微積分教學(xué)課件1-5無(wú)窮大和無(wú)窮小

微積分教學(xué)課件1-5無(wú)窮大和無(wú)窮小2024-01-25目錄引言無(wú)窮大的概念與性質(zhì)無(wú)窮小的概念與性質(zhì)無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較無(wú)窮大與無(wú)窮小在微積分中的應(yīng)用典型例題分析與解答01引言理解無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念及其性質(zhì)掌握無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較方法了解無(wú)窮大與無(wú)窮小在微積分中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)無(wú)窮大和無(wú)窮小的定義及性質(zhì)無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較無(wú)窮大與無(wú)窮小在微積分中的應(yīng)用舉例教學(xué)內(nèi)容無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念、性質(zhì)及比較方法重點(diǎn)無(wú)窮大與無(wú)窮小在微積分中的應(yīng)用及理解難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)02無(wú)窮大的概念與性質(zhì)無(wú)窮大的定義010203無(wú)窮大是指在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大的現(xiàn)象。無(wú)窮大分為正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大，分別表示函數(shù)值朝正方向和負(fù)方向無(wú)限增大。無(wú)窮大是一種特殊的極限狀態(tài)，可以用符號(hào)“∞”來(lái)表示。無(wú)窮大滿(mǎn)足加法運(yùn)算的性質(zhì)，即無(wú)窮大與有限數(shù)相加，結(jié)果仍是無(wú)窮大。無(wú)窮大滿(mǎn)足乘法運(yùn)算的性質(zhì)，即無(wú)窮大與不為零的有限數(shù)相乘，結(jié)果仍是無(wú)窮大。無(wú)窮大不滿(mǎn)足減法運(yùn)算的性質(zhì)，即兩個(gè)無(wú)窮大相減，結(jié)果是不確定的。無(wú)窮大不滿(mǎn)足除法運(yùn)算的性質(zhì)，即無(wú)窮大除以無(wú)窮大，結(jié)果是不確定的。無(wú)窮大的性質(zhì)有界函數(shù)是指函數(shù)值的絕對(duì)值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有上界和下界的函數(shù)。無(wú)窮大與有界函數(shù)的關(guān)系是：當(dāng)自變量趨向某個(gè)值時(shí)，如果函數(shù)值趨向無(wú)窮大，則該函數(shù)在這個(gè)變化過(guò)程中不是有界函數(shù)。反之，如果函數(shù)在某個(gè)變化過(guò)程中是有界函數(shù)，則該函數(shù)值不會(huì)趨向無(wú)窮大。無(wú)窮大與有界函數(shù)的關(guān)系03無(wú)窮小的概念與性質(zhì)無(wú)窮小量如果函數(shù)$f(x)$在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，其絕對(duì)值無(wú)限地趨于零，則稱(chēng)$f(x)$為這一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小。無(wú)窮小的符號(hào)表示通常用希臘字母$alpha$、$beta$、$gamma$等來(lái)表示無(wú)窮小，如$alpha(x)rightarrow0$表示$alpha(x)$是$xrightarrowx_0$時(shí)的無(wú)窮小。無(wú)窮小的定義要點(diǎn)三無(wú)窮小與零的關(guān)系無(wú)窮小量不是零，但在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，它的絕對(duì)值可以比任何正數(shù)都要小。要點(diǎn)一要點(diǎn)二無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)兩個(gè)無(wú)窮小的和、差及乘積仍然是無(wú)窮??；有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。無(wú)窮小的比較如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，則稱(chēng)$beta$是比$alpha$更高階的無(wú)窮??；如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，則稱(chēng)$beta$是比$alpha$更低階的無(wú)窮?。蝗绻?limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，則稱(chēng)$beta$與$alpha$是同階無(wú)窮小。要點(diǎn)三無(wú)窮小的性質(zhì)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小如果函數(shù)$u(x)$在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中為有界函數(shù)，而$alpha(x)$是這一變化過(guò)程中的無(wú)窮小，則$u(x)alpha(x)$也是這一變化過(guò)程中的無(wú)窮小。無(wú)窮小與有界函數(shù)的和、差無(wú)窮小與有界函數(shù)的和或差仍然是有界函數(shù)。無(wú)窮小與有界函數(shù)的關(guān)系04無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較無(wú)窮大階的比較無(wú)窮大階的定義：設(shè)$f(x)$和$g(x)$在同一自變量的趨向過(guò)程中（如$xtox_0$，$xtoinfty$）都趨于無(wú)窮大，那么如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=0$，則稱(chēng)$f(x)$是$g(x)$的高階無(wú)窮大。如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=infty$，則稱(chēng)$f(x)$是$g(x)$的低階無(wú)窮大。如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=cneq0$，則稱(chēng)$f(x)$與$g(x)$是同階無(wú)窮大。例子：例如，當(dāng)$xtoinfty$時(shí)，$x^2$是$x$的高階無(wú)窮大，$x$是$lnx$的高階無(wú)窮大。