數(shù)值分析復(fù)習(xí)題答案

INDEX數(shù)值分析復(fù)習(xí)題一、填空Chapter1緒論近似數(shù)x*=0.4231關(guān)于真值x=0.4229有3位有效數(shù)字.用近似真值1000時(shí)，其有效數(shù)字有4位，準(zhǔn)確值x*與其有t位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差為。設(shè)是真值的近似值，那么有3位有效數(shù)字。設(shè)一近似數(shù)x*=2.5231具有5位有效數(shù)字，那么其相對誤差限是，其絕對誤差限是。當(dāng)很大時(shí)，為防止損失有效數(shù)字，應(yīng)該使。Chapter2插值方法設(shè)，那么3。假設(shè)那么0。對,差商0。設(shè)，那么差商1。y=f(x)的均差,,f[x4,x3,x2]=14，f[x0,x3,x2]=8,.那么均差f[x4,x2,x0]=9?！步粨Q不變性〕設(shè)有數(shù)據(jù)那么其2次Larange插值多項(xiàng)式為，2次擬合多項(xiàng)式為〔最正確平方逼近可求〕。？？？以n+1個(gè)整數(shù)點(diǎn)k(k=0,1,2,…,n)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為(k=0,1,2,…,n)，那么x。？？〔注：，那么有拉格朗日插值公式：，即：〕假設(shè)是三次樣條函數(shù)，那么：a=_3_,b=_3_,c=0。三次樣條函數(shù)S(x)滿足：S(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，S(xk)=yk()，k=0,1,2,…,n，且滿足S(x)在每個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1]上是不超過三次的多項(xiàng)式。過(0，1)，(2，4)，(3，1)點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P(x)=設(shè)有函數(shù)表如：，那么可利用分段三次Hermite插值，其插值多項(xiàng)式的次方為三次.？？Chapter3函數(shù)的最正確平方逼近無Chapter4數(shù)值積分與數(shù)值微分牛頓—柯特斯求積公式的系數(shù)和積分區(qū)間的長度〔b-a〕?！豺?yàn)證梯形、辛普森、科特斯公式滿足〕？？數(shù)值求積公式的代數(shù)精度為：2次代數(shù)精度?！惨来螌⒑瘮?shù)代入驗(yàn)證是否滿足，可得代數(shù)精度〕求積公式的代數(shù)精度為：3次代數(shù)精度。求積分的近似值，其辛卜生公式為.求積分的近似值，其復(fù)化梯形公式為設(shè)，那么用梯形公式得近似值為n點(diǎn)高斯型求積公式其代數(shù)精度是2n-1。如5點(diǎn)高斯求積公式，其代數(shù)精度為9。Chapter5線性方程組的直接解法能用高斯消元法求解的充要條件是A的各階順序主子式不為零〔P113〕,當(dāng)滿足條件時(shí)(各階順序主子式不為零),可作LU分解,當(dāng)滿足條件時(shí)〔A為n階對稱正定矩陣〕,必有分解式,其中是對角元素為正的下三角陣。Chapter6線性方程組的迭代解法設(shè)，那么17，設(shè)A＝，那么＝20。設(shè)有矩陣，那么10，。A＝，x＝，那么45。設(shè)，，那么：。方陣A的譜半徑是指矩陣的條件數(shù)是指。非奇異矩陣A的條件數(shù)Cond(A)＝？？，A是病態(tài)是指條件數(shù)數(shù)值很大。？？9。Chapter8非線性方程的數(shù)值解法解方程f(x)=0的簡單迭代法的迭代函數(shù)(x)滿足在有根區(qū)間內(nèi)，那么在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂。利用二分法求在上根的近似值，誤差限為。設(shè)f(x)可微，那么求方程x2=f(x)根的牛頓迭代格式為。求的近似值，其牛頓迭代格式為。求的近似值，其牛頓迭代格式是。求解方程的Newton迭代公式為，割線公式為。序列滿足遞推關(guān)系：，假設(shè)有誤差,這個(gè)計(jì)算過程不穩(wěn)定。Chapter9常微分方程初值問題的數(shù)值解法微分方程數(shù)值解的幾何意義是指用直線代替曲線。？？求解常微分方程處值問題的改良Euler〔梯形法〕公式為，它是二階方法(二階精度)。Euler法是一階方法(一階精度)。P218解常微分方程初值問題的改良?xì)W拉法預(yù)報(bào)---校正公式是。預(yù)報(bào)值：，校正值：。計(jì)算題Chapter1緒論無Chapter2插值方法一、求一個(gè)次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式p4(x)，滿足以下插值條件：解：設(shè)：根據(jù)條件〔五個(gè)未知數(shù)五個(gè)條件〕解方程組可得：即：二、設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，是區(qū)間的中點(diǎn)，是經(jīng)過點(diǎn)的二次多項(xiàng)式。試證明對任意有，其中。證明：由于，是經(jīng)過點(diǎn)那么可以構(gòu)造出二次牛頓插值或拉格朗日插值，其誤差均為：此題中，，，其中：。所以：三、作一個(gè)三次多項(xiàng)式使?jié)M足：。解：為二次牛頓插值多項(xiàng)式，建立差商表，如以下圖所示：可得：，令那么，因?yàn)?，解得最后得滿足條件的三次多項(xiàng)式：。四、對于積分，假設(shè)取節(jié)點(diǎn)試推導(dǎo)一個(gè)插值型求積公式，并用這個(gè)公式求的近似值。P74解：1、構(gòu)造出三節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)，如下：2、先計(jì)算系數(shù)，具體過程如下：然后構(gòu)造出積分公式：3、根據(jù)構(gòu)造的積分公式，計(jì)算，具體過程如下：五、給定數(shù)據(jù)試求的3次Newton插值多項(xiàng)式，并寫出插值余項(xiàng)。解：求解差商，如下表所示：那么：插值余項(xiàng)：Chapter3函數(shù)的最正確平方逼近一、觀測數(shù)據(jù)〔1，-5〕，〔2，0〕，〔4，5〕，〔5，6〕，試用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式?！?0分〕解：二、求上的一次最正確平方逼近多項(xiàng)式及平方誤差。解：??；；分別計(jì)算：根據(jù)代入求解得：即得：為在多項(xiàng)式集合的最正確平方逼近。平方誤差：三、設(shè)，試求的一次最正確平方逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。解：方法同上四、設(shè)，試求的一次最正確平方逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。解：方法同上五、設(shè)試在中求在區(qū)間上的最正確平方逼近元。解：取；；分別計(jì)算：根據(jù)代入求解得：即得：為在多項(xiàng)式集合的最正確平方逼近。六、用最小二乘法確定一條經(jīng)過原點(diǎn)的二次曲線，使之?dāng)M合以下數(shù)據(jù)x01.02.03.0y0.20.51.01.2解：因?yàn)檫^原點(diǎn)，所以取；；二次曲線為：，，，由：，可得：即得：為在多項(xiàng)式集合的最小二乘法擬合曲線。平方誤差：七、求解矛盾方程組：解：，，，由：，可得：Chapter4數(shù)值積分與數(shù)值微分一、把區(qū)間分成兩等份，用復(fù)合辛卜生公式計(jì)算的近似值。