小學(xué)奧數(shù)所有公式

小學(xué)奧數(shù)公式

和差問題的公式

(和＋差)÷2＝大數(shù)(和－差)÷2＝小數(shù)

和倍問題的公式

和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或者和－小數(shù)＝大數(shù))

差倍問題的公式

差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)(或小數(shù)＋差＝大數(shù))

植樹問題的公式

1非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:

⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:

株數(shù)＝段數(shù)＋1＝全長÷株距－1

全長＝株距×(株數(shù)－1)

株距＝全長÷(株數(shù)－1)

⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:

株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距

全長＝株距×株數(shù)

株距＝全長÷株數(shù)

⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:

株數(shù)＝段數(shù)－1＝全長÷株距－1

全長＝株距×(株數(shù)＋1)

株距＝全長÷(株數(shù)＋1)

2封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距

全長＝株距×株數(shù)

株距＝全長÷株數(shù)

盈虧問題的公式

(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

相遇問題的公式

相遇路程＝速度和×相遇時(shí)間

相遇時(shí)間＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇時(shí)間

追及問題的公式

追及距離＝速度差×追及時(shí)間

追及時(shí)間＝追及距離÷速度差

速度差＝追及距離÷追及時(shí)間

流水問題

順流速度＝靜水速度＋水流速度

逆流速度＝靜水速度－水流速度

靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2

濃度問題的公式

溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量

溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度

溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量

利潤與折扣問題的公式

利潤＝售出價(jià)－成本

利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價(jià)÷成本－1)×100%

漲跌金額＝本金×漲跌百分比

折扣＝實(shí)際售價(jià)÷原售價(jià)×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×?xí)r間

稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－20%)1每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)

總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù)

總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)

21倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù)

幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù)

幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)

3速度×?xí)r間＝路程

路程÷速度＝時(shí)間

路程÷時(shí)間＝速度

4單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)

總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量

總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)

5工作效率×工作時(shí)間＝工作總量

工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間

工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率

6加數(shù)＋加數(shù)＝和

和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù)

7被減數(shù)－減數(shù)＝差

被減數(shù)－差＝減數(shù)

差＋減數(shù)＝被減數(shù)

8因數(shù)×因數(shù)＝積

積÷一個(gè)因數(shù)＝另一個(gè)因數(shù)

9被除數(shù)÷除數(shù)＝商

被除數(shù)÷商＝除數(shù)

商×除數(shù)＝被除數(shù)

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式

1正方形

C周長S面積a邊長

周長＝邊長×4

C=4a

面積=邊長×邊長

S=a×a

2正方體

V:體積a:棱長

表面積=棱長×棱長×6

S表=a×a×6

體積=棱長×棱長×棱長

V=a×a×a

3長方形

C周長S面積a邊長

周長=(長+寬)×2

C=2(a+b)

面積=長×寬

S=ab

4長方體

V:體積s:面積a:長b:寬h:高

(1)表面積(長×寬+長×高+寬×高)×2

S=2(ab+ah+bh)

(2)體積=長×寬×高

V=abh

5三角形

s面積a底h高

面積=底×高÷2

s=ah÷2

三角形高=面積×2÷底

三角形底=面積×2÷高

6平行四邊形

s面積a底h高

面積=底×高

s=ah

7梯形

s面積a上底b下底h高

面積=(上底+下底)×高÷2

s=(a+b)×h÷2

8圓形

S面積C周長∏d=直徑r=半徑

(1)周長=直徑×∏=2×∏×半徑

C=∏d=2∏r

(2)面積=半徑×半徑×∏

9圓柱體

v:體積h:高s;底面積r:底面半徑c:底面周長

(1)側(cè)面積=底面周長×高

(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2

(3)體積=底面積×高

（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑

10圓錐體

v:體積h:高s;底面積r:底面半徑

體積=底面積×高÷3

總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)

和差問題的公式

(和＋差)÷2＝大數(shù)

(和－差)÷2＝小數(shù)

和倍問題

和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)

(或者和－小數(shù)＝大數(shù))

差倍問題

差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù)

(或小數(shù)＋差＝大數(shù))

植樹問題

1非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:

⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:

株數(shù)＝段數(shù)＋1＝全長÷株距－1

全長＝株距×(株數(shù)－1)

株距＝全長÷(株數(shù)－1)

⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:

株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距

全長＝株距×株數(shù)

株距＝全長÷株數(shù)

⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:

株數(shù)＝段數(shù)－1＝全長÷株距－1

全長＝株距×(株數(shù)＋1)

株距＝全長÷(株數(shù)＋1)

2封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下

株數(shù)＝段數(shù)＝全長÷株距

全長＝株距×株數(shù)

株距＝全長÷株數(shù)

盈虧問題

(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)

相遇問題

相遇路程＝速度和×相遇時(shí)間

相遇時(shí)間＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇時(shí)間

追及問題

追及距離＝速度差×追及時(shí)間

追及時(shí)間＝追及距離÷速度差

速度差＝追及距離÷追及時(shí)間

流水問題

順流速度＝靜水速度＋水流速度

逆流速度＝靜水速度－水流速度

靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2

水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2

濃度問題

溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量

溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度

溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量

利潤與折扣問題

利潤＝售出價(jià)－成本

利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價(jià)÷成本－1)×100%

漲跌金額＝本金×漲跌百分比

折扣＝實(shí)際售價(jià)÷原售價(jià)×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×?xí)r間

稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－20%)常用數(shù)據(jù)①1×9＋2=1112×9＋3=111123×9＋4=11111234×9＋5=1111112345×9＋6=111111123456×9＋7=11111111234567×9＋8=1111111112345678×9＋9=111111111②9×9＋7=8898×9＋6=888987×9＋5=88889876×9＋4=8888898765×9＋3=888888987654×9＋2=88888889876543×9＋1=88888888③19＋9×9=100118＋98×9=10001117＋987×9=1000011116＋9876×9=100000111115＋98765×9=10000001111114＋987654×9=1000000011111113＋9876543×9=100000000111111112＋98765432×9=10000000001111111111＋987654321×9=100000000001×1=111×11=121111×111=123211111×1111=123432111111×11111=123454321111111×111111=123456543211111111×1111111=123456765432111111111×11111111=123456787654321111111111×111111111=12345678876543211111111111×1111111111=12345678987654321=

=225

=625

=1225

=2025

=3025

=4225

=5625

=7225

=9025142857×2=285714142857×3=428571142857×4=571428142857×5=714285142857×6=857142142857×7=99999912345679×9=111111111加法中的速算（1）加法交換律（2）加法結(jié)合律（3）互補(bǔ)數(shù)

