2022屆廣西高三4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆廣西高三4月大聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1.若z=l+2i,貝!]三二!■=()

4;

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】B

【分析】按復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】也。+22)二1—

4/4/4/i

故選：B.

【點(diǎn)睛】z=a+bi(a,be/?),zz=(a+bi)(a-bi)-a2+b2=\z^.

2.已知集合4={乂％40或xNl},B={x[3'<9},則AB=()

A.{x|l<x<2}B.{RxWO或14x<2}

C.{x|x<2}D.{x[04x<2}

【答案】B

【分析】解出不等式3,<9,然后根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)?={小40或x訓(xùn)，B={x|3v<9）={小<2},所以A8={小40或

1<x<2},

故選：B

3.從甲、乙、丙、丁、戊五人中選兩人擔(dān)任五月一日的值班工作，則甲、乙均不被選

中的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

10201010

【答案】C

【分析】利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.

【詳解】從甲、乙、丙、丁、戊五人中選兩人擔(dān)任五月一日的值班工作，有：甲乙、甲

丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊，共10種選法，

其中甲、乙均不被選中的有3種，

所以所求事件的概率為本

故選：C

4.已知角。終邊落在第二象限，且tana=-2,則sina+8sa=（）

D.9

A.-1B.1

【答案】D

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得sine和cosa的值，即可求解.

sinac

tanex,--------=—2

【詳解】根據(jù)題意cosa，因?yàn)榻莂終邊落在第二象限,

[sin2a+cos2a=1

2石

sina=—^―j-

所以《l，則sina+cosa=——，

>/55

cosa=------

5

故選：D.

5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域上單調(diào)遞增的是()

A.y=cosxB.y=~T—^C.y=ln|x|D.y=T-Tx

【答案】D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)的奇偶性，再由余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù),

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性即可.

【詳解】V函數(shù)y=cosx為偶函數(shù)，A錯，

/(-%)=In|-jj=In|x|=/(x),函數(shù)y=ln|R為偶函數(shù)，C錯,

V/(-x)=7,=-/(X),函數(shù)y=f一為奇函數(shù)，

(z一工)+1r+1

12

當(dāng)x=l時，y=—?x=2時，y=一,

25

函數(shù)y=在定義域上不是單調(diào)遞增函數(shù)，B錯，

r+1

???f(-x)=2-'-2X=-f(x),又函數(shù)y=2*在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)y=2-*在定義域

上單調(diào)遞減,

/.函數(shù)y=2，-2T既是奇函數(shù)，又在定義域上單調(diào)遞增，D對，

故選：D.

3

6.如圖，4,8是兩個形狀相同的杯子，且8杯高度是A杯高度的不，則8杯容積與A

杯容積之比最接近的是()

AB

A.1:5B.2:5C.3:5D.1:3

【答案】A

【分析】根據(jù)兩個杯子形狀相同可得底面積之比為高之比的平方，因此容積之比為高之

比的立方，即可求解.

.3

【詳解】因?yàn)锳,8是兩個形狀相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的《，

所以底面半徑比也是:3，

所以兩個杯子的底面積之比為SB：S，=^J,

所以5杯容積與A杯容積之比曳包=七］x-=—?0.2=1:5,

SA-hA\5)5125

故選：A

7.將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成

數(shù)列｛4｝，則%=()

A.130B.132C.142D.144

【答案】C

【分析】由條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式求出.

【詳解】1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，

這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10,公差為12的等差數(shù)列，所以q=10+12(〃-1)=12〃-2,

故%=10+12(12-1)=142.

故選：C.

8.已知拋物線C：/=4》的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,P為C上一點(diǎn)，過P作/的垂線，垂

足為M.若|MF|=|PF|,貝()

A.2B.V3C.4D.2上

【答案】C

【分析】由拋物線定義及已知條件知△PMF為等邊三角形,進(jìn)而可求1P

【詳解】由拋物線的定義知：I尸尸l=|PM|,又IMFRPFI,

.?.△PM尸為等邊三角形，易知：|PM|=2p=4.

故選：C.

