2022年專升本《高數(shù)》真題及答案解析2

2022年河南省普通高等

專科畢業(yè)生進入本科階段學習考試

高等數(shù)學

題號―二三四五總分

本卷須知：

答題前：考生務必將自己的、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上本卷的

試題答案必須答在答題卡上，答在卷上無效

選題分析:

易（46分）中（79分）難（25分）

選擇：選擇：選擇：

1/2/3/4/5/6/13/14/15/17/7/8/9/10/11/12/16/18/20/29/30

19/21/2722/23/24/25/26/28填空：

填空：填空：計算：

31/32/33/35/3734/36/38/39/4042/49/50

計算：計算：應用：

43/4541/44/46/47/48證明：

應用：應用：53

證明：51/52

證明：

在每題的四個備選答案中選一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.

1.函數(shù)/(x)=sin49-犬+In(x-l)的定義域是().

A.(1,3]B.U,+oo)C.0+8)D.[-3,l)

2.f(2x)=x2-2x,那么/(x)=().

A.1X2+1B.lx2-I12

C._x-x

4????

Mov

1

D.

x

+

_______1

4

3,設/(?的定義域為R,那么g(x)=f(x)-f(-x)().

A.是偶函數(shù)---------B.是奇函數(shù)

C.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.是奇函數(shù)也是偶函數(shù)性

ox2+4

4.1im=-4,那么()?

?32X-2

A.2i=-1B.a=0C.a=lD.a=2

x2-l

5.工二-1是函數(shù)y=2----的~~(―「——

x-x-2

A.跳出斷點B.可去間斷點C.整點D.蹩二類間斷點

6.當X?麗，比1—COS元麗的無窮小是(~.

22

A.x+l-lB.In[1+x)c.siarD.arctaax

=lar,那么lim(

7.f(X)=J一(x+h)-『(x)=

D2h

Inxlax11

A.-B.c.一D.

Xx2X

f.y=sinr71

8.曲線〈\㈠為參數(shù))在1=—對應點處切線的方程為().

\x=2cosf2

A.x=lB.y=lC.y=x+1D.y=x-\

9.函數(shù)f(x)=x(x-l)(x-2)(x-3)(x-4),那么方程/'Q)=0實根的個數(shù)為().

A.2B.3C.4D.5

設y=y(X)是由方程>=盯+才確定的隱函數(shù)，那么‘>'=().

dx

l+x-y2y-xyi+y「―

A-------------B.------------C.-------D.------------

1—X1—X1-x^2x-xy

11.函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,a](?>0)上連續(xù)，/(0)>0,且在(0,。)上恒有/'(X)>0.設

S[=「/(x)dr,s2=af(0),s1與s2的關(guān)系是()?

JO

A.S]<$2B.S[=S2C.>S2D.不確定

12.曲線y=Y+1]).

A.無拐點B.有一個拐點C.有兩個拐點D.有三個拐點

1

13.曲線y=的漸近線的方程為().

x-2

A.x=0,y=1B.x=l,y=0

C.x=2,y=1D.x=2,^=0

14.設/(x)是/(x)的一個原函數(shù)，那么卜-"(”')公=().

A.-/(ev)+CB.-F(e-A)+C

C.F(ex)+CD.F(e-x)+C

15.設/(x)在［a,回上連續(xù)，那么由曲線y=/(x)與直線光=。，x=b,y=0所圍成平面圖形

的面積為().

hh

A.￡f(x)dxB.￡/(X)dx

C.^\f(x)\dx\b-d)

詈學-J'f(x)dx,那么lim/(印().

16.設/(x)是連續(xù)函數(shù)，滿足/(x)=

71兀兀

A.OB.-?C.D.

636

17.設/(x)=f(f—l)siw力，那么/'(x)=().

Jo

A.sinx+xcosxB.(X-I)COSX

C.sinx-xcosxD.(x-1)sinx

18.以下廣義積分收斂的是（).

共1

A.[---dxB.［五公

j2X

廣8,

C.「一dxD.J]cosxdx

J14m

19.微分方程一+二=0的通解是（）.

yx

A.x2+y2=25B.3x+4y=C

C.x2+/=CD.y2-x2=1

20.解常微分方程y"—2y'+y=x/的過程中，特解一般應設為（）.

