2024年高考第一次模擬考試數(shù)學（新高考Ⅱ卷02）（全解全析）

2024年高考數(shù)學第一次模擬考試數(shù)學（新高考Ⅱ卷）·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：高考全部內容5．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．設全集U=R，集合A={x||A．{x|-3<xC．{x|1<x【答案】A【分析】解不等式確定集合A,B，再根據(jù)集合運算的法則計算．【詳解】因為?UB={x|(x+3)(x-2)<0}={x|-3<x<2}，所以?U故選：A.2．已知z=5+5i2+i（i為虛數(shù)單位），則zA．4 B．3 C．32 D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算以及共軛復數(shù)的概念，即可由模長公式求解.【詳解】因為z=5+5i2+i=則z-2z=3+i-23-i故選:C．3．已知正三棱錐P-ABC的側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1A．36 B．33 C．32【答案】B【分析】球的半徑相當于點P到底面ABC的距離，運用等體積法即可求解.【詳解】設球的半徑為r，由題可知AB=AC=BC=2，S所以13?r?故選：B.4．若sinπ2+α+A．-33 B．-13 C．【答案】C【分析】按照兩角和的余弦公式及誘導公式化簡條件，再利用輔助角公式變形，進一步計算即可.【詳解】方法一∵sin=∴cosα+∴cos11π故選：C.方法二∵sin=∴sinα-令β=α-π3，則α=β+π∴cos11π故選：C.5．在正方形ABCD的每一個頂點處分別標上1,2,3,4中的某一個數(shù)字（可以重復），則頂點A,B處的數(shù)字都大于頂點C,A．36種 B．48種 C．24種 D．26種【答案】D【分析】按頂點A,B處標注的數(shù)字分類討論，利用分類加法和乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】按頂點A,B處標注的數(shù)字分類，有如下幾種情況：若A,B處都標注的是4，則C,D處的標注方法有3×3=9（種）；若A,B處都標注的是3，則C,D處的標注方法有2×2=4（種）；若A,B處都標注的是2，則C,D處的標注方法有1種；若A,B處標注的是4和3兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有2×2=4（種），不同的標注方法共有2×4=8（種）；若A,B處標注的是4和2兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有1種，不同的標注方法共有2×1=2（種）；若A,B處標注的是3和2兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有1種，不同的標注方法共有2×1=2（種）.由分類加法計數(shù)原理可知，頂點A,B處的數(shù)字都大于頂點C,D處的數(shù)字的標注方法共有9+4+1+8+2+2=26（種）.故選:D.6．已知第一象限內的點P在雙曲線C:x216-y29=1的漸近線上，O為坐標原點，F(xiàn)A．503 B．1003 C．758【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設Pt,34t【詳解】由題意，F(xiàn)5,0，雙曲線的漸近線為y=±由點P在第一象限，可設Pt,則PO=54所以PFPO所以當t=5時，PFPO此時P5,此時△POF的面積S△POF故選：C.7．在△ABC中，BD=13BC，E是線段AD上的動點（與端點不重合），設CEA．3 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0【詳解】