9.按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑，2030年為碳達(dá)峰時期，2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，

到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池迎來了蓬

勃發(fā)展的風(fēng)口.Pe必e”于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間/（單位:

h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=〃1,其中〃為常數(shù),

為了測算某蓄電池的Peukerf常數(shù)n,在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=20A時，

放電時間f=20h；當(dāng)放電電流/=30A時，放電時間f=10h.則該蓄電池的Peukert常數(shù)

〃大約為（）（參考數(shù)據(jù)：愴2"0.30,lg3=0.48）

A.一B.—C.-D.2

333

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得C=20”.20,C=30"/0,兩式相比結(jié)合對數(shù)式與指數(shù)式的互化

及換底公式即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得C=20"-20,C=30"10,

兩式相比得磊”即目4

所以"二崛_lg2_lg2..0.35

=10§2|2i2Ig3-lg20.48-0.3

g3.

故選：B.

10.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加知識競猜，一道多項(xiàng)選擇題有A、B、C、。四個選項(xiàng),

全部選對得5分，漏選得2分，錯選不得分.甲選擇AB；乙選擇BCD；丙選擇AC；

丁選擇BC.已知該題四人的平均分為1.5分，則該題的正確答案為()

A.ABDB.BCDC.ABCD.AD

【答案】C

【分析】結(jié)合題意，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)正確答案為AB。時，甲得分為2分，乙，丙，丁得分0

分，此時均分為0.5分，故錯誤；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)正確答案為BC。，甲，丙得分。分，乙得分5分，丁得分2分，此時

平均分為1.75,故錯誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)正確答案為A8C時，甲，丙，丁得分2分，乙得分。分，均分為1.5

分，故正確；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)正確答案為4。時，甲，以，丙，丁得分均為0分，故錯誤.

故選：C

11.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5"，其中q=l,4,2%,%+3成等差數(shù)列，且

a“+i+則%=()

A.2n-lB.2n-'C.(l+Af'-lD.(1+A)"

【答案】B

【分析】由=2S“+1,利用數(shù)列通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系求解.

【詳解】由已知，an+1=AS?+l,貝lJ4=2S,i+l(nN2),

a

~?=NS,-2S,i=Aan,

,,a”+i=(4+l)a”，

；?｛/｝是等比數(shù)列.

又；a,+a3+3=4a2,a3+4=4a,,

q2+4=4q,

4=2,

二??=2nl.

故選：B

22

12.己知雙曲線C:3一與=1的左、右焦點(diǎn)分別為K(-c,0)，E(c,0),斜率為左且過K的

ab

2

直線/交雙曲線C的漸近線于A,B兩點(diǎn)，若|小4|=|月刊，S4^+5Wjf2=|c（S"F,表

示的面積），則雙曲線C的離心率為（）

A.叵B.叵C,&D.咨或巫

25222

【答案】C

【分析】利用點(diǎn)差法可得生列方程可得。力關(guān)系，由此可求離心率.

a

【詳解】直線斜率存在，設(shè)4（與,芳）,3優(yōu),%）,（王*七），A8中點(diǎn)加（毛,％）,

當(dāng)M在x軸上方時，由5附8+5防與=《/，得力+%=：。，則%=1c,

因?yàn)閮?nèi)川=優(yōu)8|，所以巴故名為直角三角形，。為丹人的中點(diǎn)，

所以|。叫=g|耳瑪卜c,所以/=土乎.

%y=o

由/~62（乂+%）（乂一%）

由自學(xué)J/EWF'即％?%=/.

當(dāng)”（13gc）時，&A0==4c5（_-=§，k<>M=］，

kOM^AB=7Xo=_J所以U=——=I+—=7，所以6=丁?

43aaaa42

九

當(dāng)M〔一gc，jc）時，=k-MR=-4c§（^^=3'^OM=-Z

3b1

自防?&=-：x3=r，矛盾，舍去，

當(dāng)M在X軸下方時，同理可求得6=正

2

綜上所述6=正.

2

故選：C.

二、填空題

13.已知向量a=（l,a），。=（3,-2）,且（a+?_L力，貝ljm=.