A.y*=(Ax2+Bx)eAB.y*=Axex

C.y=AexD./=x2ex(Ax+B)

—>—>—>—>—>

21.a,b,c為非零向量，且〃?力=0,Z?xc=0,那么().

->->->—>—>—>->->

A.a%且。_LcB.Q_L。且必？

—>—>->—>Tf—>T

C.a/且。_LcD.。_Lc且b±c

22.直線與平面乃：6x—4y+10z—1=0的位置關(guān)系是（）.

A.L在萬上B.L與萬平行但無公共交點

C.L與不相交但不垂直D.L與〃垂直

23.在空間直角坐標系內(nèi)，方程2/一尸=i表示的二次曲面是（）.

1D.-2

A.OB.4C.-

44

25.點(0,0)是函數(shù)z=孫的()

A.駐點B.極值點C.最大值點D.間斷點

26.設￡>={(x,y)/x<2,y<1},那么+y)dxdy-().

D

A.OB-1C.2D.l

Ix22-x

27?設/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，［心｛j公I)/(x,y)4y交換積分次序后得到

().

A.2f(x,y)dxBJdy\f(x,y)(bc

JoJo

f(x,y)dxD.fyyf^f(x,y)dx

2

28.L為從點(0,0)經(jīng)點(0,1)到點(1,1)的折線，x1dy+ydx=().

A.lB.2C.OD.-1

29.以下級數(shù)條件收斂的是().

002/7-1]8

峰島1片出幺1)

8+〃+1|00

c.y------------y亍n(-DD.

”1〃一〃+1V幾n=\

18

30.級數(shù)￡『一的和是().

4?--i

A.lB.2C：-D.-1

42

二、填空題(每題2分，共20分)

Y-1Y

31.設/(——)=——(1。0,1)那么/(%)=衛(wèi).

xx-1

V__________________________________________________________________________________

32.設連續(xù)函數(shù)/(X)滿足于(X)=—尢)公,那么j"f(x)dx=.

[x-a.x<1,

33./(x)=<假設函數(shù)/(X)在X=1處連續(xù)，那么a=衛(wèi).

[Inx,x>1,

34.設八d+D=l+2%3,且/(0)=-1,那么/(幻二旦

35.不定積分「os2xdx=衛(wèi).

->->->

36.假設向量a={0,1,1},。={1,0,1},c={1,1,0},求(ax》).c包.

371散分方程y"-4y'+4y=0的通解y(x)三旦.

V

arctan二

38.設/(x,y)=exln(x2+y2)cosxy2,那么/(1。)=Q

40.函數(shù)/(X)=1的幕級數(shù)展開式是.

1-2x

三、計算題(每題5分，共50分)

寸(e*—1)

41.求極限lim人匚___.

J1+tanx-J1+x

co

42.設圓為曲線丁=/與丁=￡+|(〃=1,2,3,4”..)所圍的面積，判定級數(shù)ZJ〃4的斂散性.

lt=l

43.求不定積分J

44.計算定積分「|尤-［公.

45.解方程xy-y=x,.

46.函數(shù)z=f(x,y)由方程一2z+e：=0所確定，求dz.

47.點A(4,—1,2),B(l,2,-2),。(2,0,1),求A4BC的面積.

48.計算二重積分|jln戰(zhàn)+才核,其中￡)={(x,y)/l<x2+y2<4}.

四、應用題(每題7分，共14分)

51.欲圍一個面積150平方米的矩形場地.所用材料的造價其正面是每米6元，其余三面是每米

3元.問場地的長、寬各為多少時，才能使造價最低

52.。是拋物線L：丁=2%和直線所厘|成的平面區(qū)域.試求：

2

(1)區(qū)域。的面積；

(2)區(qū)域D級Ox軸旋轉(zhuǎn)所形成空間旋轉(zhuǎn)體的體積.

五、證明題(每題,6分，共6,分)，4

53.設e<a</?<夕.癥明：lirB-lrra〉b-a).

