高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 課時達標檢測（四十三）雙曲線-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時達標檢測(四十三）雙曲線[練基礎(chǔ)小題——強化運算能力]1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝________.解析：因為雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1，所以e2＝1＋eq\f(3,a2)＝4，因此a2＝1，a＝1.答案：12．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為________．解析：在雙曲線中離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，可得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，故雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\r(2)x.答案：y＝±eq\r(2)x3．已知雙曲線C的焦點坐標為(5,0)，(－5,0)，離心率為eq\f(5,4)，則雙曲線C的標準方程是________．解析：因為所求雙曲線的焦點為(5,0)，(－5,0)，離心率為eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝14．(2018·海安縣高三質(zhì)量測試)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的離心率為________．解析：由題意eq\f(b,a)＝eq\r(3)，b2＝3a2，所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝eq\f(c,a)＝2.答案：25．(2018·南京學(xué)情調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的一條漸近線與直線y＝2x＋1平行，則實數(shù)a＝________.解析：由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y＝±eq\f(2,a)x.因為一條漸近線與直線y＝2x＋1平行，所以eq\f(2,a)＝2，解得a＝1.答案：1[練?？碱}點——檢驗高考能力]一、填空題1．已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6eq\r(6))．當△APF周長最小時，該三角形的面積為________．解析：設(shè)雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線方程x2－eq\f(y2,8)＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F(xiàn)1(－3,0)．當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，從而△APF的周長為|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.因為|AF|＝eq\r(32＋6\r(6)2)＝15為定值，所以當(|AP|＋|PF1|)最小時，△APF的周長最小，由圖象可知，此時點P在線段AF1與雙曲線的交點處(如圖所示)．由題意可知直線AF1的方程為y＝2eq\r(6)x＋6eq\r(6)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(6)x＋6\r(6)，,x2－\f(y2,8)＝1，))得y2＋6eq\r(6)y－96＝0，解得y＝2eq\r(6)或y＝－8eq\r(6)(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝eq\f(1,2)×6×6eq\r(6)－eq\f(1,2)×6×2eq\r(6)＝12eq\r(6).答案：12eq\r(6)2．已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，且經(jīng)過點(2,2)，則C的方程為________．解析：由題意，設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝λ(λ≠0)，因為雙曲線C過點(2,2)，則eq\f(22,4)－22＝λ，解得λ＝－3，所以雙曲線C的方程為eq\f(y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為________．解析：因為∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝3a，|AF2|＝a，則10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)(負值舍去)．答案：eq\f(\r(10),2)4．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．解析：由題設(shè)易知A1(－a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝－1，整理得a＝b.∵漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.答案：±15．(2018·江南十校聯(lián)考)已知l是雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C的左、右焦點，若eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝0，則點P到x軸的距離為________．解析：由題意知F1(－eq\r(6)，0)，F(xiàn)2(eq\r(6)，0)，不妨設(shè)l的方程為y＝eq\r(2)x，點P(x0，eq\r(2)x0)，由eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)·(eq\r(6)－x0，－eq\r(2)x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6＝0，得x0＝±eq\r(2)，故點P到x軸的距離為eq\r(2)|x0|＝2.答案：26．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為________．解析：∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，則由題意得eq\f(b,a)＞2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＞eq\r(1＋4)＝eq\r(5).即雙曲線離心率的取值范圍為(eq\r(5)，＋∞)．答案：(eq\r(5)，＋∞)7．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同的焦點，且雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線C的方程為________________．解析：易得橢圓的焦點為(－eq\r(5)，0)，(eq\r(5)，0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝5，,\f(b,a)＝2，))∴a2＝1，b2＝4，∴雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.答案：x2－eq\f(y2,4)＝18．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的右準線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是________．解析：由題意得，雙曲線的右準線x＝eq\f(3,2)與兩條漸近線y＝±eq\f(\r(3),3)x的交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).不妨設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，則F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，故四邊形F1PF2Q的面積是eq\f(1,2)|F1F2|·|PQ|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長AF2交雙曲線右支于點B，則△F1AB的面積等于______．解析：由題意可得|AF2|＝2，|AF1|＝4，則|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|＝|BF1|.又∠F1AF2＝45°，所以△ABF1是以AF1為斜邊的等腰直角三角形，則|AB|＝|BF1|＝2eq\r(2)，所以其面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.答案：410．已知點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值為9a，則雙曲線的離心率為________．解析：在雙曲線中，P為右支上一點，則|PF1|＝|PF2|＋2a，則eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(|PF2|＋2a2,|PF2|)＝|PF2|＋eq\f(4a2,|PF2|)＋4a≥2eq\r(4a2)＋4a＝8a(當且僅當|PF2|＝2a時取等號)，因為已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|2,|PF2|)))min＝9a，故|PF2|≠2a，在雙曲線右支上點P滿足|PF2|min＝c－a，則c－a＞2a，即c＞3a，故e＞3，又由eq\f(|PF1|2,|PF2|)≥9a，所以eq\f(c－a＋2a2,c－a)＝9a，解得e＝5或e＝2(舍)．答案：5二、解答題11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．點M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．解：(1)∵e＝eq\r(2)，∴雙曲線的實軸、虛軸相等．則可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵雙曲線過點(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.12．中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4，離心率之比為3∶7.(1)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值．解：(1)由題知c＝eq\r(13)，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m