2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.已知拋物線頂點(diǎn)(2,-1),經(jīng)過點(diǎn)(0,3),且與直線y=x-1交于B

兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若在拋物線上恰好存在三點(diǎn)0,M,N,滿足S@B=SNAB=SMIB=S，求S的值；

(3)在8之間的拋物線弧上是否存在點(diǎn)尸滿足N/P8=90°?若存在，求點(diǎn)P的橫

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2—2

(坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M(xi，yi),N(X2,y2)之間的距離MN=(xx-x2)+(yiVz))

解：(1):拋物線的頂點(diǎn)為(2,-1)

.,.頂點(diǎn)式為夕=4(X-2)2-1

?拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)

：.4a-1=3

解得：a—1

.?.拋物線的解析式為^=(x-2)2-1=？-4x4-3

⑵戛=’一敘+3x=4

解得:02

ly=x-1%=3

：.A(1,0),B(4,3)

；.4B=V(4-l)2+32=3V2

設(shè)直線y=x-1與y軸交于點(diǎn)E,則E(0,-1)

：.OA=OE=\

\N/￡O=45°

:S&QAB=S&MAB=S&NAB=S

?.點(diǎn)。、M,N到直線的距離相等

如圖，假設(shè)點(diǎn)”、N在直線Z8上方，點(diǎn)。在直線下方

MN//AB時(shí)，總有SAMAB=S&NAB=S

要使只有一個(gè)點(diǎn)Q在直線AB下方滿足SAQAB=S,則Q到AB距離必須最大

過點(diǎn)。作QC〃y軸交于點(diǎn)C，紗_L/8于點(diǎn)。

AZC￡>0=90°,ZDCQ=ZAEO=45°

：.XCDQ是等腰直角三角形

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：.DQ=苛C°

設(shè)0(/,?-4/+3)(l<r<4),則C(6t-1)

^.CQ=t-1-(P-4/+3)=-e+5(-4=-(/-|)2+1

q9

?7=5時(shí)，C0最大值為:

z4

u-、*9972

:.DQ取大值為三x-=—^―

??S=S^,QAB—^AB*DQ=x3A/2x—名

(3)存在點(diǎn)P滿足NZP8=90°.

VZAPB=90°,AB=3近

：.AP2+BP2=AB2

設(shè)尸(p,/一刎?)(i<p<4)

?,?44=(p-1)2+(/-劭+3)2=/-8P3+23/-26p+10,8尸=(p-4)2+(/-4P+3

-3)2=/-8/?3+17p2-8/7+16

：.p4-8/?+23/-26p+10+p4-8夕3+17,2-即+16=(3V2)2

整理得：p4-Sp3+20p2-17p+4=0

/(/-助+16)+4/-17p+4=0

p2(p-4)2+(4/7-1)(p-4)=0

(p-4)[p2(p-4)+(4p-1)]=0

Vp<4

：.p-4W0

；?p2(p-4)+(4p-1)=0

展開得：p'-4/?2+4夕-1=0

(p3-1)-(4p2-4p)=0

(p-1)(p2+p+l)-4夕(p-1)=0

(p-I)(p2+p+l-4p)=0

\>>1

：.p-1^0

；?p2+p+l-4P=0

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解得：pi=3)5,p2=32V5(舍去)

.?.點(diǎn)0橫坐標(biāo)為等時(shí),滿足/立8=90。.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的解析式為y=-x,直線/2與/1交于點(diǎn)/(。，-。)

與y軸交于點(diǎn)8(0,b),其中a,6滿足(a+2)2+VF^3=0

(1)求直線/2的解析式；

(2)若在第二象限中有一點(diǎn)尸(m,5)使得S^QP=S“OB，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)已知直線y=2r-2分別交x軸、y軸于E、F兩點(diǎn),M、N分別是直線人、〃上的

動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出能使￡、F、M、N四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo).

解：(1)(a+2)2+Vb^3=0,則a=-2,b=3,

即點(diǎn)/、8的坐標(biāo)分別為(-2,2)、(0,3),

1

將點(diǎn)從的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式一=2〃得：生產(chǎn)+解得

5n,m=2,

n=3

故直線h的表達(dá)式為：y=3+3；

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在。4上方時(shí)，

SMOP=SMOB，則點(diǎn)P在過點(diǎn)B且平行于OA的直線上,

該直線的表達(dá)式為：y=-x+3,

將點(diǎn)P坐標(biāo)代入上式得：5=-加+3,

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解得：，〃=-2,

故點(diǎn)尸（-2,5）；

②當(dāng)點(diǎn)尸在04下方時(shí)，

同理可得：點(diǎn)P（-8,5）；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,5）或（-8,5）；