2022年河南省普通高等?？飘?/p>

業(yè)生進入本科階段學習考試

高等數(shù)學

【參考答案】

一、選擇題(每題2分，共60分)

在每題的四個備選答案中選一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.1.

【答案】A2

司附i】要使函數(shù)f(x。=sinV9=a2+]n(xx-1)有意義，那么6一"-一3—處3,解

x41>1

得l<x夠3.故函數(shù)f(x領(lǐng)的定義域是(1,3].此題選0

A.2.【答案】C

T

【解析】令2初，那么》屏,8由/伸x8===t2_t)即L8

XX2-2xx,得224=

2

一XX.止匕題選C.

4

3.【答案】B

【解析】函數(shù)9?能赧=/領(lǐng)的定義域為RR(即定義域關(guān)于原點對稱)，且

=領(lǐng)X)=-[/領(lǐng)=-g*g故9領(lǐng)8

是奇函數(shù).此題選B.4.【答案】A

【解析】由Hm"""'+4=-4,得lim(QQ%%2+4)=0,即4Q/^+4=0,解得-1.此題選A.

xx-?2XX-妝T2

2

【答案】B

【解析】yy='j=a"“''-。,Xi=-1是函數(shù)川=妝『I的無定義點.那么”=-1不是函數(shù)燈的

XX2-XX-2(故-2)(X??XX2-XX-2

1)

連續(xù)點，選項C錯誤；由limy的上_=lim(x絲上D=lim工=：得x公-1是

lim

xx-^-lxx->-lxx-*-1xx^-lxx-23

函數(shù)yy的可去間斷點.颯B,昆田E)03)

6.【答案】D

【解析】當1—COSXX~-A2,、熄+1—1=(1+-2”—5或2,ln(l+%%2)?%%2,

時，

sinarctanx%3?.故當o時,比i_Cos設高階的無窮小是arctanx".此題選D.

7.【答案】B

“+酣海筋廨小用焉平刈=1?故)卬附=4??------------------------

XX九_>02/i/i->o2h

[加"("+"(")m*的川，3)=in，此題選B.

h->02hxx

8.【答案】B_

■—，一■,sinttMM播-rortt-fl-硼

【解析】由殳，得洲=胸=那么曲線在比=,對應點處切線的斜率kk=11=

x/加2COSttiia威-2sln(t2dta它

2_=0.當tt=F時,xx=0,yy=1.故曲線在t?="對應點處切線的方程為yy-1=0(xx-0),即yy

-222

1.此題選B.

9.【答案】C

【解析】/<*x)=xa^-l)(xx-2)(x--3)k8-4),上連續(xù)，在(0,4)

內(nèi)可導，且

加。)=力⑴=加2)=加3)=加4)=。,由羅爾班瞥e(0,l)^6(1,2)心6(2,3),

ae(3,4),使得"低)="‘(&)="低)=〃低)=o.由/■誨3)5次多項式，那么"'oea

4次多項

41234

式，故"'('8=0最多有4個零點,綜上，方程"'Q8=o實根的個數(shù)為4.此題

選C.10.【答案】B

【解析】方程yy二期+源兩邊對以求導，得""三yy+xx藝+ee%解得"°=出例=dQ+(y-xy)=

]把C依工ddxx

北竺?此題選B.1,y

1-&[]

ddxx1-xx1-xx

【解析】由"'Q8>0在（0,a8li恒成立，得?上嚴格單調(diào)增加.由積分中值

定理知，3

aa

S（O,Q瑜使得SS1=8dd%苗Q8f?覦）.由0<E<M得f-0）<f-覦）<

又0,那么

S$2=<(0)<aaff?,故SS1>SS2.此題選

C.12.【答案】B

【解析】由y-^xr3+i,得yy，=3xx2,yy"=6xx.令yy"=O,解得x-^0.當時，yy">

0；當

x的0時，yy”<0.故(0,y，0)),即(0,1)為曲線的一個拐點.此題選B.13.