如果兩個(gè)數(shù)的和是整十、整百、整千…那么這樣的兩個(gè)數(shù)叫做互為補(bǔ)數(shù)。減法中的速算（1）一個(gè)數(shù)減去幾個(gè)數(shù)的和，可以用這個(gè)數(shù)依次減去和里面的各個(gè)加數(shù)。（2）一個(gè)數(shù)減去兩個(gè)數(shù)的差，可以用這個(gè)數(shù)先減去差里的被減數(shù)，再加上減數(shù)；或用這個(gè)數(shù)加上差里的減數(shù)，再減去被減數(shù)。（3）一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以交換減數(shù)的位置，差不變。加減法混合運(yùn)算的性質(zhì)：（1）交換的性質(zhì)：在加減法混合運(yùn)算式題中，帶著數(shù)字前面的運(yùn)算符號，交換加減數(shù)的位置順序進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果不變。（2）結(jié)合的性質(zhì)：在加減混合運(yùn)算式題中，可以把加數(shù)、減數(shù)用括號結(jié)合起來，當(dāng)加號后面添括號時(shí)，原來的運(yùn)算符號不變；當(dāng)減號后面添括號時(shí)，則原來的減數(shù)變加數(shù)，加數(shù)變減數(shù)。如：===在加減混合運(yùn)算中，根據(jù)運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)可以歸納為：括號前面是加號，去掉括號不變號；加號后面添括號，括號里面不變號；括號前面是減號，去掉括號要變號；減號后面添括號，括號里面要變號。注：號是指數(shù)字前面的運(yùn)算符號。如果我們能夠靈活運(yùn)用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算，會使計(jì)算做得又對又快。乘法中速算乘法中的速算，要運(yùn)用以下定律：（1）乘法交換律

（2）乘法結(jié)合律

（3）乘法分配律

（4）乘法性質(zhì)①兩個(gè)數(shù)的差與一個(gè)數(shù)相乘，可以用被減數(shù)和減數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相減。②一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的商相乘，可用這個(gè)數(shù)先與商里的被除數(shù)相乘，再除以商里的除數(shù)；或用這個(gè)數(shù)先除以商里的除數(shù)，再與商里的被除數(shù)相乘。（5）積的變化規(guī)律

（6）特殊數(shù)字的乘積5×2=10

25×4=100

125×8=1000

625×16=10000

37×3=111

75×4=300375×8=3000除法中的速算除法中的速算，要根據(jù)以下各種性質(zhì)：（1）兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)的積除以一個(gè)數(shù)，可以先用積里的任何一個(gè)因數(shù)除以這個(gè)數(shù)，所得的商再與其他因數(shù)相乘。

==（2）一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的積，可以用這個(gè)數(shù)依次除以積里的各個(gè)因數(shù)。（3）一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)除以商里的被除數(shù)，再乘以商里的除數(shù)；或者用這個(gè)數(shù)乘以商里的除數(shù)，再除以商里的被除數(shù)。（4）兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以把和里的各個(gè)數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，再把它們的商相加。（5）兩個(gè)數(shù)的差除以一個(gè)數(shù)，可以用被減數(shù)、減數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，再把所得的商進(jìn)行相減。（6）商不變的性質(zhì)：如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。

（7）乘除法混合運(yùn)算的交換性質(zhì)：在乘除混合運(yùn)算中，帶著數(shù)字前面的運(yùn)算符號交換乘數(shù)、除數(shù)的位置，結(jié)果不變。在乘法、除法和乘除法混合運(yùn)算中，根據(jù)運(yùn)算的定律和運(yùn)算性質(zhì)，可以歸納為：括號前面是乘號，去掉括號不變號；乘號后面添括號，括號里面不變號；括號前面是除號，去掉括號要變號；除號后面添括號，括號里面要變號；注：號是指數(shù)字前面的運(yùn)算符號。等差數(shù)列求和數(shù)列是指按一定規(guī)律順序排列成一列數(shù)。如果一個(gè)數(shù)列中從第二個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)減去前一個(gè)數(shù)所得的差都是相等的話，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列。等差數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)叫第一項(xiàng)，通常也叫“首項(xiàng)”，第二個(gè)數(shù)叫第二項(xiàng)，第三個(gè)數(shù)叫第三項(xiàng)……最后一項(xiàng)叫做“末項(xiàng)”。等差數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差叫做“公差”。等差數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做“項(xiàng)數(shù)”。

=×n÷2n=÷＋1=（n－1）×＋

和倍問題己知幾個(gè)數(shù)的和及這幾個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，求這幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫和倍問題。解答和倍問題，一般是先確定較小的數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（或稱一倍數(shù)），再根據(jù)其他幾個(gè)數(shù)與較小數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的多少倍，然后用除法求出標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，再求出其他各數(shù)。為了幫助我們理解題意弄清數(shù)量關(guān)系，從而找到解題的途徑，最好采用畫線段圖的方法。和倍應(yīng)用題的解法可以牢記以下幾個(gè)公式：和÷（倍數(shù)＋1）=1倍數(shù)（較小數(shù)）1倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或

和－小數(shù)=大數(shù)差倍問題己知兩個(gè)數(shù)的差及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題叫差倍問題。解答差倍問題，一般以較小數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（一倍數(shù)），再根據(jù)大小兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，確定差是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的多少倍，然后用除法先求出較小數(shù)，再求出較大數(shù)。解答這類問題，先畫線段圖，幫助分析數(shù)量關(guān)系。差÷（倍數(shù)－1）=1倍數(shù)（較小的數(shù)）1倍數(shù)×倍數(shù)幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或

較小數(shù)＋差=較大的數(shù)和差問題和差問題是根據(jù)大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式?？梢赃x擇大數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。以小數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，從和里減去兩數(shù)的差，恰好是小數(shù)是2倍，除以2就可以求出小數(shù)；若以大數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，把小數(shù)加上兩個(gè)數(shù)的差，正好是兩個(gè)數(shù)，除以2就可以求出大數(shù)。解答和差問題的基本公式是：（和－差）÷2=較小數(shù)（和＋差）÷2=較大數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)

或：大數(shù)－差=小數(shù)和－大數(shù)=小數(shù)