保存小數(shù)點(diǎn)后四位，并說明誤差是多少。解：根據(jù)復(fù)合辛卜生公式誤差分析：二、如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大，并說明其幾何意義。證明：1、梯形積分公式余項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，根?jù)：，可得用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大。2、幾何意義：？？？？？？利用梯形的面積近似的代替曲邊梯形的面積?！踩缟蠄D所示〕三、給定數(shù)據(jù)1.301.321.341.361.383.6020103.903304.255604.673445.17744用Simpson公式計(jì)算的近似值，并估計(jì)誤差。解：？？？？？1、將進(jìn)行n=2等分，那么根據(jù)復(fù)合辛普森公式可計(jì)算，計(jì)算過程如下：復(fù)化的Simpson公式：〔注：(0.4/6)*(3.602010+5.17744+2*4.2556+4*3.9033+4*4.67344)〕2、誤差估計(jì)：此題中：，，設(shè)及其各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)不產(chǎn)生較大的變化，因而利用各點(diǎn)間的斜率代替曲線切線，最后計(jì)算取，可得：四、給定求積公式，試決定使它的代數(shù)精度盡可能得高。解：1、由于該求積公式有三個(gè)未知系數(shù)可以確定，根據(jù)代數(shù)精度的定義，可知，該求積公式至少是2次精度，那么將分別取代入該求積公式可得三個(gè)等式，從而確定系數(shù)A、B、C，具體過程如下：2、將代入求得的積分公式進(jìn)行驗(yàn)證，假設(shè)成立而不成立，那么該公式為m次代數(shù)精度，具體過程如下：，精確成立；，不能精確成立；所以：求得的積分公式為，具有3次代數(shù)精度。四、設(shè)四階連續(xù)可導(dǎo)，試建立如下數(shù)值微分公式：并推導(dǎo)該公式的截?cái)嗾`差。P100解：由條件得：其中為中間點(diǎn)，分別為的左右等距點(diǎn)，利用泰勒公式展開得：〔注：四階連續(xù)可導(dǎo)，展開公式有四項(xiàng)〕將(1)、〔2〕兩式相加得：將(1)、〔2〕兩式相減得：兩個(gè)公式精度均為。Chapter5線性方程組的直接解法Chapter6線性方程組的迭代解法一、寫出計(jì)算線性方程組的高斯—賽德爾迭代格式，并分析此格式的收斂性.解：1、高斯—賽德爾迭代格式為：，2、判斷該高斯—賽德爾迭代格式的收斂性：迭代公式的矩陣形式：，其中：，求得：，計(jì)算：所以，該迭代公式不收斂(即：發(fā)散)。二、對下述方程組直接應(yīng)用高斯—塞德爾迭代法求解是否收斂？如果不收斂試設(shè)法給出收斂的迭代公式，并簡述理由。解：1、迭代公式的矩陣形式：，其中：，求得：，計(jì)算：，所以該迭代公式不收斂(即：發(fā)散)。2、構(gòu)造收斂的迭代公式？？？將化為：那么可得到新的：為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以采用雅可比和高斯塞德爾迭代都收斂！三、用迭代公式，其中：。求解問取什么實(shí)數(shù)可使迭代收斂，什么可使迭代收斂最快。解：1、將化為標(biāo)準(zhǔn)形式令，可得：由已經(jīng)條件可得：，解得：根據(jù)迭代法收斂的充要條件：可得關(guān)于的不等式：，所以在時(shí)，，即迭代收斂。2、求解可使迭代收斂最快：題三示意圖分別將作出曲線圖，如上圖所示。在的區(qū)間內(nèi)，的曲線為黑色粗線，那么為折線的最低點(diǎn)〔紅點(diǎn)〕，即為曲線和的交點(diǎn)，求得：，使得最小。