2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷01）（全解全析）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考I卷）·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內(nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知全集，集合，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式得集合，求值域得集合，然后由集合的運算法則計算．【詳解】因為，，或，所以故選：D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則和模的定義即可求出復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義即可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以，故選：A.3．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性和賦值即可判斷選項.【詳解】由，可知是奇函數(shù)，且定義域為，排除BD；當(dāng)時，，排除A.故選：C4．已知是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項和，設(shè)甲：數(shù)列是遞增數(shù)列，乙：對任意，均有，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】利用定義法直接判斷【詳解】充分性：因為數(shù)列是遞增數(shù)列，取數(shù)列為：，，，符合數(shù)列為無窮等差數(shù)列，且是遞增數(shù)列，但，故充分性不滿足；必要性：因為對于任意的，均有，所以得，又因為數(shù)列為無窮等差數(shù)列，所以公差大于零，所以可得數(shù)列為遞增數(shù)列，故必要性滿足.綜上所述：甲是乙的必要不充分條件，故B項正確.故選：B.5．己知函數(shù)在上有個零點，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，可得函數(shù)零點，進(jìn)而可得的最值.【詳解】由，令，解得，，或，或，，又，所以函數(shù)的零點從小到大依次為，，，，，，又函數(shù)在上有個零點，所以，即的最大值為，故選：A.6．已知為坐標(biāo)原點，分別是橢圓的左頂點?上頂點和右焦點點在橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】表示出坐標(biāo)，由，可得，求解即可.【詳解】令中，則，所以．因為，所以，則，即，所以．故選：D.

7．已知，是方程的兩個實數(shù)根，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可求出和的值，將中與表示為，，然后利用兩角和差的正余弦公式展開后，化為齊次式求值即可.【詳解】因為，是方程的兩個實數(shù)根，所以，，因為.故選：D8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，代入數(shù)值，可得答案.【詳解】設(shè)函數(shù)，因為上，上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．令，則．設(shè)函數(shù)，因為上，上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以，即，所以．綜上可得：．故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知一組樣本數(shù)據(jù)，其中為正實數(shù).滿足，下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為B．去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C．若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于中位數(shù)D．樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于80【答案】BCD【分析】A應(yīng)用百分位數(shù)的求法判斷；B去掉數(shù)據(jù)為，結(jié)合極差定義判斷；C根據(jù)“拖尾”圖分析即可；D應(yīng)用方差公式分析判斷.【詳解】A：，故第50百分位數(shù)為，錯；B：若去掉的數(shù)據(jù)為，則數(shù)據(jù)的極差不變，對；C：數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位數(shù)，同理，向“左拖”時最高峰偏右，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，對；D：由，則，所以，故這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于，對.故選：BCD10．如圖，有一組圓都內(nèi)切于點，圓，設(shè)直線與圓在第二象限的交點為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心都在直線上B．圓的方程為C．若圓與軸有交點，則D．設(shè)直線與圓在第二象限的交點為，則【答案】ABD【分析】求出連心線所在直線方程判斷A；求出圓的方程判斷B；求出圓的圓心到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合直線與圓相交判斷C；求出點的縱坐標(biāo)判斷D.【詳解】圓的圓心，直線的方程為，即，由兩圓內(nèi)切連心線必過切點，得圓的圓心都在直線上，即圓的圓心都在直線上，A正確；顯然，設(shè)點，則，而，解得，因此圓的圓心，半徑為，圓的方程為，則圓的方程為，B正確；圓的圓心到y(tǒng)軸距離為，若圓與軸有交點，則，解得，而，因此，C錯誤；在中，令，得點的縱坐標(biāo)為，因此，D正確．故選：ABD11．已知函數(shù)的定義域為是奇函數(shù)，分別是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)的奇函數(shù)性質(zhì)，得出解析式并求導(dǎo)即得A項正確,結(jié)合解析式，求導(dǎo)后比較兩式即得B項錯誤，運用函數(shù)的軸對稱特征式計算即得C項正確，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性即得D項正確.【詳解】對于A選項，因是奇函數(shù)，故有則，故A項正確；對于B選項，因故，從而，而，則，故B項錯誤；對于C選項，因，故的圖象關(guān)于直線對稱，故C項正確；對于D選項，因的圖象關(guān)于直線對稱，故設(shè)則又設(shè)則有從而在上遞增，則即在上遞增，，故有恒成立，則，又因在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又，故即：故D項正確.故選：ACD.12．已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，分別為圖象的最高點和最低點，過作軸的垂線，交軸于，點為該部分圖象與軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時，則下列四個結(jié)論正確的有（