或：小數(shù)＋差=大數(shù)九、年齡問題己知兩個(gè)人或幾個(gè)人的年齡，求他們年齡之間的某種數(shù)量關(guān)系；或己知某些人年齡之間的數(shù)量關(guān)系，求他們的年齡等，這種題稱為年齡問題。年齡問題的特點(diǎn)是：（1）兩人的年齡之差是不變的，稱為定差。（2）兩個(gè)人的年齡同時(shí)都增加同樣的數(shù)量。（3）兩個(gè)年齡之間的倍數(shù)關(guān)系，隨著年齡的增長，也在發(fā)生變化。年齡問題的解題方法是：幾年后=大小年齡之差÷倍數(shù)差－小年齡幾年前=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差平均數(shù)求平均數(shù)必須知道總數(shù)和份數(shù)，可以寫成公式：平均數(shù)=總數(shù)÷份數(shù)

總數(shù)=平均數(shù)×份數(shù)份數(shù)=總數(shù)÷平均數(shù)相遇問題走路、行車等勻速運(yùn)動中的速度、時(shí)間和路程三者關(guān)系的應(yīng)用題叫行程問題。行程問題根據(jù)題目的內(nèi)容、性質(zhì)所需要解答案的問題，又分為相遇問題、追及問題、火車過橋問題等。解答各類行程問題的基礎(chǔ)，要掌握速度、時(shí)間和路程三種量之間的關(guān)系：

路程=速度×?xí)r間時(shí)間=路程÷速度速度=路程÷時(shí)間相遇問題的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動物體或人，同時(shí)或不同時(shí)從兩地相向而行，或同時(shí)同地相背而行，要解答相遇問題，掌握以下數(shù)量關(guān)系：

速度和×相遇時(shí)間=路程路程÷速度和=相遇時(shí)間速度÷相遇時(shí)間=速度和速度和－速度甲=速度乙追及問題運(yùn)動的物體或人同向而不同時(shí)出發(fā)，后出發(fā)的速度快，經(jīng)過一段時(shí)間追上先出發(fā)的，這樣的問題叫做追及問題，解答追及問題的基本條件是“追及路程”和“速度差”。追及問題的基本數(shù)量關(guān)系是：追及時(shí)間=追及路程÷速度差追及路程=速度差×追及時(shí)間速度差=追及路程÷追及時(shí)間行船問題船在江河里航行，前進(jìn)的速度與水流動的速度有關(guān)系。船在流水中行程問題，叫做行船問題（也叫流水問題）。船順流而下的速度和逆流而上的速度與船速、水速的關(guān)系是：順?biāo)俣?船速＋水速逆水速度=船速－水速由于順?biāo)俣仁谴倥c水速的和，逆水速度是船速與水速的差，因此行船問題就是和差問題，所以解答行船問題有時(shí)需要駝用和差問題的數(shù)量關(guān)系。船速=（順?biāo)俣龋嫠俣龋?水速=（順?biāo)俣龋嫠俣龋?因?yàn)樾写瑔栴}也是行程問題，所以在行船問題中也反映了行程問題的路程、速度與時(shí)間的關(guān)系。順?biāo)烦?順?biāo)俣取習(xí)r間逆水路程=逆水速度×?xí)r間過橋問題過橋問題的一船的數(shù)量關(guān)系是：路程=橋長＋車長車速=（橋長＋車長）÷通過時(shí)間通過時(shí)間=（橋長＋車長）÷車速車長=車速×通過時(shí)間－橋長橋長=車速×通過時(shí)間－車長植樹問題在首尾不相接的路線上植樹，段數(shù)與棵數(shù)關(guān)系可分為三類：（1）兩端都種樹

段數(shù)=棵數(shù)－1（2）一端種一端不種段數(shù)=棵數(shù)（3）兩端都不種

段數(shù)=棵數(shù)＋1在首尾相接的路線上種樹（如圓、正方形、閉合曲線等）段數(shù)=棵數(shù)還原問題還原問題又叫逆推問題。己知一個(gè)數(shù)的結(jié)果，再經(jīng)過逆運(yùn)算反求原數(shù)，叫做還原問題。解決這類題要從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算（即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘）。方陣問題很多的人或物按一定條件排成正方形（簡稱方陣），再根據(jù)己知條件求總?cè)藬?shù)，這類題叫方陣問題。在解決方陣問題時(shí)，要搞清方陣中一些量（如層數(shù)，最外層人數(shù)，最里層人數(shù)，總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系。要開動腦筋，可用多種方法來解題。方陣問題的基本特點(diǎn)是：（1）方陣不管在哪一層，每邊的人數(shù)都相同，每向里面一層，每邊上的人數(shù)減少2，每一層就少8。（2）每層人數(shù)=（每邊人數(shù)－1）×4（3）每邊人數(shù)=每層人數(shù)÷4＋1（4）實(shí)心方陣人數(shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)===4×（最外層一邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)

=4×（n-K）×K

=幻方與數(shù)陣幻方的特點(diǎn)：一個(gè)幻方每行、每列、每條對角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等。這相相等的和叫“幻和”。數(shù)陣有三種基本類型：（1）封閉型，（2）輻射型（3）綜合型解數(shù)陣問題一般思路是從和相等入手，確定重處長使用的中心數(shù)，是解答解數(shù)陣類型題的解題關(guān)鍵。有時(shí)，數(shù)陣問題的答案不是唯一的。奇數(shù)與偶數(shù)加法：偶數(shù)＋偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)＋奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)＋奇數(shù)=奇數(shù)減法：偶數(shù)－偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)－奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)－奇數(shù)=奇數(shù)乘法：偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)盈虧問題解盈虧問題通常是比較法和對應(yīng)法結(jié)合使用。公式是：人數(shù)=兩次分配結(jié)果差÷兩次分配數(shù)差牛吃草問題牛吃草問題涉及三種數(shù)量：A.原有的草。B.新長出的草。C.牛吃掉的草。牛吃草問題解法一般分為三步：一、求新生的草量；二、求原有草量；三、求出最終的問題。還原問題解題關(guān)鍵：在從后往前推算的過程中，每一步都是做同原來相反的運(yùn)算，原來加的，運(yùn)算時(shí)用減；原來減的，運(yùn)算時(shí)用加；原來乘的，運(yùn)算時(shí)用除；原來除的，運(yùn)算時(shí)用乘。假設(shè)問題假設(shè)法是解答應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常用到的一種方法。所謂“假設(shè)法”就是依據(jù)題目中的己知條件或結(jié)論作出某種設(shè)想，然后按照己知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，再適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。余數(shù)問題一個(gè)帶余數(shù)除法算式包含4個(gè)數(shù)：被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)。它們的關(guān)系也可表示為：被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)，或（被除數(shù)－余數(shù)）÷除數(shù)=商。一筆畫和多筆畫（1）凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成；畫時(shí)可以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。（2）凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)（其余均為偶點(diǎn)）的連通圖，一定可以一筆畫完；畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)。乘法原理如果完成一件事需要個(gè)步驟，在第一個(gè)步驟中有種不同方法，在第二個(gè)步驟中有種不同方法，…在第個(gè)步驟中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。加法原理如果完成一件事有幾類方法，在第一類方法中有種不同的選擇，在第二類方法中有種不同選擇…在第類方法中有種不同的選擇，那么完成這件事共有種不同的方法。排列一般地說，從個(gè)不同的元素中任取出個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列。一般地，從個(gè)不同的元素中任取出個(gè)元素，排成一列的問題，可以看成是從個(gè)不同元素中取出個(gè)，排在個(gè)不同的位置上的問題，每個(gè)排列共需要步，每一步又有若干種不同的方法，排列數(shù)可以這樣計(jì)算：

