x2=8+f.

2323

故答案為：8+1rr.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求簡單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

16.2020

【解析】

可對4+1=4+2一。"左右兩端同乘以知+|得=4+M"+2，

依次寫出W=anan+i-an_xan,=an_xan-an_2an_｝，…,a；=a2a3-ata2,累加可得城+域+…+a；=ana,^-ata2,再

由4=%得a；+d+a；+…+a；=anan+l,代入n=2019即可求解

【詳解】

4+1=4+2一4左右兩端同乘以%+1有4：=""“+2-44+1，從而a；=《4.1-*《,，＜1=a?.lan-a?_2a?_l，…，

a；=a2a3-ata2,將以上式子累加得a；+尺+…+a；=a?an+,-a1a2.

由ax=a2得a；+a；+a；+…+a；=a“a”+i.令”=2019，有a；+d+…+吭9=出39=2020.

故答案為：2020

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3'

-

一22.

【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式可得，(4)=(4-2)(4-1)-3，=0,可得1=2,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.

【詳解】

因?yàn)榫仃?的特征多項(xiàng)式/(%)=(X-2)(九一1)一3a所以/(4)=(4-2)(4-1)-3/=0,所以，=2.

"23'

因?yàn)锳=°,,且2xl—2x3=Tw0,

21

一

1.一13

-

一

I-344一

一

一

所以A-:-4一11

2

-2一-

I-42I

一

一-42

一

-41

【點(diǎn)睛】

本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解，是基礎(chǔ)題.

18.(1)6=工(2)還+2

34

【解析】

(1)根據(jù)正弦定理化簡等式可得tanB,即8=?；

(2)根據(jù)題意，利用余弦定理可得BC2=5-4COS￡>,再表示出SMDC=sin。，表示出四邊形當(dāng),進(jìn)而可得最

值.

【詳解】

(1)6〃=優(yōu)sinC+V3cosC),由正弦定理得：>/3sinA=sinB(sinC+V3cosC)

在AA8C中，sinA=sin(B+C),則百sin(8+C)=sin3sinC+6sin3cosC,

即V3cosBsinC=sin3sinC，

,.?sinCw0,/.V3cosB=sinB,即tan8二百

77

BG(0,乃),：.B=—.

(2)在ABC￡>中，BD=2,CD=1,.BC2=12+22-2xlx2xcos￡>=5-4cos￡)

2

又4=￡,則AABC為等邊三角形，S^ABC=1BCXsin-V3cosD

3234

又S=—xBDxDCxsinD=sinD,

/△DRUnLr-2

?'?^ABCD~+sinD-V5cosD=^^-+2sin(D-y)-

.?.當(dāng)。=?時，四邊形ABC。的面積取最大值，最大值為生叵+2.

64

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(I)a=2,b=>/2

(n)證明見解析.

【解析】

J?

由/一〃=。2與e=@衛(wèi)，得/=切,

2

CJoy(Ji、

6—~a^，F(xiàn)?—~a0,/的方程為x=42a?

I2)I22f)

設(shè)M1亞a,yj,N(yf2a,當(dāng)卜

、

a，M，鳥N小必，

7

由耳M.6N=O得

3.

乂%=-/<0?①

(I)由|畫=硒=2氐得

"及丫

---a+短=2逐，②

12)

「-④-----CIT+y；=2也,③

[2

由①、②、③三式，消去X，內(nèi),并求得片=4,

故。=2,人=[J=0,

22

(II)\MNf=(y-乂丫=城+y2-2y%2-2%%-2y%=與乂%=6?，

=a

當(dāng)且僅當(dāng)y=-y2-^-a或％=~yi~^~時，|政^1取最小值，

此時，穆+物=(￥A(6

a，X+—%2夜a,y+y2)=(20a,O)=2EK,

7

故6M+EN與6耳共線.

