河南省安陽市鶴壁市新鄉(xiāng)市商丘市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)考試（文科）數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)考試（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交集與補集運算即可.【詳解】解：因為集合，所以，又全集，所以.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算與加法運算可得復(fù)數(shù)，即可得模長.【詳解】解：因，所以.故選：A.3.已知向量，，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】因為，所以，解得．故選:B.4.下圖是我國跨境電商在2016～2022年的交易規(guī)模與增速圖，由圖可以知道下列結(jié)論正確的是（）A.這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為8.0萬億元B.這7年我國跨境電商交易規(guī)模的增速越來越大C.這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為7.6萬億元D.圖中我國跨境電商交易規(guī)模的6個增速的中位數(shù)為13.8％【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖逐項進行分析即可求解.【詳解】對于，由圖可知：這7年我國跨境電商交易規(guī)模的平均數(shù)為：萬億元，故選項錯誤；對于，由圖可知：交易規(guī)模的增速并不是越來越大，故選項錯誤；對于，由圖可知：這7年我國跨境電商交易規(guī)模的極差為，故選項錯誤，對于，由圖可知：6個增速的中位數(shù)為和的平均數(shù)，即，故選項正確，故選：.5.設(shè)函數(shù)的圖像在處的切線為，則在軸上的截距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求導(dǎo)得到切線斜率，寫出切線方程，再求出軸截距即可.【詳解】因為，所以的方程為，即,令，解得,則在軸上的截距為.故選：B6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷函數(shù)的定義域及奇偶性進行排除,根據(jù)0到第一個零點處的函數(shù)值正負(fù),即可判斷選項C,D的正誤.【詳解】解:由題知,定義域為,解得,所以,故為奇函數(shù),排除A,B;令可得,即,解得,當(dāng)時,,,此時,故選項D錯誤,選項C正確.故選:C7.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）．A.為奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞減C.在上的值域為 D.點是圖象的一個對稱中心【答案】D【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題知，，所以A錯誤；因為，，在上先增后減，所以B錯誤；因為，，，所以C錯誤；因為，所以點是圖象的一個對稱中心，所以D正確．故選：D.8.設(shè)橢圓的半焦距為，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解出，再由離心率公式計算即可.【詳解】由，解得，即的離心率為.故選：C9.在正方體中，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點，連接，，，證明得為異面直線與所成的角或其補角，再根據(jù)三角形的知識求解即可.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，，．因為分別為和的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以為異面直線與所成的角或其補角．設(shè)，則，，所以．故選：B10.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，且，則的最小值為（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，由已知等式可求得首項和公差，從而得，解得不等式即可求得的最小值.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，，所以，所以，得或（舍），由于，所以的最小值為13.故選：C.11.如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（）（假設(shè)上、下底面圓是封閉的）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式分別求解側(cè)面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積【詳解】解：因為，，所以該青銅器的表面積.故選：A.12.定義函數(shù),若至少有3個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知有解,即,分和兩種情況,畫出大致圖象,找到關(guān)鍵不等式,解出即可.【詳解】解:由題知,記,所以圖象為圖象靠下的位置,因為,有兩個根,分別為或,若至少有3個不同的解,則有一個解或者兩個解,即,解得或,當(dāng)時,,所以對稱軸為,若至少有3個不同的解,畫大致圖象如下:根據(jù)圖象則需滿足,即,解得;當(dāng)時,,所以對稱軸為,此時大致圖象如下:根據(jù)圖象則需滿足,即,解得,又因為,故,當(dāng)時,,解得根為1,因為的根為1,1,此時的根為1,1,不滿足有三個根,故舍去,綜上:.故選:B【點睛】思路點睛:該題考查函數(shù)與方程的綜合問題,屬于難題,關(guān)于已知函數(shù)有零點求參數(shù)范圍的思路有:(1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:在同一坐標(biāo)系下,畫出有關(guān)函數(shù)圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解即可.第II卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】分析】先根據(jù)條件畫出可行域，利用幾何意義求最值即可.【詳解】由題可得，x，y滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示：由圖可知，點的坐標(biāo)為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到點處時，取得最小值，最小值為：.故答案為：.14.已知函數(shù)，在上任取一個實數(shù)，使得的概率為__________.【答案】##0.4