組合一般地說，從從個(gè)不同的元素中任取出個(gè)元素組成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素中一個(gè)組合，所有組合的個(gè)數(shù)，用符號表示。因此我們可以得到組合公式：抽屈原則抽屜原則：把n+1（或更多）個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。我們把這個(gè)結(jié)論稱為抽屜原則一。由此我們可以得到抽屜原則二。

把（m×n+1）個(gè)（或更多個(gè)）蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，必須一個(gè)抽屜里有（m+1）個(gè)（或更多的）蘋果。說明：應(yīng)用抽屜原則解題，要從最壞的情況去思考。列方程解應(yīng)用題列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：1、根據(jù)據(jù)題意設(shè)某一個(gè)示知數(shù)為；2、依題意找出題中相等的數(shù)量關(guān)系；3、根據(jù)相等的數(shù)量關(guān)系列出方程；4、解方程；5、檢驗(yàn)并寫出答案。整除的特征

7整除。分解因式把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。一個(gè)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，恰為質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1后的乘積。一個(gè)數(shù)的完全平方數(shù)，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)，恰好是平方前這個(gè)數(shù)各個(gè)質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)的2倍。一個(gè)完全平方數(shù)各個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)都是偶數(shù)。最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)一般有三種方法：（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）短除法（3）輾轉(zhuǎn)相除法求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法也有三種：（1）分解質(zhì)因數(shù)法（2）短除法（3）分?jǐn)?shù)的比較分母相同的分?jǐn)?shù)比較大小，分子大的分?jǐn)?shù)比較大。分子相同的分?jǐn)?shù)比較大小，分母大的分?jǐn)?shù)反而小。分子和分母都不相同的分?jǐn)?shù)比較大小，可以把它們轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)比較大?。灰部梢园阉鼈冝D(zhuǎn)化成分子相同的分?jǐn)?shù)比較大小。用“第三個(gè)數(shù)”——比較大小用“第三個(gè)數(shù)”——1比較大小一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一個(gè)自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)自然數(shù)（這個(gè)自然數(shù)小于真分?jǐn)?shù)的分子），所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同個(gè)自然數(shù)（這個(gè)自然數(shù)小于假分?jǐn)?shù)分母），所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個(gè)自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。（對折后剪的次數(shù)）×2＋1=得到的段數(shù)。最大最小1、解答最大最小的問題，可以進(jìn)行枚舉比較。在有限的情況下，通過計(jì)算，將所有情況的結(jié)果列舉出來，然后比較出最大值或最小值。2、運(yùn)用規(guī)律。（1）兩個(gè)數(shù)的和一定，則它們的差越接近，乘積越大；當(dāng)它們相等（差為0）時(shí)，乘積最大。3、考慮極端情況。如“連接兩點(diǎn)間的線段最短”、“作對稱點(diǎn)”、“聯(lián)系實(shí)際考慮問題”等。比較大小

估算最常用的技巧是“放大縮小”，即先對某個(gè)數(shù)或算式進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺糯蟆被颉翱s小”，確定它的取值范圍，再根據(jù)其他條件得出結(jié)果，調(diào)整放縮幅度的方法有兩條：一是分組（分段），并盡可能使每組所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同；另一種方法是按近似數(shù)乘除法計(jì)算法則，比要求的精確度多保留一位，進(jìn)行計(jì)算。鐘表問題1解答鐘表問題，我們首先想辦法把有些能轉(zhuǎn)化成相遇或追及問題的轉(zhuǎn)化為相遇或追及問題來解答。2解答鐘表上的時(shí)間快慢問題，關(guān)鍵是抓住單位時(shí)間內(nèi)的誤差，然后根據(jù)某一時(shí)間段內(nèi)含多少個(gè)單位時(shí)間，就可以求出這一時(shí)間段內(nèi)的誤差。圓的計(jì)算1解答較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，一定要找準(zhǔn)單位“1”，如果單位“1”的量是變化的，就要從題目中找出不變的量，把不變的量看作單位“1”，將己知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出所求數(shù)量相當(dāng)于單位“1”的幾分之幾，再列式解答。2還可以借助線段圖來幫助理解題意，列式解答。3對較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，還可以列方程來解答。利潤問題1商品定價(jià)高了，就可能賣不掉，那么就要降低利潤（甚至虧本）減價(jià)出售，減價(jià)也叫打折扣，減價(jià)20﹪，就是按定價(jià)的1-20﹪=80﹪出售，通常也叫做打八折出售。2利潤問題和商品出售問題與我們平時(shí)的生活實(shí)際的聯(lián)系是十分密切的，解答利潤問題你必須理解以下的關(guān)系式。（1）利潤=賣價(jià)－成本（2）利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)－成本）÷成本×100﹪（3）賣價(jià)=成本×（1＋利潤率）（4）成本=賣價(jià)÷（1＋利潤率）工程問題1在解答工程問題時(shí)，常把“一項(xiàng)工程”看作單位“1”，根據(jù)工作總量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系進(jìn)行解題。2解題時(shí)，要善于運(yùn)用常見的數(shù)學(xué)思想方法—如假設(shè)法、轉(zhuǎn)化法、代換法。數(shù)進(jìn)制1將任意一個(gè)P進(jìn)制的數(shù)改寫成十進(jìn)制的數(shù)，只要寫成，計(jì)算其相應(yīng)的結(jié)果。2將任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)化為P進(jìn)制數(shù)都可以用P去除這個(gè)數(shù)，記下余數(shù)，直至商為0，然后將余數(shù)自下而上依次排列。3二進(jìn)制的妙用，在日常生活中經(jīng)常會碰到，應(yīng)靈活運(yùn)用。圓柱和圓錐圓柱體的側(cè)面積=圓柱體的表面積=圓錐體的體積=比和比例1、解答按比便分配的應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)題目的己知條件，找出部分量與總量之間的關(guān)系。把己知數(shù)量與份數(shù)對應(yīng)起來，轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾來做。即按以下公式2、對通過增減數(shù)量來改變原來的比例關(guān)系的題目，解答時(shí)要抓住不變的量來解題。1.從1開始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的平方和公式