）A．B．C．圖2中，D．圖2中，是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于【答案】AC【分析】在圖2中，以點為坐標(biāo)原點，、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出的值，即可判斷A；結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷B；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可判斷C；求出，結(jié)合扇形的面積公式可判斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，在圖2中，以點為坐標(biāo)原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則點、，，因為，解得，故A正確；所以，，則，可得，又因為函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，故B錯誤；因為，可得，又因為點是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離軸最近的最高點，則，可得，所以，，因為點是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個對稱中心，所以，，可得，翻折后，則有、、、，所以，，，所以，在圖2中，，故C正確；在圖2中，設(shè)點，，可得，，，，易知為銳角，則，所以，區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，故區(qū)域的面積，故D錯誤.故選：AC第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若將5名志愿者安排到三個學(xué)校進(jìn)行志愿服務(wù)，每人只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少去一人，則不同的分配方案共有種．（用數(shù)字作答）【答案】150【分析】分三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為或兩種情況，求出對應(yīng)的方案數(shù)，相加即可.【詳解】由題意得，三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為或，當(dāng)三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為時，分配方案有種，當(dāng)三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為時，分配方案有種，綜上，不同的分配方案有種.故答案為：15014．等差數(shù)列中的是函數(shù)的極值點，則.【答案】/【分析】先由題意求出，再利用等差中項求出，最后利用對數(shù)的運算法則即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以是方程的兩根，所以，因為是等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：.15．在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面，若P，A，B，C四點都在表面積為的球的球面上，則三棱錐的體積為．【答案】/【分析】由題意確定三棱錐外接球球心位置，根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，即可求得PA的長，利用三棱錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)為正的中心，M為的中點，過點作平面的垂線l，由于平面，故，在確定的平面內(nèi)作，垂足為O，則四邊形為矩形，連接，則，故，則O即為三棱錐外接球的球心，因為P，A，B，C四點都在表面積為的球的球面上，設(shè)外接球半徑為R，故，是邊長為2的等邊三角形，故,故，所以三棱錐的體積，故答案為：16．如圖，在中，，，CD與BE交于點P，，，，則的值為；過點P的直線l交AB，AC于點M，N，設(shè)，（，），則的最小值為.【答案】2【分析】選取向量為基底，把用基底表示出來，再求出數(shù)量積即可；用表示出，再利用共線向量的推論結(jié)合基本不等式求出最小值．【詳解】在中，，，設(shè)，則，由三點共線，得，解得，因此，因為，，，于是，解得；因為，，，則有，而三點共線，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足.(1)求角的大?。?2)若，邊上的中線的長為，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系及三角恒等變換可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求的大小；（2）由余弦定理可得，根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積的運算律有，聯(lián)立所得方程求得，最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.【詳解】（1）由已知及正弦定理得，則，在中，故，又，故.（2）由，得，由題意，則，即，解得，故的面積為.

18．（12分）在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）化簡得，即可證明；（2）應(yīng)用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）令，得，則．因為①，所以②．①-②得，即．因為，所以數(shù)列為常數(shù)列．（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，所以．因為，所以③，④．③-④得，所以．19．（12分）某單位組織“鄉(xiāng)村振興”知識競賽，有甲、乙兩類問題.每位參加比賽的選手先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該選手比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.甲類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分；乙類問題中的每個問題回答正確得50分，否則得0分.已知選手張某能正確回答甲類問題的概率為0.9，能正確回答乙類問題的概率為0.7，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若選甲、乙兩類問題是等可能的，求張某至少答對一道問題的概率；(2)如果答題順序由張某選擇，以累計得分多為決策依據(jù)，說明張某應(yīng)選擇先回答哪類問題.【答案】(1)(2)應(yīng)選擇先回答甲類問題【分析】（1）根據(jù)全概率公式，先求得張某一題都沒答對的概率，從而求得張某至少答對一道問題的概率.（2）根據(jù)張某先回答甲類或乙類問題進(jìn)行分類討論，計算出兩者累計得分的期望值，從而作出決策.【詳解】（1）設(shè)“張某選擇甲類問題”，“張某答對所選問題”，“張某至少答對一道問題”，“張某選擇乙類問題”，“張某未答對所選問題”“張某一道問題都沒答對”由題意得，，，，，，由全概率公式，得∴.（2）根據(jù)條件可知：若張某先回答甲類問題，則張某的累計得分X的可能值為0，30，80，∵張某能正確回答甲類問題的概率為0.9，能正確回答乙類問題的概率為0.7，∴；；，則的分布列為030800.10.270.63當(dāng)張某先回答甲類問題時，累計得分的期望為：，若張某先回答乙類問題，則張某的累計得分的可能值為，同理可求；；，則此時累計得分的期望為，因為.所以，以累計得分多為決策依據(jù)，張某應(yīng)選擇先回答甲類問題．20．（12分）已知拋物線的焦點為，且經(jīng)過點.(1)求拋物線C方程及其準(zhǔn)線方程；(2)過作斜率不為0的直線交拋物線于兩點，直線分別交于兩點，求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點.【答案】(1)，準(zhǔn)線方程為(2)證明見解析【分析】（1）直接將點代入求得參數(shù)即可得解.（2）設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理有，將兩點的坐標(biāo)也用含的式子表示，再利用即可得解.【詳解】（1）因為點在上，所以，解得，所以的方程為，準(zhǔn)線方程為.（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)點，則.直線的方程為，令，得，所以，同理得，設(shè)以線段為直徑的圓與軸的交點為，則，因為，則，即，所以，解得或.故以線段為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點和.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）記的中點為，若在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.【分析】（Ⅰ）連接，由勾股定理證得，由等腰三角形得性質(zhì)證得，再結(jié)合線面垂直得判定定理即可得證；（Ⅱ）建立如圖所示得空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，再由空間向量的夾角公式求出余弦值，進(jìn)而根據(jù)同角的平方關(guān)系