（3）直線y=2x-2分別交x軸、y軸于E、F兩點(diǎn),則點(diǎn)￡、F的坐標(biāo)分別為：（1,0）、

1

,一〃+3),

2

①當(dāng)瓦1是平行四邊形的一條邊時(shí),

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方時(shí),

點(diǎn)E向左平移1個(gè)單位向下平移2個(gè)單位得到F,

則點(diǎn)M左平移1個(gè)單位向下平移2個(gè)單位得到N,

即：m=n-1>-m—,

解得：m=-1,故點(diǎn)M（-l,1）；

當(dāng)點(diǎn)M■在點(diǎn)N的下方時(shí),

同理可得：點(diǎn)M（-3,3）；

②當(dāng)EF是平行四邊形的對角線時(shí)，

1

由中點(diǎn)公式得：加+〃=1,-加+y+3=-2,

解得：m=￥，則點(diǎn)A/—￥）,

綜上，點(diǎn)"坐標(biāo)為：（-1,1）或（-3,3）或（學(xué)一號）,

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3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/是y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0,6）,點(diǎn)8在x軸的正半軸上.點(diǎn)

P,。均在線段上，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)，點(diǎn)0的橫坐標(biāo)大于機(jī)，在中，若PM

〃x軸，0M〃y軸，則稱△尸0”為點(diǎn)尸，0的''肩三角形.

（1）若點(diǎn)8坐標(biāo)為（4,0）,且機(jī)=2,則點(diǎn)P,8的“肩三角形”的面積為1；

（2）當(dāng)點(diǎn)P,。的“肩三角形”是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，作過。，P,8三點(diǎn)的拋物線^=G2+云+。

①若“點(diǎn)必為拋物線上一點(diǎn)，求點(diǎn)P,。的“肩三角形”面積S與加之間的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出自變量〃?的取值范圍.

②當(dāng)點(diǎn)P,。的“肩三角形”面積為3,且拋物線=/+6x+c與點(diǎn)尸，。的“肩三角形”

恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出機(jī)的取值范圍.

解：（1）如圖1,,：A（0,6）,B（4,0）,

直線AB解析式為產(chǎn)—|x+6

?.加=2

：.P（2,3）

：PA/〃x軸，0/〃y軸，

：.M（4,3）,NPMB=90°

：.PM=2,BM=3

...點(diǎn)尸，8的“肩三角形”的面積=力弘創(chuàng)/=/x2X3=3；

（2）如圖2,根據(jù)題意，得MP=MQ,ZPMQ=90°,

：.ZMPQ=45°,

：.ZABO=45°,

：.OB=OA=6,

，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,0）；

（3）如圖3,①首先，確定自變量取值范圍為0<m<3,

由（2）易得，線段的表達(dá)式為y=6-x,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（〃?，6-加，

拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O,8兩點(diǎn)，

拋物線的對稱軸為直線x=3,

.,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6-團(tuán)，6-機(jī)），

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?,.PM=（6-〃？）-〃?=6-2m,

S=1PA/2=1X（6-2m）2=2〃』-12〃?+18；

②當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)，即機(jī)＜3時(shí)，：點(diǎn)P,。的''肩三角形”面積為3,

由①得：2m2-I2m+18=3,

解得：〃?=3-乎

當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸上或?qū)ΨQ軸右側(cè)，即加》3時(shí)，PM=V6

/.A/（加+通,6-加），Q（加+傷,6—V6—m）

:拋物線=如2+瓜+。與點(diǎn)尸，。的“肩三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)

UM.…解得：3W洲這6

綜上所述，的取值范圍為：，〃=3—坐或—遍.

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4.如圖，N8是OO的直徑，點(diǎn)C是?0上一點(diǎn)(與點(diǎn)48不重合)，過點(diǎn)C作直線尸。,

使得N/C0=//8C.

(1)求證：直線尸。是。。的切線.

(2)過點(diǎn)/作/O_LP。于點(diǎn)O,交。。于點(diǎn)E,若。。的半徑為2,smADAC=求

圖中陰影部分的面積.

解：(1)證明：如圖，連接OC,

?.18是的直徑，

AZJC5=90°,

"：OA=OC,

:.NCAB=NACO.

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Q

'：4C0=ZABC,、----/

：.ZCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90°,即OC_L尸。,

二直線P0是。。的切線.

(2)連接0E,

VsinZZ)^C=1,ADYPQ,

：.ZDAC=30Q,NACD=60°.

：.ZABC=ZJCD=60°,

：.ZCAB=90Q-60°=30°,

AZEAOZDAC+ZCAB^60Q,

y."：OA^OE,

.?.△/E。為等邊三角形，

AZAOE=60°.