【答案】8

【分析】根據(jù)題意，由向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算可得:+力=（4,m-2）,再利用向量垂直與向

量數(shù)量積的關(guān)系分析可得。+））：=4X3+（m-2）x（-2）=0,即可解得〃?的值.

【詳解】根據(jù)題意，向量。=（1,“），人=（3,-2）,則4+斤（4,〃?一2）

Prr

由（〃+。）J_Z?,可得（4+4力=4、3+（帆一2）乂（-2）=0,

解得機(jī)=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式，關(guān)鍵是掌握向量垂直

與向量數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

x+l>0

14.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件r-yVO,則z=x-gy的最小值是.

2x+3y-l<0—

3

【答案】

【分析】作出約束條件所表示的可行域，再利用直線截距的幾何意義，即可得答案.

x+l>0

【詳解】畫出滿足約束條件卜的可行域，如圖所示.

2x+3y-l<0

目標(biāo)函數(shù)z=x_gy化為y=2x-2z.

X=-1r

由21,解得.“二,則A（-U）.

y=——x+-y=l

33i

13

當(dāng)直線y=2x—2z過點(diǎn)A時，z=x—3y取得最小值為一萬.

—?3

故答案為：-]

15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球表面積是

12

俯視圖

【答案】14萬

【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體為一個三棱錐，再補(bǔ)形為長方體，利用三棱錐與長方體

共一個外接球可求出結(jié)果.

【詳解】依題意，所給三視圖的原幾何體是三棱錐R-4BC,如圖,

將三棱錐2-ABC補(bǔ)形成長方體ABC。-A4c2,其長寬高分別為1,2,3,

三棱錐2-ABC與長方體ABC。-agCQi有同一個外接球,

71+22+32V14

則球半徑為R=；BD}=---------------

22

所以外接球表面積S=4乃K=]4%.

故答案為：14萬.

16.若直線y=辰+〃是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+2)的切線，則

b=________

【答案】1

【分析】設(shè)出函數(shù)y=lnx+2的切點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)，求出曲線y=lnx+2的切線方程,

同理求出曲線)，=ln(x+2)的切線方程，根據(jù)題意這兩條切線方程與直線y=重合

進(jìn)行求解即可.

【詳解】曲線y=lnx+2的切點(diǎn)坐標(biāo)為：區(qū),必)，因此有y=ln&+2

y=/(x)=Inx+2=>/'(x)=^=>/'(x,)=^-,所以過該切點(diǎn)的切線方程為：

廣,」。-芯)？y—x+ln.r,+1,

占x,

曲線y=ln(x+2)的切點(diǎn)坐標(biāo)為：(%，%)，因此有為=1"々+2)

11

產(chǎn)g(x)=ln(x+2)og(x)=--=g(x2)=-------,所以過該切點(diǎn)的切線方程為：

x+2x2+2

y-%=—^(x-七)？y-^―x+ln(x2+2)-由題意可知：

x2+2x2+2x2+2

f11fx,=l

k,=——=---------

X)x2+2x2=-l

J

Z?=Inx,4-1=ln(x9+2)-----—"

x2+2k=\

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查了兩條曲線公切線問題，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力.

三、解答題

1jr27r

17.如圖在四邊形ABCD中，cosZABC=-,NADC=—，ZBAD=—,AB=5,BC=1.

763

(1)求NS4C；

(2)求四邊形488的面積.

【答案】(1)NBAC=?

⑵426

【分析】(1)在一43c中，根據(jù)余弦定理求出AC,再根據(jù)正弦定理可求出結(jié)果;

(2)根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.

【詳解】(1)在一ABC中，由余弦定理知：

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC=25+49-2x5x7x1=64,

7

BCAC

AAC=8,由正弦定理知

sinZ.BACsinZ.ABC'

因?yàn)镃OSZ4BC=L,所以sinNA8C=Jl-cosZBC=

7

7_8

sinNBAC_46,/.sinABAC=—.

亍2

又NBAD=g,:.乙BAC=g

TTTTrr

(2)由(1)知NC4￡>=§,ZADC=-?,?NACO=—，AD=2AC=16,

6f2

，四邊形A3C￡>的面積為：S^D+S^BC=^xl6x8xsiny+^-x5x8xsiriy=42>^.