【解析】【分析】求一元二次不等式的解集，根據(jù)幾何概型的定義求解即可.【詳解】解：因為，所以，即，又因為，根據(jù)幾何概型的定義，知所求概率為.故答案為：.15.1904年，瑞典科學(xué)家海里格?馮?科赫引人一條曲線一一科赫曲線，曲線是這樣構(gòu)造的：①作一直線段；②將直線段三等分，以中間三分之一線段為底作一個等邊三角形，并擦去等邊三角形的底，得到由四條線段構(gòu)成的折線圖；③對的每條線段同樣用等邊三角形的兩邊替代原線段的三分之一線段，得到折線圖；④無限重復(fù)上述過程，依次得到，，最后得到一條復(fù)雜曲線即稱為科赫曲線，若線段的長度為1米，則的長度為__________；若米，則正整數(shù)的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.②.【解析】【分析】分析可知科赫曲線構(gòu)造到線段的長度為，可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍即可得解．【詳解】解：因為的長度為的長度為，所以的長度為.由，得，即正整數(shù)的最小值為32.故答案為：；.16.已知拋物線，直線與拋物線交于，兩點，過，分別作拋物線的切線，若，且與交于點M，則的面積的最小值為________.【答案】1【解析】【分析】由直線垂直可構(gòu)造出斜率關(guān)系，得到，通過直線與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得；聯(lián)立兩切線方程，可用表示出，代入點到直線距離公式，從而得到關(guān)于的面積的函數(shù)關(guān)系式，求得所求最值．【詳解】解：拋物線的方程為，即，所以，設(shè),，,，則，所以切線方程，，由于，所以，由題意可設(shè)直線方程為，拋物線方程聯(lián)立，得，所以，則，，即即，聯(lián)立方程得，即，點到直線的距離，，所以．當(dāng)時，面積取得最小值1．故答案為：1.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角C；（2）若，的面積為，求c.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式、特殊角的正切值進行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理進行求解即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理由因為，所以，所以由，因為，所以【小問2詳解】因為，的面積為，所以有，舍去，即，所以.18.某校近期舉行了“2022年新聞時事知識競賽”，現(xiàn)在隨機抽查參賽的200名學(xué)生的得分（滿分100分），按照，，，，，，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，已知成等差數(shù)列.（1）求出的值，并計算參賽得分在的學(xué)生人數(shù)；（2）學(xué)校為進一步了解學(xué)生對新聞時事獲取的途徑，準(zhǔn)備從得分在與的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，然后從中再選出2名學(xué)生交流新聞時事獲取的途徑，求這2人中恰有1人的得分在內(nèi)的概率.【答案】（1），；參賽得分在的學(xué)生人數(shù)為（2）【解析】【分析】（1）由等差中項的性質(zhì)結(jié)合頻率之和為1求出的值，并由頻率、樣本容量計算參賽得分在的學(xué)生人數(shù)；（2）由分層抽樣確定從得分在與抽取人數(shù)，再由列舉法得出所求概率.【小問1詳解】因為三個數(shù)成等差數(shù)列，所以，又，所以.故參賽得分在的學(xué)生人數(shù)為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知得分在與的人數(shù)比為，所以按分層抽樣的方法抽出6名學(xué)生，其中得分在的抽2人，記為，得分在的抽4人，記為，然后從中再選出2名學(xué)生交流的所有情況為，，共15種情況，恰有1人的得分在的所有情況為，共8種情況，所以所求概率.19.如圖，四邊形是菱形，，平面，，.（1）證明：；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行證明異面直線即可；（2）根據(jù)錐體等體積轉(zhuǎn)化求解點到平面的距離即可.【小問1詳解】證明：連接交于因為四邊形是菱形，所以，又平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，又，所以平面就是平面，因為平面，所以.【小問2詳解】解：連接，取的中點，連接，因為，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，又，且，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，因為平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，因為正三角形，所以，所以平面.因為，所以，由，解得.20.已知雙曲線的離心率為，且點在雙曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）若點M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）直線的斜率為定值【解析】【分析】(1)根據(jù)離心率公式確定，再根據(jù)雙曲線經(jīng)過點即可求解；(2)利用韋達(dá)定理用坐標(biāo)表示出,進而可求解.【小問1詳解】由題可得離心率，所以，又因為，所以，所以雙曲線方程為，又因為雙曲線過點，所以，解得，所以雙曲線方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則得，，得，，，因為，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，則直線的方程為，即過點，不符合題意，若，則，滿足，綜上直線的斜率為定值.21.已知函數(shù).（1）若的導(dǎo)函數(shù)為，討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）由可求，再根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)，討論參數(shù)的范圍即可得出的單調(diào)性；（2）對任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，討論,和研究函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)值大于零，得出的取值范圍.【小問1詳解】因為,，所以.當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).【小問2詳解】恒成立，即恒成立.令，則.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，因為，所以不滿足條件.當(dāng)時，恒成立，滿足條件.當(dāng)時，令，存在，使得，因為在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知A，B是曲線C上的兩點，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先消去參數(shù)得到普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化即可求解；（2）利用的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角函數(shù)的方程，再通過輔助角公式即可求解.【小問1詳解】先將曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程，得，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程，進一步化簡得．【小問2詳解】不妨設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B的極坐標(biāo)為，