無(wú)窮小階的定義：設(shè)$alpha$和$beta$是在同一個(gè)自變量的趨向過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，且$alphaneq0$，那么如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，則稱(chēng)$beta$是比$alpha$高階的無(wú)窮小，記作$beta=o(alpha)$。如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，則稱(chēng)$beta$是比$alpha$低階的無(wú)窮小。如果$limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，則稱(chēng)$beta$與$alpha$是同階無(wú)窮小。例子：例如，當(dāng)$xto0$時(shí)，$x^2$是$x$的高階無(wú)窮小，$sinx$是$x$的同階無(wú)窮小。無(wú)窮小階的比較010203等價(jià)無(wú)窮大的定義設(shè)$f(x)$和$g(x)$在同一自變量的趨向過(guò)程中都趨于無(wú)窮大，如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=1$，則稱(chēng)$f(x)$與$g(x)$是等價(jià)的無(wú)窮大。等價(jià)無(wú)窮小的定義設(shè)$alpha$和$beta$是在同一個(gè)自變量的趨向過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小，如果$limfrac{alpha}{beta}=1$，則稱(chēng)$alpha$與$beta$是等價(jià)的無(wú)窮小，記作$alphasimbeta$。例子例如，當(dāng)$xto0$時(shí)，$sinxsimx$，$tanxsimx$，$(1+x)^alpha-1simalphax$等。等價(jià)無(wú)窮大與等價(jià)無(wú)窮小05無(wú)窮大與無(wú)窮小在微積分中的應(yīng)用描述函數(shù)在某點(diǎn)的極限行為01無(wú)窮大和無(wú)窮小可以用來(lái)描述函數(shù)在某一點(diǎn)附近的極限行為，例如當(dāng)x趨近于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)f(x)的極限可以是無(wú)窮大或無(wú)窮小。比較兩個(gè)函數(shù)的極限02通過(guò)比較兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限是無(wú)窮大還是無(wú)窮小，可以確定它們的相對(duì)增長(zhǎng)速度。判斷函數(shù)的斂散性03利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的性質(zhì)，可以判斷某些數(shù)列或函數(shù)是否收斂或發(fā)散。在極限中的應(yīng)用描述函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大或無(wú)窮小時(shí)，表示該點(diǎn)處的切線斜率不存在或?yàn)?。判斷函數(shù)的單調(diào)性通過(guò)分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以及是否為無(wú)窮大或無(wú)窮小，可以判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性。尋找函數(shù)的極值點(diǎn)函數(shù)的極值點(diǎn)發(fā)生在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)。當(dāng)導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大或無(wú)窮小時(shí)，這些點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用反常積分涉及對(duì)無(wú)窮區(qū)間或被積函數(shù)在某點(diǎn)取無(wú)窮大或無(wú)窮小的積分。利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的性質(zhì)，可以對(duì)這些反常積分進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算反常積分通過(guò)將被積函數(shù)與某個(gè)已知斂散性的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，可以利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的性質(zhì)來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性。判斷級(jí)數(shù)的斂散性在物理學(xué)中，許多問(wèn)題涉及對(duì)無(wú)窮大或無(wú)窮小區(qū)間的積分，例如計(jì)算物體的質(zhì)量、電荷等。利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念，可以簡(jiǎn)化這些問(wèn)題的求解過(guò)程。解決物理問(wèn)題在積分中的應(yīng)用06典型例題分析與解答

極限類(lèi)問(wèn)題極限的定義與性質(zhì)通過(guò)具體例子解釋極限的概念，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，強(qiáng)調(diào)極限的唯一性、有界性、保號(hào)性等性質(zhì)。無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較詳細(xì)闡述正無(wú)窮大、負(fù)無(wú)窮大、無(wú)窮小等概念，并通過(guò)例題展示如何進(jìn)行無(wú)窮大與無(wú)窮小的比較。極限的運(yùn)算法則介紹極限的四則運(yùn)算法則，包括極限的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算，以及復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。03高階導(dǎo)數(shù)闡述高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算法則，通過(guò)例題展示如何求高階導(dǎo)數(shù)。01導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義通過(guò)實(shí)例解釋導(dǎo)數(shù)的概念，包括導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義以及導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系。02導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則詳細(xì)介紹導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則，包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的