18.自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn).某醫(yī)療器

械廠統(tǒng)計了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所

示的頻率分布直方圖.已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等.

（1）估計口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；

（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)

抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：

工齡X（單位：年）4681012

生產(chǎn)速度y（單位：件/小時）4257626267

根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程y=6x+a，并據(jù)此估

計該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度.

附：回歸方程卜=區(qū)+4中斜率和截距的最小二乘估計公式為：》=J----——,

x

E1=1(--4

a=y-bx-

【答案】(1)罟455

(2)80件/小時

【分析】(1)先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出

各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；

(2)先求出7、亍，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進(jìn)行預(yù)測其生產(chǎn)速度.

【詳解】(1)解：設(shè)前4組的頻率分別為％,生，%，%，公差為d，

a=0.16

由頻率分布直方圖，得2

4+a,+/+q=1—0.16—0.84

4+d=0.16\a,=0.06

即4q+6d=0.84’解得［d=0.1

則a1+a2+%=0.48,%=0.36,

,“0.5-0.48s455

所以中位數(shù)為50+--------xl0=—.

aA9

(2)解：由題意，得［=］(4+6+8+10+12)=8,

-1

y=-(42+57+62+62+67)=58,

、一4x(-16)+(-2)x(-l)+0x4+2x4+4x911

由所給公式，得以(5+(—)4+4舒一=1.

S=y-》x=58-Ux8=36,

4

所以回歸直線方程為§=?x+36,

4

則當(dāng)x=16時，y=80，

即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時.

19.已知函數(shù)f(x)=gx3-f+2.

⑴討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+l](q>0)的最大值.

【答案】⑴函數(shù)/(X)在(Y>,0),(2,心)單調(diào)遞增，在(0,2)單調(diào)遞減

(2)答案不唯一，具體見解析

【分析】(1)求導(dǎo)由/'(x)>0,/'(x)<0求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，分0<a?l,l<a<2,a>2,討論求解.

【詳解】(1)解：/(力=/-2x=x(x-2),

當(dāng)x<0或x>2時，/,(x)>0；

當(dāng)0<x<2時，f(x)<0；

???函數(shù)〃x)在(e,0),(2,y)單調(diào)遞增，在(0,2)單調(diào)遞減；

⑵由(1)知當(dāng)0<々41,函數(shù)“X)在區(qū)間［4M+1］單調(diào)遞減，

”("皿=，(")=#-/+2,

當(dāng)l<a42,函數(shù)〃x)在區(qū)間［a,2］單調(diào)遞減，在［2,a+l］單調(diào)遞增，

］q?I4

/(4+l)=§(a+l)-(a+1)-+2=-tz5-a+-,

〃a+l)-/⑷=片一""|

①當(dāng)1<04三棄時，〃a)N〃a+l),,/⑺=/(〃)=93_/+2,

6J

x3

②當(dāng)3+y5時,〃a)v/(a+l),f()maK=/(^+1)=^-^+^,

633

當(dāng)〃>2時，函數(shù)在區(qū)間+單調(diào)遞增，

14

???/(xLrS+DW'Ja+l

綜上所述，當(dāng)0<a￡三普時，/(x)a=；a3-〃+2,

3

當(dāng)時，/(x)^-a-a+-

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AD1.CD,AD//BC,尸DJ_平面A88,

E是P8的中點(diǎn)，PC與平面A￡>E交于點(diǎn)尸，BC=DC=PD=2AD=2.

(1)求證：尸是PC的中點(diǎn)；

4PM

(2)若M為棱尸。上一點(diǎn)，且直線B4與平面E/必所成的角的正弦值為：，求堯■的值.

【答案】(1)證明見解析

cPM1?3

(2)----=_或_

PD44

【分析】(1)由線面平行的判定與性質(zhì)可得5C//M,即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法由線面角公式求解即可.

【詳解】⑴因?yàn)?J//8C,

ADa平面PBC,BCu平面PBC,

所以AD〃平面PBC.