【答案】D

【解析】曲線由于x協(xié)2為曲線的無定義點，且limy協(xié)_=8,故2為曲線

lim1

xx-2xx-?2xx->2xx-2

的垂直漸近線；由limy/A1=0,得y=O為曲線的水平漸近線,此題選D.

lim

XX-?OO秋T8xx-2

14.【答案】B

［解析］由函數(shù)F?@vx)是/的x)的一個原函數(shù)，得J7ao)ddx給F麗x)+C瑜故不定

積分

Jee-xxf^(ee-xx')ddx4^-Jf令鍬e*)=-F^(ee-xx')+CC.此題選B.

15.【答案】C

【解析】由定積分的幾何意義知，所求平面圖形的面積Se/tlf翎鏘Iddxx.此題選C.

16.【答案】B

【解析】令廣/領(lǐng)雙)ddx份兒那么f編的=1+而，絲.”對/專覦x)=i+sin、M〃等式兩邊取

上的定

-11+xx21+xx2

積分，滑］/苗形心給2/褥解得/協(xié)】眄苗1型*公，

皈4加f___=

—11+xx23-11+xx23-11+工工23-11+?2

:頌耐煩期1+0=:［:一(一，］="、此題選B.

3T3446

17.【答案】D

【解析】由=廣'(￡^^1)sintatdtt,得//'(雙)=(叉⑥^1)sinAX此題選D.

18.【答案】C

【解析】對于選項A,r8dx協(xié)j+SinxQ鈍Inx8=i(lnx領(lǐng)2|+8=+8發(fā)機選項A制以

2~222

對于選項B,/+8/也協(xié)2/+°2曲》協(xié)2g第+8=+8城.選項8?1明對,逐項0

1標12&1

J21ddx/82廣1d-歙1)=241麻-邛=2收斂，選項C正確；對于選項D,

I而三127^11

j+Scosx8idx?加J+8d■冢sinx/匐=sinx0p"8發(fā)散，選項D錯誤.此題選C.

111

19.【答案】C

【解析】由儂+胡絲0,得ddx，-dddd別離變量，得37ddy魁一md"兩邊積分，=—1燒+

得1”

ddxxddxx22

【解析】微分方程對應的齊次微分方程的特征方程為“2-22物1=0,解得;I協(xié)1為二重

特征根.由于f?%xee?,故特解形式應設為獷=9(。以€加6留?呼.此題選D.

21.【答案】B

【解析】由+『=0,得『1『；由『x『=0,得『||『.此題選B.22.

【答案】I)

【解析】由直線=?得直線LL的方向向量為?={3,-2,5}.由平面it:6xx-4yy+10z-

1=0,得平面TT的法向量為7={6,—4,10}.因為3=~2：5,所以H『.故直線兒與平面正垂直.

6-410

本題選D.23.

【答案】D

【解析】方程2.2-加=1不含zz項，表示雙曲柱面.此題選D.24.

【答案】B

_i-2xxdd(^dd+-hm2無網(wǎng)-itm+i)

【解析】lim2xxdd4=4.此題選B.

一_i+i)

xx->0Avdd+l-lXXTOXX->xx->0xxdd

dd-0G0jn/d+l+l>G0jvdd+l-l)0-1dd->0

25.【答案】A夕

J解析】令zz丫析y超

'。解得唯一駐點為(0,0),(3,-2).z/,=0，zz"=

nnaU1,zz'。她=0f=(x,y)=

名九.X妗0,

z,

(0,0)時,AA=zz"皿(0,0)=0,BB=zznW(0,0)=1,CC=zz”姍(0,0)=0,郵=AACC-BD=0—I2

-1<0,得點(0,0)不是函數(shù)z=xxyy的極值點，也不是最大值點.此題選A.

26.【答案】A

【解析】由于區(qū)域DD關(guān)于戲軸和yy軸均對稱，而設yy關(guān)于。和yy均為奇函數(shù)，yy關(guān)于yy為奇函數(shù)，故

JJ(孫+y)dxdy=0.此題選A.

27.【答案】C

【解析】根據(jù)積分區(qū)域，交換積分次序，得rddy，2Y巧—8ddxx.此題選C.