:.S陰影=S扇形-S^AEO

=Sm-^OA-OE-sm600

=f§Ux22-lx2X2xT

=竽-技

二圖中陰影部分的面積為弓-V3.

5.如圖，在△/8C中，N/C8=90°,將△Z8C沿直線翻折得到連接CA交

于點(diǎn)E是線段CN上的點(diǎn)，連接8E.尸是△8DE的外接圓與/力的另一個(gè)交點(diǎn)，

連接EF,BF.

(1)求證：ABEF是直角三角形；

(2)求證：LBEFSABCA；

(3)當(dāng)48=6,8C=m時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)E,使得E尸和力8互相平分，求機(jī)的

值.

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備用圖

(1)證明：???N/C8=90°,將△45C沿直線45翻折得到△力8。,

/.ZADB=ZACB=90°,

VZEFB=ZEDB,/EBF=/EDF,

JNEFB+/EBF=/EDB+ZEDF=NADB=90°,

:?/BEF=90°,

???△6EF是直角三角形.

(2)證明："：BC=BD,

:?/BDC=/BCD,

*：/EFB=/EDB,

:?/EFB=/BCD,

*：AC=AD,BC=BD,

：.ABA.CD9

：.ZAMC=90°,

'/ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90Q,

/.ZBCD=ZCAB,

:?/BFE=/CAB,

VZACB=ZFEB=90°,

J△BEFs^BCA.

(3)解：設(shè)EF交4B于J.連接力E.

YE尸與48互相平分，

，四邊形AFBE是平行四邊形,

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?/EE4=NFEB=90°,BPEF1AD,

9：BD±AD,

C.EF//BD,

?：AJ=JB,

：.AF=DF,

:.FJ=^BD=y,

**?EJF=m,

:?BC：MB=AB：BC,

租2

：.BM=*,

o

?:△BEJsABME,

:.BE：BM=BJ：BE,

，如修

/XBEF^/XBCA,

.ACBC

??,

EFBE

V36-m2m

即ai--------=H，

m衣

解得機(jī)=2次（負(fù)根已經(jīng)舍棄）.

6.如圖1,已知四邊形/8CQ是菱形，G是線段CD上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接8G交/C于尸,

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過尸作FH〃CD交BC于H,可以證明結(jié)論成立.(考生不必證明)

ABBG

(1)探究：如圖2,上述條件中，若G在CO的延長線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是

否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

(2)計(jì)噂：若菱形48CD中N8=6,ZADC=60°,G在直線CZ)上，且CG=16,連

接8G交ZC所在的直線于凡過E作FH〃CO交8c所在的直線于“，求8G與fG的

長.

⑶發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)G在直線。上時(shí)，結(jié)論魯=得還成立嗎?

FHFG

【解答】解：⑴結(jié)論布=茄成立

證明：由已知易得F"〃力8,

.FHHC

??—,

ABBC

HCFG

?：FH〃GC,—

BCBG

.FHFG

??布一啟

(2)YG在直線C。上，

???分兩種情況討論如下：

①G在CQ的延長線上時(shí)，0G=10,

如圖1,過5作_LCD于°,

由于四邊形力8c。是菱形，ZADC=60°,

:,BC=AB=6,NBCQ=60°,

:?BQ=35CQ=3,

:?BG=192+(3V3)2=2V97.

一,FHBH

又由打/〃GC,可得獲=

BC

而△€*切是等邊三角形,

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:.BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,

.FH__6—FH

*16-6

."〃=黑,

pHFG

由（1）知一=

ABBG’

FHBG

：.FG=

AB

②G在。。的延長線上時(shí)，CG=16,

如圖2,過月作30_LCG于0,

???四邊形48c。是菱形，ZADC=60°,

:?BC=AB=6,NBCQ=60°.

:?BQ=3陋,CQ=3.

:?BG=Jl32T(375)2=14.

,_,°FHBH

又由尸〃〃CG,可得二7二本，

GCBC

.FHBH

**166,

?；BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

:?FH=

■:FH//CG,

BFFH

BGCG

,_.48,［右42

?n?BF=114x-g—H16=-g-.

?“一i八42112

..FG_i4+_=_

FH488

⑶G在DC的延長線上時(shí)，而一+6=一,

55

FG_1128

一+14=一,

BG~55

■FHFG

=成立?

ABBG

FHPC

結(jié)合上述過程，發(fā)現(xiàn)G在直線。上時(shí)，結(jié)論方=正還成立.

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H

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OBLOA,且08=204,點(diǎn)/的坐標(biāo)是(-1,2)