因?yàn)锳Ou平面的>E,平面ADEc平面P3C=EF,

所以AD//EF.

所以BC//EF.

因?yàn)辄c(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)P是PC的中點(diǎn).

(2)因?yàn)镻￡)_L平面ABC。，AROCu平面A8CD,

所以PD_LAQ,P￡>_LC￡>.

由ADLCO,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-型，

x

則A(1,O,O),5(2,2,0),C(O,2,O),P(0,0,2),E(l,l,l),F(0,l,l),

￡F=(-1,0,0).pb=(0,0,-2)>EP=(-1,-1,1)，PA=(1,0,-2).

設(shè)PG=4P3=(O,0,-22),04241,

所以或=E%+尸卷1-2/1).

設(shè)平面EFM的一個法向量為n=(x,y,z)，

ri-EF=0,-x=0,

則即《

n-EM=0,-x-y+(l-22)z=0.

令z=l,則y=l—2/1,所以w=(0,l-2/U).

——>

T

,C,\A?,PA

所以cos(”,PA)==-----z

Inl-I^l國(T/lf+l

設(shè)直線PA與平面EFM所成的角為9,

—>—>24

則sin6=costn,PA

后J(l_2"+15y

13

解得：石;或2

44

PM\PM3

所rrr以I方二或下力

22

21.已知橢圓+[=1的焦點(diǎn)為尸（2,0）,長軸長與短軸長的比值為0.

a~b~

⑴求橢圓M的方程;

⑵過點(diǎn)尸的直線/與橢圓M交于A8兩點(diǎn)，8。，不軸于點(diǎn)。，AOLx軸于點(diǎn)O,直線

8。交直線x=4于點(diǎn)￡,試證明ECD與的面積相等.

22

【答案】（1）^--H—=1

84

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)橢圓長短軸的定義得到/=2〃，結(jié)合c=2,a2=b2+c2,求出/和

/可得結(jié)果;

（2）設(shè)直線/的方程為y=Mx-2）,設(shè)4（司/）,8（々,必），聯(lián)立得

（1+2產(chǎn)卜2-8rx+（8公—8）=0,根據(jù)韋達(dá)定理得玉+七和玉%，利用斜率公式推出

C,A,E三點(diǎn)共線，并根據(jù)三點(diǎn)共線可證結(jié)論成立.

【詳解】⑴由題設(shè)，應(yīng),所以〃2=2凡

又因?yàn)閏=2,a2=b2+c2,所以2Z?2=〃+4,解得。2=4,〃2=8,

22

所以橢圓M的方程為二+二=1.

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⑵由題意可知，直線/斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=z（x-2）,

由I；：；；：2；'得（1+2公尸_8心+（8&2_8）=0,

設(shè)4（4,兇）,3（々,%），則為+三=言\'中2=苧浸

1+NK1+2.K,

因?yàn)锳OJ_x軸，所以。（%,0）.

直線8。方程為y=六（一3所以人噴川

y匕二.(4-xJ

因?yàn)?c_Lx軸，所以C（&,0）,kAC

飛一9'"(X2-A,)(4-X2)'

為(1J)

所以“￡C—MlC

(X,-^)(4-X2)X,-X2

必(4_xJ+y(4_&)么(々_2)(4一3)+%(用_2)(4_々)

(X2-XI)(4-X2)(X2-X,)(4-X2)

=(“x；(4_j[6W2平2-16]=qUj]恚一品—8

T6k3攵2_公+1_[-2公

2

(x2-^I)(4-X2)\+2k

所以Mx=砥c，所以CAE三點(diǎn)共線，因?yàn)锽C//AO,所以S^=S.c

所以SgCD=0心網(wǎng).

一fx=l+costz

22.在直角坐標(biāo)系x。），中，曲線C的參數(shù)方程為｛（a為參數(shù)），在以坐標(biāo)原

[y=sma

點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為

/?sin（9+（）=2\/2.

（1）求曲線C的普通方程與直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）過原點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與曲線C,直線/分別交于A,8兩點(diǎn)，且2|。4|=|。用，

求該傾斜角的值.

【答案】