2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷02）（考試版A3）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考I卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．2 D．12．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．某戲曲學(xué)院圖書(shū)館藏有四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對(duì)《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書(shū)館決定購(gòu)買(mǎi)一批《牡丹亭》戲曲書(shū)籍（其他三部數(shù)量保持不變）若干本．若要保證購(gòu)買(mǎi)后在該戲曲學(xué)院圖書(shū)館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書(shū)籍的概率不小于0.6，則該戲曲學(xué)院圖書(shū)館需至少購(gòu)買(mǎi)《牡丹亭》戲曲書(shū)籍（

）A．25本 B．30本 C．35本 D．40本4．某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)該設(shè)備過(guò)濾后排放，以減少對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過(guò)濾時(shí)間（單位：）的關(guān)系為（，是正常數(shù)）.若經(jīng)過(guò)過(guò)濾后減少了的污染物，在此之后為了使得污染物減少到原來(lái)的還需要的時(shí)長(zhǎng)大約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，P為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（

）A． B．3 C． D．6．法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉用三角函數(shù)詮釋美妙音樂(lè)，代表任何周期性聲音和震動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式都是形如的簡(jiǎn)單正弦型函數(shù)之和，這些正弦型函數(shù)各項(xiàng)的頻率是最低頻率的正整數(shù)倍（頻率是指單位時(shí)間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，是描述周期運(yùn)動(dòng)頻繁程度的量），其中頻率最低的一項(xiàng)所代表的聲音稱(chēng)為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3倍…….例如，某小提琴演奏時(shí)發(fā)出聲音對(duì)應(yīng)的震動(dòng)模型可以用如下函數(shù)表達(dá)：，（其中自變量表示時(shí)間），每一項(xiàng)從左至右依次稱(chēng)為第一泛音?第二泛音?第三泛音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)（從左至右依次為第一泛音?第二泛音），給出下列結(jié)論：①的一個(gè)周期為；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；③的極小值為；④在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為3，截去該三棱柱的三個(gè)角（如圖1所示，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面積是（

）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四面體的體積為B．向量在方向上的投影向量為C．直線與直線垂直D．直線與平面所成角的正弦值為10．已知函數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．為周期函數(shù)B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．在區(qū)間上是減函數(shù)D．關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．直線與拋物線相切C．為定值 D．12．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．不等式的解集為C．若方程有兩個(gè)根，，則D．在處的切線方程為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則．14．已知，點(diǎn)在圓上，且，則的取值范圍為．15．已知曲線與曲線（）相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，則.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時(shí)，．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。17．（10分）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求和：．18．（12分）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(1)若，求；(2)求的取值范圍.19．（12分）如圖，是四棱柱，側(cè)棱底面，底面是梯形，，．(1)求證：平面平面；(2)E是底面所在平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使得與平面夾角的正弦值為？若存在，求點(diǎn)E到平面距離的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對(duì)學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別速度合計(jì)快慢男生65女生55合計(jì)110200(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢有關(guān)？(2)現(xiàn)有n根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.（i）當(dāng)，記隨機(jī)變量X為繩子圍成的圈的個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）求證：這n根繩子恰好能?chē)梢粋€(gè)圈的概率為附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63522．（12分）已知點(diǎn)是圓：上一動(dòng)點(diǎn)（為圓心），點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的