20.(1)PQ=300sin。一^^

—<sin2^<1；(2)50V6X

COS。3

【解析】

QH

(1)過點(diǎn)。作QH，AB于點(diǎn)H,再在AAOP中利用正弦定理求解AP,再根據(jù)"Q一三二

求解AQ,進(jìn)而求得

、2

也.再根據(jù)也〉0確定5皿2。的范圍即可.

⑵根據(jù)⑴有尸。=50血13血加。-一二］，再設(shè)f(e)=3jis%e-一二，求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

IcosOjCOS0

【詳解】

解：(1)

P

過點(diǎn)。作QHLAB于點(diǎn)”，

貝!IQ”=50拒，

在AAOP中,：OA=OP=150,ZAOP=20,

TT

Z.OAP=0,

2

OPAP

由正弦定理得：.（n.VsinZ^,

（2J

AP=3OOsin0,

.Ag=QH50V1

.I71八10，

——0COS

sin（2）

：.PQ=AP-AQ=3OOsin0-,

COS。

PQ=3OOsin0->0,因?yàn)閏os6>0,

COS。

化簡得注<sin2。<1

3

（2）pQ=3（）osin0_^l=5072f3^sin0一——1

cos3Icos0）

令"6）=3應(yīng)sin0一一1，巫<sin2。41,且2。G（0,乃）,

cos。3

/⑻=3&cose-=cos“30-

')cos2^(cos20)

'l(sin?。+cos?6)tan。、

=cos。3立-'------------~~L-------

、cos2e,

=cos6[3C—(tan，6+刊tane]=cos6(3夜-tan3夕一tan8)

TT

因?yàn)橄(0,5),故cos。>0

令/(6)=0,

即tan36+tan6-3&=0,

(tanO—\[2)(tarr0+\l2tan0+3)=0,

記5喝=0?

當(dāng)oveve。時，/⑻>0j⑹單調(diào)遞增；

當(dāng)e°ve竹時/(e)〈o,/(。)單調(diào)遞減，

▽.M_2百、&

乂57〃2%—----->-,

???當(dāng)tan0=^2時,于⑹取最大值，

此時sin0=",cosd=—,PQ=50>/2f3?si〃e--二]=5076

33Icos6J

??.PQ的最大值為50幾米.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系，進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三

角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.

22

21.(1)—+^-=1,(2)見解析.

62

【解析】

(1)根據(jù)題意得出關(guān)于“、。、C的方程組，解出/、〃的值，進(jìn)而可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A(x,y)、8(%,%)、。(飛，為)，設(shè)直線AB的方程為x=+4,將該直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)

立，并列出韋達(dá)定理，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)表達(dá)式，并代入韋達(dá)定理，消去X,可得出點(diǎn)。的橫坐標(biāo),

進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

C_瓜

a3

(1)由題意得〈31,,解得"=6>b2=2-

—r+-5-=l

a-b~

c2=a2-b2

y22

所以橢圓C的方程是土+乙=1；

62

(2)設(shè)直線A8的方程為了=陽+4,4(石,其)、B(x2,y2)s￡)(%%),

x-my+4

由IV2,得+3））智+8沖+10=0.

土+匕v=1

62

A=（8m）2-40（/n2+3）>0=>?72>5,則有y+%=，~~——

''m+3"+3

X.-AXj

X。=------

___________0i_2

由麗7=4羽月，得一）'|=4力，由4。=一％06，可得<,，

c2f7ix1-0---r

內(nèi)-M=毆+4+4）_2mx+4=2mMy2wl+33

+4=+4=

—8，〃2，

i-xi-A]+A%+y

2

%m+3

?10

2x---------

y=2y=2y%=療+3=5

1-A1+A必+M-8〃?2m

2

y2m+3

3

綜上，點(diǎn)。在定直線x=二上.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點(diǎn)在定直線上的證明，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.

23

22.(1)64,65；(2)—；(3)E(J)=12.

35

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出。，仇。，平均數(shù)，中位數(shù);

(2)設(shè)“第