0dd

28.【答案】A

[ftWJ-i-x2dy+ydx=[x2dy+ydx+[光+1辦=1.此題選A.

7r-J(o,o)->(o.i)'J(o.i)^(i.i)Jo

29.【答案】D

【解析】級數(shù)條件收斂要求級數(shù)本身收斂，但加絕對值后發(fā)散.對于選項A和C,級數(shù)本身發(fā)

散，選項A和C錯誤；對于選項B,級數(shù)本身收斂，但加絕對值后仍收斂，選項B錯誤；對于

選項D,由萊布尼茨判別法,知級數(shù)X(-!)?—收斂，￡(T)"的，

2

M=1H=1W=1

由于p=1<l,那么發(fā)散，故級數(shù)（-1）」■條件收斂，選項D正確.此題選D.

2IJ=\y[n

30.【答案】C

81=V*1=^1(1—1111

【解析】￡——乙(2〃-1)(2〃+1)122〃-)=5(1_4(飛

n=l4〃—1n=ln=T12〃+1

1)+...+cJ_-ljzE..]=1C1-2+1-1+...+1—，+…)，那么級數(shù)的局部和為ss??=

52nn-l2335

1

11Moo11

b，nn

2(1_-)=一.故X-2—=limSS“祈一=配題選C.

2,3包8“I4〃_|nn-?oo2?i^$kl2

二、填空題(每題2分，共20分)31.

【答案】1

【解析】令比二，^,由)=B，得//(”)=11ttlt。).故//(.“)=1(XX40).

kT

XXXXX-1什XX

X

32.【答案#.

【解析】令/:/領(lǐng)x)ddx歌〃，那么/始功=以2對/舜刈：熱2等式兩邊取[0,2]上的定

積分，得

f2xx2ddx^^-211,解得1J2xx2ddx^f^1-1xx3\2=1(8-0)=8.

03o33099

33.【答案】L

limIn0,limlim1-QQ.由

xx-?l+xx-?lxx-?l-xx-*l-

連續(xù)，得/鈾)=lim/筋8=lim/幅舲即0=l-aa,解得a^l.

xx->l+xx-*l-

34.【答案】xx2-1.

【解析】令￡^^=%爐+1,^ff\xx3+1)=14-2xx3=2(%x3+1)-1,得//'(￡￡)=2比一1,那么ff'Qx)

=2xx-l,f^$o)=/(2x%-l)dxx=%%2一1%+cc.由f^$0)=-l,^CC==xx2-

xx-1.

35.【答案】1sin2x?bCC.

2

（解析】fcos2x^^ldx^^1fcos1sin2x^^FCC.

22

36.【答案】2.

1x1+（-1）x0=2.

37.【答案】（CCi+C&xOee叫其中仍,C0為任意常數(shù).

【解析】微分方程W-4y/+4yy=。的特征方程為廨-422+4=0,解得U=2為二重特征根，故

微分方程W'-4）'/+4yy=0的通解為yy=（就+CC2m/*,其中偽，CQ為任意常數(shù).

38.【答案】2.

21

【解析】的,0）=Inn,ff--2xx=故7A=）=2.

xrm=x^=i7

39.［答案］2遍.

1寐析】由//(瑞用㈤二ir2+yy2+zz2,得/「的yy,zz)=2M瑞yy㈤二2用，ff(xx,yy,zz)=2zz,那么

xxdaii

以xx,yy,(LLI)=(u,i)=2,f^(xx,yy,(liU)=(i,u)=2,/f(xx,yy,(i,w)=(1,u)=

zz)|2xgzz)|2y8zz)|n而2z，

2,故/仰加z)在點(1,1,1)處的梯度gniff=H'(ia,ys，zi)\(xx,yy,(1,1,1)/+

zz1|

瓏3，y%~￡Ti)『=笈+2J*+2『,方向?qū)?shù)的最大值為|gradf/|=2『+2『。=

zz)|

,22+22+22=243.

co0

100111

【解析】由=Z;，-1<X-O,得2x一<x就-

22

］-X〃=0M=0=MZ=0'

S(2x)_

三、計算題（每題5分，共50分）41.