有時(shí)候小升初考試會把題目變形為：把原來式子中的1,2,3,4，……變成2，4,6，8……

這里需要把2的平方提出來，然后轉(zhuǎn)化為該公式

2。從1開始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的立方和公式

這個(gè)公式考的不多，但部分學(xué)校小升初或者某些競賽會考。反正公式也不是太復(fù)雜，記住吧。

3.平方差公式

這個(gè)公式幾乎在各種競賽，小升初考試中都有涉及，包括速算與巧算，平方數(shù)，數(shù)論、和差等專題中出現(xiàn)。是一個(gè)非常好用的公式。

4.完全平方公式

這個(gè)公式用的也不是太多，它主要考察孩子對多個(gè)因數(shù)之間的乘法分配率的應(yīng)用。常用在速算與巧算中。式子中的加減號放在一起，意思是指，當(dāng)左邊去加號，右邊亦取加號，當(dāng)左邊是減號，右邊也取減號。而且還要注意ab的前面有個(gè)2.5．1/A(A+1)=1/A-1/(A+1) 例如1/3*4=1/3–1/4一、青蛙爬井問題公式解法爬到井口天數(shù)=（總距離－變前距離）÷變后距離+1（注意：結(jié)果為小數(shù)：去小數(shù)后再加1）若為復(fù)合形式：變前距離=每一次上爬距離變后距離=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬和下滑的天數(shù)和特別注意：（若休息時(shí)間單獨(dú)占天數(shù)，保持既不上爬也不下滑的狀態(tài)）變后距離=每一次上爬和下滑的差÷每一次上爬、休息和下滑的天數(shù)和二、店主損失問題店主損失＝商品進(jìn)價(jià)+找給顧客錢數(shù)其他都是擾亂題的因素！思維發(fā)散：如果問題問的是，買商品的人得到多少錢？就應(yīng)該是85加售價(jià)15元的汽水，100元。顧客收益＝商品售價(jià)+找給顧客錢數(shù)三、雞兔同籠問題雞數(shù)＝(兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)－雞腳數(shù))兔數(shù)＝(總腳數(shù)－雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)－雞腳數(shù))史上最簡單最牛的雞兔同籠的新解法題目：雞兔同籠，頭15、腳40，問幾雞幾兔？我們家的雞和兔都是經(jīng)過嚴(yán)格訓(xùn)練的，當(dāng)我吹哨，所有的雞兔都抬起兩只腳。雞只有2腳，只能一屁股坐在地上。現(xiàn)在站在地上的只有兔子了，每只兔子是用2條腿站著的?，F(xiàn)在還剩10條腿，可以算出兔子有5只了?。。。。?0—15=2525—15=1010÷2=5兔數(shù)=（總腳數(shù)—2倍總頭數(shù)）÷2雞數(shù)=總頭數(shù)—兔數(shù)四、行程問題基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間

關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程相遇路程÷速度和＝相遇時(shí)間相遇路程÷相遇時(shí)間＝速度和

追及問題：追及時(shí)間＝追及路程÷速度差追及路程＝速度差×追及時(shí)間速度差＝追及路程÷追及時(shí)間（時(shí)鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按“時(shí)”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時(shí)，時(shí)針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的，兩針?biāo)俣炔钍欠轴樀乃俣鹊模轴樏啃r(shí)可追及。）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）×順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2

火車問題：基本數(shù)量關(guān)系是火車速度×?xí)r間=車長+橋長1）超車問題（同向運(yùn)動，追及問題）路程差＝車身長的和超車時(shí)間＝車身長的和÷速度差2）錯車問題（反向運(yùn)動，相遇問題）路程和＝車身長的和錯車時(shí)間＝車身長的和÷速度和

3）過人（人看作是車身長度是0的火車）4）過橋、隧道（橋、隧道看作是有車身長度，速度是0的火車）【一般行程問題公式】平均速度×?xí)r間=路程；路程÷時(shí)間=平均速度；路程÷平均速度=時(shí)間?！痉聪蛐谐虇栴}公式】反向行程問題可以分為“相遇問題”（二人從兩地出發(fā)，相向而行）和“相離問題”（兩人背向而行）兩種。這兩種題，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（離）時(shí)間=相遇（離）路程；相遇（離）路程÷（速度和）=相遇（離）時(shí)間；相遇（離）路程÷相遇（離）時(shí)間=速度和?！就蛐谐虇栴}公式】追及（拉開）路程÷（速度差）=追及（拉開）時(shí)間；追及（拉開）路程÷追及（拉開）時(shí)間=速度差；（速度差）×追及（拉開）時(shí)間=追及（拉開）路程?！玖熊囘^橋問題公式】（橋長+列車長）÷速度=過橋時(shí)間；（橋長+列車長）÷過橋時(shí)間=速度；速度×過橋時(shí)間=橋、車長度之和?！拘写瑔栴}公式】（1）一般公式：靜水速度（船速）+水流速度（水速）=順?biāo)俣?；船?水速=逆水速度；（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=船速；（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=水速。（2）兩船相向航行的公式：甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度（3）兩船同向航行的公式：后（前）船靜水速度-前（后）船靜水速度=兩船距離縮?。ɡ螅┧俣?。（求出兩船距離縮小或拉大速度后，再按上面有關(guān)的公式去解答題目）。五、牛吃草問題設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”1）草的生長速度＝（對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；`3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。這四個(gè)公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。1.(牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù))÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù))=草地每天新長草的量。2.牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草。六、工程問題【工程問題公式】（1）一般公式：工效×工時(shí)=工作總量；工作總量÷工時(shí)=工效；工作總量÷工效=工時(shí)。（2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：1÷工作時(shí)間=單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；1÷單位時(shí)間能完成的幾分之幾=工作時(shí)間。（注意：用假設(shè)法解工程題，可任意假定工作總量為2、3、4、5……。特別是假定工作總量為幾個(gè)工作時(shí)間的最小公倍數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)工程問題可以轉(zhuǎn)化為比較簡單的整數(shù)工程問題，計(jì)算將變得比較簡便。）（從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同）七、植樹問題（1）不封閉線路的植樹問題：間隔數(shù)+1=棵數(shù)；（兩端植樹）路長÷間隔長+1=棵數(shù)。或間隔數(shù)-1=棵數(shù)；（兩端不植）路長÷間隔長-1=棵數(shù)；路長÷間隔數(shù)=每個(gè)間隔長；每個(gè)間隔長×間隔數(shù)=路長。（2）封閉線路的植樹問題：路長÷間隔數(shù)=棵數(shù)；路長÷間隔數(shù)=路長÷棵數(shù)=每個(gè)間隔長；每個(gè)間隔長×間隔數(shù)=每個(gè)間隔長×棵數(shù)=路長。（3）平面植樹問題：占地總面積÷每棵占地面積=棵數(shù)（4在方形線路上植樹，如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹。則棵數(shù)=（每邊的棵數(shù)－1）×邊數(shù)封閉的圓形道路上植樹是屬于一端種樹，一端不種樹的情況。敲時(shí)鐘和上下樓梯屬于兩端都種樹的情況。鋸木頭和剪繩子也屬于植樹問題，是屬于兩端都“不種樹”的情況。木頭或繩子的總長是總距離；鋸木頭或剪繩子的次數(shù)是種樹棵數(shù)；鋸下或剪下的每段木頭或繩子的長度是間隔距離；鋸成或剪成了多少段是間隔數(shù)。鋸的次數(shù)＝段數(shù)－1段數(shù)＝鋸的次數(shù)＋1在正多邊形周圍擺花盆：（1）每個(gè)角上都擺的情況：總盆數(shù)＝（每邊數(shù)－1）×邊數(shù)每邊數(shù)＝總盆數(shù)÷邊數(shù)＋1邊數(shù)＝總盆數(shù)÷（每邊數(shù)－1）（2）每個(gè)角上都不擺的情況：每邊數(shù)×邊數(shù)＝總盆數(shù)總盆數(shù)÷邊數(shù)＝每邊數(shù)總盆數(shù)÷每邊數(shù)＝邊數(shù)八、剪繩問題：一根繩對折N次，從中剪M刀，則被剪成了（2N×M＋1）段九、年齡問題：年齡問題的三個(gè)基本特征：①兩個(gè)人的年齡差是不變的；②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