因為BD=13因為CE=xCA+y因為A,D,E三點共線，所以x+32y=1所以2x+3y=2x3y+1+1+3y2x≥22x3y所以2x+3y3xy的最小值是4故選：D8．已知a=13e，b=A．b<c<C．c<a<【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調性得到c=sin(cos1.1)<sin12，再構造函數(shù)fx=x-sinx，得到其單調性，得到c=sin(cos1.1)<sin12<1【詳解】因為1.1>π3，而y=cosx在故cos1.1<cosπ又y=sinx在x∈0,故c=sin(cos1.1)<sin1令fx=x-sinx，則f'x故fx=x-sinx在x∈0,故f12>0故c=sin(cos1.1)<sin1又a=13e則g'x=ex-1故g-13因為23<32，所以因為y=log3x故log3又log32>log故c<b<a故選：D【點睛】構造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導函數(shù)研究出函數(shù)的單調性，從而比較出代數(shù)式的大小.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知圓C:x-22A．存在實數(shù)k，使得直線l與圓C相切B．若直線l與圓C交于A，B兩點，則AB的最大值為4C．當k=-1時，圓C上存在4個點到直線l的距離為D．當k=1時，對任意λ∈R，曲線E:x【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系逐項判斷即可.【詳解】C:x-22+y2因為直線l:y=kx過定點O0,0，且點O在圓上，若直線l與圓C相切，則直線l的斜率不存在，即x=0，故A當直線l經過圓心時，AB取最大值即圓的直徑2r=2×2=4，故B正確；當k=-1時，直線l:x+y=0，因為圓心C到直線l的距離d=22=所以圓C上有4個點到直線的距離為12，故C當k=1時，直線l:x-y=0，曲線E:x即x2+y2-4x-λx-y故選：BCD．10．設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=12，PA．P(ABC．P(A|【答案】AB【分析】利用和事件的概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】因為P(A)=12，P(B)=1124，所以因為AB與AB為互斥事件，所以所以P(=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=12+所以P(AB)=1故P(AB)=P(B)-P(AB)=11P(A+B)=P(AP(A|B)=P(AB)P(B)=1P(A|B)=P(所以P(A|B)≠P(B|A)故選:AB.11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，ABA．當B1P//平面A1BD時，B．當λ=μ時，|C．若B1P與平面CC1D1D．當λ=1時，正方體經過點A1【答案】AC【分析】A選項，當點P與點D1重合時，滿足B1P//平面A1BD，B1P與CD1所成夾角為π3，A正確；B選項，將兩圖形展開到同一平面內，由三點共線得到|DP|+|A1P|的最小值，由余弦定理求出最小值；C選項，作出【詳解】如圖1，因為CP=λCD+μ所以P點在正方形CDD當點P與點D1重合時，B因為B1P?平面A1BD，所以B1P//平面此時B1C=B故B1P與CD1所成夾角為

當λ=μ時，點P在對角線CD將矩形A1BCD1和等腰直角三角形

連接A1D與D1由三點共線可知，|DP|+|A其中A1D1由余弦定理得A1D=AC選項，如圖3，以C1為圓心，CC1的長為半徑作圓，與正方形CD

此時滿足B1P與平面CC故則點P的軌跡長度等于14×2π×1=πD選項，如圖4，當λ=1時，CP=CD+μCC1故點P在線段DD在BB1上取點H，使得B1則可證得A1H=PC,CH=A故正方體經過點A1,P,C的截面為平行四邊形以A為坐標原點，AB,AD,AA1所在直線分別為則A10,0,1,C其中m=A1PA則PA則點P到直線A1C=2因為μ∈[0,1]，所以d=2

故截面面積為d?A1C=故選：AC【點睛】方法點睛：立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.12．已知函數(shù)f(x)=x2-8A．f(xB．實數(shù)m的取值范圍為(6C．曲線y=f(xD．x【答案】ABD【分析】求出導數(shù)，研究函數(shù)f(x)的單調性及極值可能判斷A、B兩項，由導數(shù)的幾何意義可以判斷C項，構造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0,1)，可以判斷D項.【詳解】解：對于A，由題設得，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，且f'當x∈(0,1)∪(3,+∞)時，f'(x)>0；當x∈(1,3)時，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),(3,+∞)，單調遞減區(qū)間為(1,3)，故A正確．對于B，因為函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,+∞)上單調遞增，所以f(x)的極大值為f(1)=1-8+0=-7，極小值為f3當x趨向于0時，f(x)趨向負無窮，當x趨向于正無窮時，f(x)趨向于正無窮．由于函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個零點，因此6ln3-15<m<-7，故B正確．對于C，由已知條件，得f2=6ln2-12，所以切線方程為y=-x-2+6ln2-12，即y=-x+6ln2-10，故對于D，由選項B的分析知，0<x構造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0,1)，則F'所以F'x>0在(0,1)上恒成立，即F(x)=f(x)-f(2-x)所以F(x)<F(1)=0，即f(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立．又x1∈(0,1)，所以又x2,2-x1∈(1,3)所以x2>2-x1，即故選：ABD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若3x-1xn的展開式的二項式系數(shù)之和為16，則3【答案】56【分析】通過二項式系數(shù)和求出n=4，然后求出3x+【詳解】由3x-1xn的展開式的二項式系數(shù)之和為16則3x+1令8-4r3=-4，解得r=5，故3x+1故答案為：5614．拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，準線為l，A,B是拋物線上的兩個動點，且滿足AF?FB=0.設線段AB的中點M在【答案】2【分析】根據(jù)拋物線的定義和幾何性質，可得AB2=AF2+BF2，MN【詳解】

