重慶市縉云教育聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次診斷性檢測(cè)試題（一模）數(shù)學(xué)2

2024CEE01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共6頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．，則的共軛復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)滿(mǎn)足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．4．已知是兩條不同直線(xiàn)，是三個(gè)不同平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．則 B．則C．則 D．則5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（

）A．0 B．3 C．6 D．127．已知，，，，，則的最大值為（

）A． B．4 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的，少選擇1個(gè)正確選項(xiàng)得3分，少選擇2個(gè)正確選項(xiàng)得1分，否則得0分。8．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．E．a(chǎn)9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則（

）A．若，則到準(zhǔn)線(xiàn)距離的最小值為3B．若，且，則到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為C．若，且，則到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為72D．若AB過(guò)焦點(diǎn)，，為直線(xiàn)AB左側(cè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為E．若，則到直線(xiàn)AB距離的最大值為410．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對(duì)于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得△ABC為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得△ABC為等邊三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。11．已知為圓：上一點(diǎn)，則的取值范圍是.12．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．13．橢圓上的點(diǎn)P到直線(xiàn)的最大距離是；距離最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中研究過(guò)一種叫“鱉（biē）臑（nào）”的幾何體，它指的是由四個(gè)直角三角形圍成的四面體，那么在一個(gè)長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)，所組成的四面體中“鱉臑”的個(gè)數(shù)是.四、解答題：本題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（10分）記△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知．(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，且，求．16．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：(2)在與間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．（15分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，滿(mǎn)足，求證：.(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.18．（15分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，設(shè)的面積為，內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)時(shí)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，，，在上，且直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，記，的斜率分別為，．(i)設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，；(ii)若，當(dāng)最大時(shí)，求四邊形的面積．19．（15分）某工廠(chǎng)引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備，為對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.(1)為評(píng)估設(shè)備對(duì)原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量和原料中的該材料含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀(guān)測(cè)值，求與的線(xiàn)性回歸方程.(2)為評(píng)判設(shè)備生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）；①；②；③.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿(mǎn)足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿(mǎn)足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備的性能等級(jí).(3)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品．從樣本中隨意抽取2件零件，再?gòu)脑O(shè)備的生產(chǎn)流水線(xiàn)上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望.附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.20．（15分）本題分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，考生選其中一部分作答.若多選，則按照第Ⅰ部分積分.Ⅰ.把底面為橢圓且母線(xiàn)與底面垂直的柱體稱(chēng)為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中底面長(zhǎng)軸，短軸長(zhǎng)為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上底面橢圓的右焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與重合）．(1)求證：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面(2)若點(diǎn)是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且與下底面所成的角分別為，試求出的取值范圍．(3)求三棱錐的體積的最大值．Ⅱ.如圖1，已知，，，，，.(1)求將六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周（等同于四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周）所圍成的幾何體的體積；(2)將平面繞旋轉(zhuǎn)到平面，使得平面平面，求異面直線(xiàn)與所成的角；(3)某“”可以近似看成，將圖1中的線(xiàn)段、改成同一圓周上的一段圓弧，如圖2，將其繞軸旋轉(zhuǎn)半周所得的幾何體，試求所得幾何體的體積.2024CEE01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．A 2．D 3．C 4．C5．A 6．C 7．A二、多項(xiàng)選擇題8．BCD 9．ACDE 10．ACE三、填空題11． 12．13． 14．四、解答題15．解：（1）由余弦定理形式和，因此．又，即，由正弦定理得：，整理得：，．，，，．（2）由，得，得．在△ACD中，由余弦定理得，為的中點(diǎn)，，即，（其中），．由正弦定理得，，，即．，由，可得；，．16．解：（1）因?yàn)?，，所以即，①?dāng)時(shí)，②②①得：即，當(dāng)時(shí)，，所以，所以是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.（2）因?yàn)?，，由題意知：，所以，假設(shè)在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即化簡(jiǎn)得：，又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以，所以即，又，所以即，所以，這與題設(shè)矛盾.所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.17．解：（1）由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得；所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由，得，故欲證，只需證：，即證，又，，，不妨設(shè)，，等價(jià)于，令（），等價(jià)于（），，所以在單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立.所以，所以.（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，，不妨設(shè)，，即，要證：，需證：只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，令，只需證：，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，故.也可由對(duì)數(shù)均值不等式（），即，令（），則，即，所以.18．解：（1）由題意得，易知，

由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上，又不能在直線(xiàn)上，∴的方程為：．（2）（2）(i)（法一）設(shè)，，，易知直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，得，∴，∴，，即，同理可得，，∴，欲使，則，即，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．（法二）設(shè)，，，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點(diǎn)，則軸，這與過(guò)矛盾，故，同理有，則，可得，易知，，且，，∴，即，同理可得，，欲使，則，∴，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．(ii)由(i)易知，且，∴，即，同理可得，，∵，∴，記，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)此時(shí)，，且直線(xiàn)和的夾角為，則，不難求得，此時(shí)，易知，且，∴四邊形的面積為．19．解：（1），，，，，，所以與的線(xiàn)性回歸方程為；（2），，，，，，，，，設(shè)備M的性能等級(jí)為丙級(jí).（3）樣本中直徑小于等于的共有2件，直徑大于的零件共有4件，所以樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線(xiàn)上隨意抽取2件零件，其中次品數(shù)設(shè)為Y1，則，于是；從樣本中隨意抽取2件零件其次品數(shù)設(shè)為Y2，由題意可知Y2的分布列為：Y2012P故.則次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.20.Ⅰ.解：（1）由題設(shè)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，則，所以分別是中點(diǎn)，而柱體中為矩形，連接，由，故四邊形為平行四邊形，則，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，則，故，面，面，故平面.（2）由題設(shè)，令，則，又，所以，，則，所以，根據(jù)橢圓性質(zhì)知，故.（3）由，要使三棱錐的體積最大，只需面積和到面距離之和都最大，，令且，則，所以，顯然時(shí)，有最大；構(gòu)建如上圖直角坐標(biāo)系且，橢圓方程為，設(shè)，聯(lián)立橢圓得，且，所以，，而，所以，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上遞增，故；綜上，.Ⅱ.解：（1）和繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體可以得到兩個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，體積之和為；正方形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，體積為.所以，總的體積.（2）如圖3，取中點(diǎn)為，連接，則.因?yàn)椋悬c(diǎn)為，所以.又平面平面，平面平面，所以，平面，即平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，所以，，，，，，所以，，，所以，，所以，異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值為，所以，.（3）由已知可得，圓心為點(diǎn)，則半徑.六邊形繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體的體積，等于直角梯形繞直角邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積的2倍.直角梯形繞直角邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，為一個(gè)上、下底面半徑分別為1、3，高為1的圓臺(tái)，體積；剩下的兩部分為全等的弓形，先研究弓形繞軸旋轉(zhuǎn)半周，得到的幾何體為球缺.現(xiàn)在用祖暅原理來(lái)求解該球缺的體積，如圖5，半球的半徑和圓柱的底面半徑均為，且圓柱的高，且，在半球中，高度為，且平行于底面的截面圓的半徑，面積為.在圓柱中，