幾年后年齡＝大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡

幾年前年齡＝小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差十、盈虧問題基本題型：①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。(盈＋虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大盈－小盈)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)(大虧－小虧)÷兩次分配量之差＝參加分配的份數(shù)十一、濃度問題：溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%=濃度溶液的重量×濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量溶液稀釋與溶液混合在濃溶液里加入水將它稀釋為稀溶液，稱為溶液的稀釋。在濃溶液里加入含有相同溶質(zhì)的稀溶液，稱為溶液的混合。在溶液稀釋與溶液混合的過程中，溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)變了，但稀釋前濃溶液里所含溶質(zhì)的質(zhì)量與稀釋后稀溶液里所含溶質(zhì)的質(zhì)量相等；混合溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量等于濃溶液中溶質(zhì)質(zhì)量與稀溶液中溶質(zhì)質(zhì)量之和。抓住這一點(diǎn)，就抓住了這類計(jì)算的關(guān)鍵。其實(shí)溶液的稀釋也可以看作是溶液的混合，即把水看作是溶質(zhì)質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0％的稀溶液。這樣就可以合并成為一個(gè)問題來討論了。有關(guān)溶液混合的計(jì)算公式是：m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)=m(混)×c％(混)由于m(混)=m(濃)+m(稀)，上式也可以寫成：m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)=[m(濃)+m(稀)]×c％(混)此式經(jīng)整理可得：m(濃)×[c％(濃)-c％(混)]=m(稀)×[c％(混)-c％(稀)]十二、和差倍問題（和差問題

和倍問題

差倍問題）

已知條件：幾個(gè)數(shù)的和與差;幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù);幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)。

公式適用范圍：已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系【和差問題公式】(和－差)÷2=較小數(shù)

較小數(shù)＋差=較大數(shù)

和－較小數(shù)=較大數(shù)

(和＋差)÷2=較大數(shù)

較大數(shù)－差=較小數(shù)

和－較大數(shù)=較小數(shù)【和倍問題公式】和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

和－小數(shù)=大數(shù)【差倍問題公式】差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)

小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)

小數(shù)＋差=大數(shù)【平均數(shù)問題公式】總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)。關(guān)鍵問題

求出同一條件下的和與差

和與倍數(shù)

差與倍數(shù)和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式①(和－差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)＋差=較大數(shù)和－較小數(shù)=較大數(shù)②(和＋差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)－差=較小數(shù)和－較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)＋差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)十三、方陣問題：1．方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）2．方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋13．方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多8（每邊多2）4．去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－15方陣最外層總?cè)藬?shù)=（最外層每邊人數(shù)－1）×4十四、【求分率、百分率問題的公式】比較數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=比較數(shù)的對應(yīng)分（百分）率；增長數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=增長率；

減少數(shù)÷標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=減少率。

或者是

兩數(shù)差÷較小數(shù)=多幾（百）分之幾（增）；

兩數(shù)差÷較大數(shù)=少幾（百）分之幾（減）。十五、【增減分（百分）率互求公式】

增長率÷（1+增長率）=減少率；

減少率÷（1-減少率）=增長率。十六、【求比較數(shù)應(yīng)用題公式】

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×分（百分）率=與分率對應(yīng)的比較數(shù)；

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×增長率=增長數(shù)；

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×減少率=減少數(shù)；

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×（兩分率之和）=兩個(gè)數(shù)之和；

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×（兩分率之差）=兩個(gè)數(shù)之差。

十七、【求標(biāo)準(zhǔn)數(shù)應(yīng)用題公式】

比較數(shù)÷與比較數(shù)對應(yīng)的分（百分）率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；

增長數(shù)÷增長率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；

減少數(shù)÷減少率=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；

兩數(shù)和÷兩率和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；

兩數(shù)差÷兩率差=標(biāo)準(zhǔn)數(shù)；

十八、【利率問題公式】利率問題的類型較多，現(xiàn)就常見的單利、復(fù)利問題，介紹其計(jì)算公式如下。

（1）單利問題：

本金×利率×?xí)r期=利息；

本金×（1+利率×?xí)r期）=本利和；

本利和÷（1+利率×?xí)r期）=本金。

年利率÷12=月利率；

月利率×12=年利率。

（2）復(fù)利問題：

本金×（1+利率）存期期數(shù)=本利和。

例如，“某人存款2400元，存期3年，月利率為10．2‰（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”