如圖，過A點作AC⊥l，過B作BD⊥l，設AF=m，BF則由拋物線的定義知BD=BF=n由題意知MN=因AF?FB=0AB2因m2+n2≥所以AB2≥2MN所以2MN故答案為：215．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得AC=DB=14AB，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關數(shù)列S①數(shù)列Sn②數(shù)列Sn③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn>2018④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn其中真命題的序號是（請寫出所有真命題的序號）.【答案】②④【分析】通過分析圖1到圖4，猜想歸納出其遞推規(guī)律，再判斷該數(shù)列的性質，即可求解．【詳解】由題意，得圖1中線段為a，即S1圖2中正六邊形邊長為a2，則S圖3中的最小正六邊形邊長為a4，則S圖4中的最小正六邊形邊長為a8，則S由此類推，Sn所以Sn為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，即①錯誤，②因為S=a+2a(1-即存在最大的正數(shù)a=20185，使得對任意的正整數(shù)n，都有即④正確；③錯誤，綜上可知正確的由②④．【點睛】用數(shù)列知識解相關的實際問題，關鍵是列出相關信息，合理建立數(shù)學模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標，搞清是求和、求通項、還是解遞推關系問題，所求結論對應的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經過數(shù)學推理與計算得出的結果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結論．16．已知函數(shù)fx=x2-6x,x≤3kx-3【答案】2【分析】先通過對題目的分析，令gx=fx+9，將題目簡單化，并轉化為等價形式；再根據(jù)函數(shù)y=gx與y=m的圖象有兩個交點，數(shù)形結合可判斷k>0；最后結合圖形分析得出y=kx-3與y=【詳解】令gx=fx則原問題等價于存在m∈2,8使得y=gx與y=m的圖象有兩個交點且兩交點的橫坐標之和為6則k>0，作出函數(shù)y=gx與y=m的圖象設兩圖象交點的橫坐標分別為x1,x故兩個交點關于二次函數(shù)y=x-32的圖象的對稱軸設點P為y=kx-3與y=x-32x>3聯(lián)立y=kx-3與y=x-32x>3，解得故2<k2<8k>0，解得2<k<22故答案為：2,2【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)兩個實數(shù)根之和為6得到兩個交點關于直線x=3對稱是解決本題的關鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）記數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列bn的前n項和為Tn，若b3n=2n-【答案】(1)a(2)-36672【分析】（1）利用an=S（2）求出b3n+【詳解】（1）因為Sn+1+Sn+a兩式相減可得an+1+a且當n=1時，S2+S所以an是首項為-6，公比為所以an即an（2）因為b3n則T=-3×=-3×218．（12分）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知4(1)求角C的大?。?2)若S△ABC=2+【答案】(1)C=(2)1【分析】（1）利用三角恒等變換對原式化簡，結合三角形的內角和為π，即可求解；（2）根據(jù)面積公式求得ab=2+3，再利用余弦定理以及基本不等式可得出c的取值范圍，即可得解【詳解】（1）由題意知，原式可化為2cosA-B即2cosAcosB+sinAsinB整理可得：2cosA+B=-3又因為A+B+C=π，則0<C<π，所以cosC=32，故（2）因為S△ABC=1由余弦定理和基本不等式可得：c2當且僅當a=b=2+所以c≥1，故c的最小值為1.19．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，BC=2AD=6，AB=3，AC與BD交于點M，將△