判斷，越小收斂精度越高。當(dāng)時(shí)，，所以迭代收斂最快。四、給定線性方程組用列主元消元法求解所給線性方程組。寫出Gauss－Seidel迭代格式，并分析該迭代格式是否收斂。解：1、用列主元消元法求解所給線性方程組。增廣矩陣為：對其進(jìn)行列主元消元：2、檢驗(yàn)高斯－賽德爾迭代，，其中：其過程同下題六〔2〕！五、給定線性方程組〔1〕寫出Gauss－Seidel迭代格式；〔2〕分析該迭代格式是否收斂。解：檢驗(yàn)高斯－賽德爾迭代，，其中：其過程同下題六〔2〕！六、給定線性方程組Ax＝b，其中A＝，證明雅可比迭代法發(fā)散，而高斯－賽德爾迭代法收斂。證明：迭代公式的矩陣形式：，分別檢驗(yàn)，進(jìn)行斂散性判斷。1、檢驗(yàn)雅可比迭代，，其中：，，求解得：，所以雅可比迭代發(fā)散！2、檢驗(yàn)高斯－賽德爾迭代，，其中：，求解得：，，所以雅可比迭代收斂！七、設(shè)有個(gè)正的實(shí)的特征值試證當(dāng)時(shí)迭代公式收斂。解：利用：，那么：，求解的特征值，可求得只需證明即可證明收斂。過程同上！八、給定線性方程組，其中，用迭代公式求解，問取什么實(shí)數(shù)可使迭代收斂，什么可使迭代收斂最快。解：同題三！Chapter8非線性方程的數(shù)值解法一、在求非線性f(x)=0根的近似值時(shí)，論證簡單迭代法一般為線性收斂，而牛頓迭代法為平方收斂。P200證明：？？？？？？1、一般迭代法：，由于，，所以，，因而假設(shè)，且，那么簡單迭代法為線性收斂！2、牛頓法，迭代格式為：，對求導(dǎo)，得：上式中，所以當(dāng)時(shí)，，牛頓法為平方收斂?！沧ⅲ篜201，一般情況下，，而，稱在附近為p階收斂〕二、考慮求解方程的迭代公式〔1〕試證：對任意初始值，該方法收斂?！?〕寫出用牛頓迭代法求解此方程的迭代公式。解：1、證明：由條件，迭代函數(shù)為可得：，所以，對于任意的初始值，該方法收斂。2、令：，那么其導(dǎo)數(shù)，由牛頓迭代公式可得：三、給定方程分析該方程存在幾個(gè)根，并構(gòu)造求近似根的迭代公式，證明所用的迭代公式是收斂的。解：1、令：，令，解得在為增函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，具體函數(shù)形狀如圖a所示，又由于，建立坐標(biāo)系，從圖中可以看出，為局部最大值，，圖中可知該方程有一個(gè)根。圖a圖b2、由于，可知：，，構(gòu)造牛頓迭代公式，證明：驗(yàn)證迭代公式是否滿足以下條件：？？？？？(1)在上，、存在且符號不變，滿足條件；(2)，滿足條件；(3)假設(shè)要，由于，應(yīng)使，比方，即可假設(shè)滿足條件；綜上，可知該迭代公式收斂！五、給定方程。〔1〕分析該方程存在幾個(gè)根，找出每個(gè)根所在的區(qū)間；〔2〕構(gòu)造求近似根的迭代公式，并證明所用的迭代公式是收斂的。解：方法同上下題！四、給定方程。分析該方程存在幾個(gè)根；用迭代法求出這些根，精確至四位有效數(shù)；證明所試用的格式是收斂的。解：1、分析方程存在幾個(gè)根：，所以在上為增函數(shù)，同時(shí)，所以存在一個(gè)根。2、用迭代法求解：迭代格式為：，由于，取，計(jì)算過程如下：，具有四位有效數(shù)字，所以。3、證明：迭代函數(shù)，，檢驗(yàn)是否滿足一下條件，(1)在上存在且連續(xù)，滿足條件；(2)在上為減函數(shù)，因而，可得：，滿足條件；(3)，滿足條件；綜上，可知該迭代公式收斂！Chapter9常微分方程初值問題的數(shù)值解法一、用預(yù)估一校正法求初值問題在x=0.2處的數(shù)值解，步長取h=0.1?！惨蟊４嫘?shù)點(diǎn)后4位〕解：預(yù)估—校正公式如下：二、假設(shè)用梯形公式求的近似解，其中，試證明：〔1〕〔其中為步長〕?！?〕對固定的，當(dāng)時(shí)，收斂于準(zhǔn)確解。解：〔1