解（1）用月利率求。

3年=12月×3=36個(gè)月

2400×（1+10．2％×36）

=2400×1．3672

=3281．28（元）

（2）用年利率求。

先把月利率變成年利率：

10．2‰×12=12．24％

再求本利和：

2400×（1+12．24％×3）

=2400×1．3672

=3281．28（元）十九、、利潤與折扣問題

利潤＝售出價(jià)－成本

利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價(jià)÷成本－1)×100%

漲跌金額＝本金×漲跌百分比

折扣＝實(shí)際售價(jià)÷原售價(jià)×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×?xí)r間

稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－5%)小學(xué)數(shù)學(xué)利潤應(yīng)用題解題公式一、名詞解釋

進(jìn)價(jià)：指商店做買賣買進(jìn)來是多少錢。又叫進(jìn)貨成本價(jià)、拿貨批發(fā)價(jià)。進(jìn)價(jià)包括每件商品的進(jìn)價(jià)，進(jìn)貨數(shù)量×每件單價(jià)=總進(jìn)價(jià)。

售價(jià)：每件商品的售出價(jià)，商店又習(xí)慣叫定價(jià)。每件商品明碼標(biāo)出的零售價(jià)叫單位售價(jià)，一批賣出很多可以計(jì)算總售價(jià)。

利潤：又叫進(jìn)銷差價(jià)，售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤。銷售一件商品叫單位利潤（指每件零售價(jià)-每件進(jìn)貨價(jià)），銷售很多件商品叫總利潤，指（每件零售價(jià)-每件進(jìn)貨價(jià)）×銷售數(shù)量

利潤率：利潤÷進(jìn)價(jià)×100%

二、基本公式（標(biāo)注為紅色）

不要記那么多公式，都是變形的。只記最主要的基本公式。（如每件1元買進(jìn)來，1.20元賣出去，每件的利潤則為0.20）

售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤

1.20-1.00=0.20

進(jìn)價(jià)+利潤=售價(jià)

1.00+0.20=1.20

售價(jià)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤率）

1.00×（1+20%）=1.20

利潤=進(jìn)價(jià)×利潤率

1.00×20%

=0.20總進(jìn)價(jià)=銷售數(shù)量×單位進(jìn)價(jià)

100×1.00=100元

總售價(jià)=銷售數(shù)量×單位售價(jià)

100×1.20=120元

總利潤=銷售數(shù)量×單位利潤

100×0.20=

20元

利潤率=利潤/進(jìn)價(jià)

=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)=0.20÷1.00=20%

說明：①利潤率中的“率”字，是比率的意思，用%號表示。

②在日常計(jì)算中，為圖簡便，習(xí)慣用百位或十位小數(shù)如0.1，0.01等表示，最后得出結(jié)果再變成百分?jǐn)?shù)%。

③利潤率是利潤與進(jìn)價(jià)的比率。

三、打折公式

商店為了促銷，調(diào)整商品的單位售價(jià)叫打折。一般進(jìn)了貨之后，把售價(jià)先定得高一些，過一段時(shí)間滯銷不好賣了再打折，以迎合顧客的心理。（折扣率如75%即七五折）

原售價(jià)×折扣率=打折后的售價(jià)

打幾折＝（新售價(jià)÷原售價(jià)）×100%

折扣＜1

折扣率=(1+打折后的新利潤率)÷(1+打折前的老利率）四、商品損耗公式

購進(jìn)商品（運(yùn)輸）損耗=購進(jìn)總價(jià)×購進(jìn)損耗率

商品銷售損耗

=銷售總價(jià)×銷售損耗率五、運(yùn)費(fèi)公式

每千克運(yùn)費(fèi)=路程（千米）×{（每噸每千米運(yùn)費(fèi)）÷1000}六、漲跌金額公式：

商品漲跌總金額＝（售價(jià)變動前的銷售單價(jià)×漲跌百分比）×銷售數(shù)量七、銷售單件商品利潤率（同前述“利潤率”）八、銷售多件商品利潤率=（銷售數(shù)量×單位利潤）÷（銷售數(shù)量×單位進(jìn)價(jià)）=總利潤÷總進(jìn)價(jià)

總進(jìn)價(jià)（銷售數(shù)量×單位單價(jià)）100100×1.00=100元

總售價(jià)（銷售數(shù)量×單位單價(jià)）120100×1.20=120元總利潤（即總進(jìn)銷差價(jià)）（銷售數(shù)量×單位利潤）20100×0.20=20元

利潤率（進(jìn)銷差價(jià)率）

20%

20÷100×100%=20%九、舉例：

某商場按每臺5000元的價(jià)格進(jìn)了80臺電腦，第一個(gè)月按20%的利潤定價(jià)出售，共賣出50臺；第二個(gè)月按第一個(gè)月定價(jià)的75%全部售完。這批電腦共贏利多少元？

已知條件：單位單價(jià)5000/臺；進(jìn)貨總數(shù)量80臺；分兩批銷售共80臺

①第一個(gè)月每件零售定價(jià)：

5000元/臺×（1+20%）=6000元/臺

②第一個(gè)月總售價(jià)：

50×6000/臺=300000元

③第二個(gè)月每件零售定價(jià)：

6000/臺×75%=4500元/臺

④第二個(gè)月總售價(jià)：

（80-50）×4500/臺=1=35000

⑤兩個(gè)月賣出的總售價(jià)：

300000+135000=435000元

⑥總進(jìn)價(jià)80×5000/臺=400000元

⑦總利潤：435000-400000=35000元二十、比例應(yīng)用題公式

比例尺=圖上距離÷實(shí)際距離

圖上距離=實(shí)際距離*比例尺

實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺

積一定，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成反比例；

商一定，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例

時(shí)間一定，速度之比=路程之比

速度一定，時(shí)間之比=路程之比

路程一定，速度之比=時(shí)間之比在反比二十一、容斥原理1．關(guān)鍵提示：容斥原理關(guān)鍵內(nèi)容就是兩個(gè)公式，考生只要把這兩個(gè)公式靈活掌握就可全面應(yīng)對此類題型。另外在練習(xí)及真考的過程中，請借助圖例將更有助于解題。2．核心公式：（1）兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C例題1：2004年真題某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是()。A．22B．18C．28D．26解析：設(shè)A＝第一次考試中及格的人（26），B＝第二次考試中及格的人（24）顯然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，則根據(jù)公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22所以，答案為A。例題2：2004年山東真題某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有（）人A.57B.73C.130D.69解析：設(shè)A＝會騎自行車的人（68），B＝會游泳的人（62）顯然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，則根據(jù)公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57所以，答案為A。例題3：電視臺向100人調(diào)查前一天收看電視的情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過。兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？解析：設(shè)A＝看過2頻道的人（62），B＝看過8頻道的人（34）顯然，A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝兩個(gè)頻道都看過的人（11）則根據(jù)公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85所以，兩個(gè)頻道都沒有看過的人數(shù)＝100－85＝15所以，答案為15。例題4：2005年真題對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有：A．22人B．28人C．30人D．36人解析：設(shè)A＝喜歡看球賽的人（58），B＝喜歡看戲劇的人（38），C＝喜歡看電影的人（52）A∩B＝既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人（18）B∩C＝既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人（16）A∩B∩C＝三種都喜歡看的人（12）A∪B∪C＝看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種（100）根據(jù)公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜歡看電影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22二十二、抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:

①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解知識點(diǎn)：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。二十三、握手問題假設(shè)有n個(gè)人去握手第1個(gè)人需要握手n-1次第2個(gè)人需要握手n-2次第3個(gè)人需要握手n-3次。。。。第n-2個(gè)人需要握手2次第n-1個(gè)人需要握手1次最后一個(gè)不需要握手共需要(n-1)+(n-2)+(n-3)+.....+2+1+0=n(n-1)/2二十四、裝卸工問題一個(gè)車隊(duì)有三輛汽車，擔(dān)負(fù)著五家工廠的運(yùn)輸任務(wù)，這五家工廠分別需要7、9、4、10、6名裝卸工，共計(jì)36名。如果安排一部分裝卸工跟車裝卸，則不需要那么多裝卸工，而只需要在裝卸任務(wù)較多的工廠再安排一些裝卸工就能完成裝卸任務(wù)，那么在這種情況下，總共至少需要（）名裝卸工才能保證各廠的裝卸需求。A.26 B.27 C.28 D.29［解析］典型裝卸工問題，將最大的三個(gè)數(shù)相加7＋9＋10＝26即可。選擇A?！把b卸工問題核心公式”：如果有M輛車和N（N≥M）個(gè)工廠，所需最少裝卸工的總數(shù)就是需要裝卸工人數(shù)最多的M個(gè)工廠所需的裝卸工人數(shù)之和。六年級數(shù)學(xué)難題兩袋大米共重120千克，從甲袋取出20%，乙袋取出3分之1，這時(shí)甲袋剩下的大米是原來兩袋重量的2分之1.從乙袋取出大米多少千克？解:這時(shí)甲袋剩下的大米是原來兩袋重量的2分之1即甲袋還剩下120*1/2=60

從甲袋取出20%

那么原來甲袋有60/(1-20%）=75

原來共重120

那么原來乙袋是120-75=45

乙袋取出1/3

即45/3=15得解

答從乙袋取出大米15千克小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)及公式總匯1．和差倍問題 22．年齡問題的三個(gè)基本特征：3．歸一問題的基本特點(diǎn)：4．植樹問題5．雞兔同籠問題6．盈虧問題 37．牛吃草問題8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律9．平均數(shù)10．抽屜原理 411．定義新運(yùn)算12．?dāng)?shù)列求和13．二進(jìn)制及其應(yīng)用 514．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)15．質(zhì)數(shù)與合數(shù) 616．約數(shù)與倍數(shù)17．?dāng)?shù)的整除 718．余數(shù)及其應(yīng)用19．余數(shù)、同余與周期20．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 821．分?jǐn)?shù)大小的比較 922．分?jǐn)?shù)拆分23．完全平方數(shù)24．比和比例 1025．綜合行程26．工程問題27．邏輯推理 1128．幾何面積29．立體圖形30．時(shí)鐘問題—快慢表問題 1231．時(shí)鐘問題—鐘面追及32．濃度與配比33．經(jīng)濟(jì)問題 1333．經(jīng)濟(jì)問題34．簡單方程35．不定方程36．循環(huán)小數(shù) 14和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式①(和－差)÷2=較小數(shù)較小數(shù)＋差=較大數(shù)和－較小數(shù)=較大數(shù)②(和＋差)÷2=較大數(shù)較大數(shù)－差=較小數(shù)和－較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和－小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)＋差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2．年齡問題的三個(gè)基本特征：①兩個(gè)人的年齡差是不變的；②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3．歸一問題的基本特點(diǎn)：問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4．植樹問題基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公式棵數(shù)=段數(shù)＋1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)－1棵距×段數(shù)=總長棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5．雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；基本思路：①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑孩侔阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。6．盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量．基本題型：①一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差②當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差③當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7．牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L量=（較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長時(shí)間-短時(shí)間）；總草量=較長時(shí)間×長時(shí)間牛頭數(shù)-較長時(shí)間×生長量；8．周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；平年：一年有365天。①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；9．平均數(shù)基本公式：①平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)＋每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù)基本算法：①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②10．抽屜原理抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有:①k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。②k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。理解知識點(diǎn)：[X]表示不超過X的最大整數(shù)。例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11．定義新運(yùn)算基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號，這個(gè)新的運(yùn)算符號包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。注意事項(xiàng)：①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。12．?dāng)?shù)列求和等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示．基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式：an=a1+（n－1）d；通項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)一1)×公差；數(shù)列和公式：sn,=(a1+an)×n÷2；數(shù)列和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+a1)÷d＋1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差＋1；公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)－1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13．二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用0～9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用0～1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。14．加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+m2.......+mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2.......×mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟。基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長度。①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)＝1+2+3+…+（點(diǎn)數(shù)一1）；②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數(shù)一1）；③數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長的線段數(shù)×寬的線段數(shù)：④數(shù)長方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+…+行數(shù)×列數(shù)

15．質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1<a2<a3<……<an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16．約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；18的倍數(shù)有：18、36、54、72……；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作[12，18]=36；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17．?dāng)?shù)的整除一、基本概念和符號：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因?yàn)榉枴啊摺?，所以的符號“∴”；二、整除判斷方法?.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5.能被7整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6.能被11整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7.能被13整除：①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)：1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18.余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：①余數(shù)小于除數(shù)。②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19．余數(shù)、同余與周期一、同余的定義：①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod

m)，讀作a同余于b模m。二、同余的性質(zhì)：①自身性：a≡a(modm)；②對稱性：若a≡b(modm)，則b≡a(modm)；③傳遞性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，則a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，則a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，則an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整數(shù)c，則a×c≡b×c(modm×c)；三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：①一個(gè)自然數(shù)M，n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod9)或（mod3）；②一個(gè)自然數(shù)M，X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；五、費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(modp)。20．分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。②對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21．分?jǐn)?shù)大小的比較基本方法：①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22.分?jǐn)?shù)拆分