(1)證明：BD⊥(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為77，求三棱錐P-【答案】(1)證明見解析(2)3210【分析】（1）求得tan∠ADB=tan∠CAB，進而得到AC⊥BD（2）以M為坐標原點建立空間直角坐標系M-xyz，設P0,cosθ,sinθ，由平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為77，解得cosθ，sinθ【詳解】（1）∵tan∠ADB=ABAD=∵∠ADB,∠CAB∈(0,∴∠ADB=∠CAB，∴∠ADB+∠MAD=∠CAB+∠MAD=π∴AC⊥BD，即AM⊥BD，CM⊥BD，∴PM⊥BD，CM⊥BD，又PM∩CM=M，PM,CM?平面PMC，∴BD⊥平面PMC，PC?平面PMC，∴BD⊥PC；（2）直角△ABC中，AC=A∵AD∥BC，∴AM∴AM=1，CM=2，BM=A則BD=由（1）BD⊥平面PMC，以M為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz，

則B2,0,0，C0,2,0設P0,cosθ,sinθ，其中0<θ<π所以MB=2,0,0，CB設平面PBD的一個法向量為n=則n?取y1=sinθ，設平面PBC的一個法向量為m=則m?取y2=sinθ，則cosm解得cosθ=45，sinθ=35或則P0,4故VP-BCD=120．（12分）已知某工廠加工5G手機的某種精密配件的合格率為p0<p<1，若加工后的30件這種精密配件中恰有6件不合格的概率為fp(1)求p0(2)設該工廠加工5G手機的這種精密配件的合格率為p0，在合格品中，優(yōu)等品的概率為①從加工后的這種精密配件中隨機抽取若干件，設其中優(yōu)等品有X件，若PX②已知某5G手機生產商向該工廠提供這種精密配件的原料，經過該工廠加工后，每件優(yōu)等品、合格品分別以150元、100元被該5G手機生產商回收，同時該工廠對不合格品進行復修，每件不合格品只能復修為合格品或不合格品，且復修為合格品和不合格品的概率均為0.5，復修后的合格品按合格品的價格被回收，復修后的不合格品按廢品處理掉，且每件不合格品還需要向該5G手機生產商賠償原料費30【答案】(1)p(2)①最多有16件；②加工費最高為47.5元【分析】（1）根據(jù)條件，建立函數(shù)關系式fp=C（2）①建立二項分布模型，直接利用二項分布的概率計算公式，建立不等式組，解出即可；②求出該工廠加工一個這種精密配件獲利Y元的分布列及數(shù)學期望，根據(jù)題意列不等式，通過解不等式解決問題即可.【詳解】（1）由題意可知，這種精密配件的不合格率為1-p，則加工后的30件這種精密配件中恰有6件不合格的概率fp則f'令f'p>0，解得0<p<0.8，令f所以fp在0,0.8上單調遞增，在0.8,1所以當p=0.8時，fp取得極大值，故p（2）①從加工后的這種精密配件中隨機抽取一件為優(yōu)等品的概率為0.8×0.5=0.4設從加工后的這種精密配件中隨機抽取n件，由題意可知，X～Bn,0.4且PX=k由題意可知，P(X=5)≤P(X=6)P(X=7)≤P(X=6)即Cn解得14≤n≤16.5，又n∈N，所以n的最大值為16，故抽取的這種精密配件最多有16件．②設該工廠加工一個這種精密配件獲利Y元，加工費與復修費均為m元，由題意可知，Y的可能取值為150-m,100-m,100-2m,-30-2m，則隨機變量Y的分布列為Y150-m100-m100-2m-P0.40.40.10.1則EY由題意可知，107-1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一個配件的加工費最高為47.5元．21．（12分）已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的標準方程.(2)已知過右焦點F的直線l與C交于A,B兩點，在x軸上是否存在一個定點P，使∠OPA=∠【答案】(1)x(2)存在，P(4,0)【分析】（1）由離心率32與定點-3,-（2）由∠OPA=∠OPB條件轉化為kPA+kPB=0，設直線l的方程為x=my+3,Ax1,y1,B【詳解】（1）因為e=ca=所以橢圓C的方程為x2因為點-3,-32在橢圓C上，所以所以a2所以橢圓C的標準方程為x2（