【答案】6.一

2

【解析】limM(》T)—Hmxx-xx-(Vl+tan=2lim

xx+Vi+xx)

xx->0V^l+tanxx->0(Vl+tanxx+Vl+xx)-(^l+tanxx-^O(1+tan

xx-Vl+xxxx-Vl+xx)

2

2limQ=2lim3xx2=6lim1x2=6limxx=6.

xx-?0tanxr—OXXTOXX^QXX2

xx-xxsec2xx-1tan2xx

42.【答案】收斂

\y=xn

【解析】聯(lián)立］，解得尤=°或X=l,即曲線y=丁與y=￡申交于點（0,0）和（1,1）,

y二

”2111

故4={(X"-=(―-—)I：=—---=------------

"Jo1〃+1〃+2bn+\n+2(〃+1)(〃+2)

—叵—.設〃

所以成,=z

n=ln=i(n+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)

口=limn=1,因之收斂，故級數(shù)之Ina收斂.

那么]im-

〃-?8-

"T8(〃+1)(〃+2)?=1?=1"

“2

2

43.【答案】h-1+CC.2

[解析]。皿8幽"T)=-2「」+a.

Jy/xx2-l'24嚴互

44.【答案】4.

【解析】f4|xx-2|ddxx=f2(2-xx)ddxx+J4(xx-2)ddxx=(2xx-1xx2)|2+(^xx2—2xx)|4=(2x

0022022

2-x22)+[(1x42-2x4)-(1x22-2X2)]=(4-2)+[(8-8)-(2-4)]=2+2=

4.

45.【答案】與好+或加，其中CC為任意常數(shù).

2

【解析】原微分方程變形為1n,=*2,故微分方程的通解為yy=e-Js)&[Je〃-x)d±.

Xi2dxx+CC]=1x(11,xx2ixx+CC]=xx|/xxixx+CC]=xx^xx2+CC)=1xx3+Cfa,其中CC為任意常數(shù).

,xx22

.，比由、ddee-ddd8xxee~ddd^,,

4a6.【答案】ddx專鼾ddyy.

V…C2ZLc-eV-//nL

【解析】方程配-郵-2zz+ee"二0兩邊求微分，得ee-洲蜘xxyy)-2ddzz+e*ddzz=0,化簡,得

發(fā)力加(一yyddxx-xxddyy)-2ddzz+ee^ddzz=0,-)yee~aiiddxx-xxee'^ddyy+(een-2)ddzz=0解得ddzz=

ddxx+(Myy.

eezz-2=赭?2

47.【答案】塔

2

【解析】浮=(3,-3,4),B。=(1,-23)￡1『『，而B￡XBO=G1。=

理加=7梆兒4x耽C?3—34

1-23

(-1,-5,-3),那￡xB-1)2+(-5)2+(-3)2=屈.故&

么，

48.【答案】n(41n2-3).

2

【解析】令芍黑器(0W。-2兀兀,1人被^n4x^y^dy=「"如的加

22212

曲如二2耀/1)1心做如二mJln(Mild(flfl2)=7r?r(ao2Inaa|2—Jaa2,ddaa)=TTTT-4In2—TTTTJaaddaa

1i111

2nn3nn

g11=4n-^ki2-2(4-1)=47T^hrZ-2.

49.【答案】一二

2

【解析】設DD為"2+yy2=1圍成的圓域內(nèi)部，那么

￡>(1+Y)公+M1—y2)6="[況”/"-"義孩工"]公辦

)-(l+x)Wj=-[[(%+y)]dxdy(fm|0=

JJJJ0°-aadda^_

-2兀/Dai

22=—T441

2的

=D2D/％0

nn

-2'_________

—In(1-xx\%%G[—1,1)且W0,

50.【答案】S^^vx)=xx

丫解析""pe?lim鏟胡氣b1,得收斂半徑=1.那么基級數(shù)的收斂

nn-8aacnn-?oonn-?w

為(—1,1).當X苗—I時,％數(shù)I)””收斂；當9U時」級數(shù)一1發(fā)散.收基級數(shù)的收

￡8

，0.12°“3