2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之突破詳解36不等式選講含解析

專題36不等式選講

學(xué)習(xí)目標(biāo)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的幾何意義證明以下不等式：

①|(zhì)a+引W|a|+出；

?\a-b\W|a—c\+|c-b\.

2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：

|ax+6|Wc；|ax+b\|x-a\+Ix-b\><?.

3.會(huì)用絕對(duì)值不等式、基本不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題；能夠利用基本不等式求一些特

定函數(shù)的最(極)值.

4.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.

二.知識(shí)要點(diǎn)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.絕對(duì)值的概念和幾何意義

a(a20),

代數(shù):a|

—a(a<0)

幾何意義：Ia|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為土a的點(diǎn)/到原點(diǎn)的距離.

-----------------------&----------------e-----------

OA

2.絕對(duì)值不等式性質(zhì)

|a|一|引W|a+b\W|a|+|引.

(1)|a+6|W|a|+|6|,當(dāng)且僅當(dāng)ab'O時(shí)取等號(hào)；

(2)|a—引W|a|+I6|,當(dāng)且僅當(dāng)劭W0時(shí)取等號(hào).

3.絕對(duì)值不等式的解法

原則是轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解.

基本型：a>0,\x\<a<^>~a<x<a；

x'\>a^>x<-a或x>a.

(1)c>0,\ax+b\^c<^-c<ax+b<c,|ax+b\^c<^>ax+b<-c^ax+b>c.

(2)c>Q,|x—a\+x~b\^c,|x—a|+|x—引Wc.

三種解法：圖解法（數(shù)形結(jié)合）、零點(diǎn)分區(qū)法（定義）、絕對(duì)值的幾何意義（數(shù)軸）.

4.比較法證明不等式

（1）作差比較法：

知道a>A，a—6>0,水扶今a一伙0,因此要證明a>8,只要證明a—b>0

即可，這種方法稱為作差比較法.

（2）作商比較法：

由a>6>0of>l且a>0,b>0,因此當(dāng)a〉0,6>0時(shí)要證明a>6,只要證明q>1即可，這

bb

種方法稱為作商比較法.

5.綜合法證明不等式

從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命

題成立，即“由因?qū)Ч钡姆椒?這種證明不等式的方法稱為綜合法或順推法.

6.分析法證明不等式

證明命題時(shí)，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件

,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理、性質(zhì)、或已證明的定理

等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證

明方法.

7.反證法證明不等式

先假設(shè)要證的命題不成立

,以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到

和命題的條件（或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等）矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正

確

,從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法.

8.放縮法證明不等式

證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小

,簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法.

三.方法總結(jié)

1.含絕對(duì)值不等式的求解策略

(1)解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào).常用的方法是:①由定義

分段討論(簡(jiǎn)稱零點(diǎn)分區(qū)間法)；②利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)(題型法)；③平方法；④數(shù)形結(jié)

合法等.

(2)解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍

有關(guān)，就必須分類討論.注意：①要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?②用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，

做到不重不漏.

(3)含絕對(duì)值不等式的證明，要善于應(yīng)用分析轉(zhuǎn)化法.

(4)靈活運(yùn)用絕對(duì)值不等式的兩個(gè)重要性質(zhì)定理|a|-b|W1a±b|W|a|+|b|,特別注

意等號(hào)成立的條件.

2.作差比較法是證明不等式最基本、最重要的方法，其關(guān)鍵是變形，通常通過(guò)因式分解,

利用各因式的符號(hào)進(jìn)行判斷，或進(jìn)行配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3.綜合法證明不等式時(shí)，主要利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)，在嚴(yán)

密的推理下推導(dǎo)出結(jié)論，綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，所以在實(shí)際證明時(shí)，用分析法分析,

用綜合法表述證明推理過(guò)程.

4.某些不等式的條件與結(jié)論，或不等式的左右兩邊聯(lián)系不明顯，用作差法又難以對(duì)差進(jìn)

行變形，難以運(yùn)用綜合法直接證明，這時(shí)常用分析法，以便發(fā)現(xiàn)聯(lián)系.分析的過(guò)程中，綜合

條件、定理等因素進(jìn)行探索，把分析與綜合結(jié)合起來(lái)，形成分析綜合法.

5.有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法，凡是含有“至少”“唯一”

或者含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.

6.放縮法是一種常用的證題技巧，放縮必須有目標(biāo)，而目標(biāo)可以從求證的結(jié)論中和中間

結(jié)果中尋找.常用的放縮技巧有添舍放縮，拆項(xiàng)對(duì)比放縮，利用函數(shù)的單調(diào)性和重要不等式

放縮等.

四.高考命題類型及分析

1.絕對(duì)值不等式中的存在性問(wèn)題

例1.1.已知函數(shù)f(x)=|x-m卜3,且f(x)20的解集為(-8,-2]U[4,+??)

(1)求m的值；

(2)若WeR,使得f(x)2t+12-x|成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)m=l；⑵t<-2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)不等式解集與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系列方程組，解得m的值；（2）先根據(jù)絕對(duì)值三

角不等式求M?11.卜?21最大值，再解不等式可得實(shí)數(shù)t的取值范圍.

試題解析：（1）不等式卜-m-32°的解集為（-8，m-3]U[3+m.+-）

又?.??)=卜-01|-32。的解集為(-8,-2]U[4,+8)

.?.m+3=4,m-3=-2m=1

⑵:TxeR,使得f(x)2t+12-x|成立

.?戶xWR,使得|x-l-32t+|2-x|.?戶x￡R,|x-l-|x-2|2t+3

/-1X<1

g(x)=|x-1|-|x-2|=)2x-31<x<2

令(1x>2

.?戶xWR,|x--|x-212t+3

At+3Sg(x)max=lAt<.2

a

g(x)=2x+-a>0

練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=|2x-3|+3,x.

（I）解不等式f（x）43x；

(H)記乂={丫僅=?)},N={y|y=g(x)),若MUN,求a的取值范圍.

69

{x|x>-}0<a<-

【答案】(I)5;(II)8.

【解析】【試題分析】（I）利用含有一個(gè)絕對(duì)值的不等式的解法,可求得不等式的解集.（U）f（x）

的值域?yàn)棰?8）.利用基本不等式可求得函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋?8,一2伍]U[2而,+8）.由于

9

I—0<aW—

MUN,所以2j2a，3,由此得到8.

【試題解析】

6

=x>-

(J)f(x)<3x=；2x-3|43x-3=3-3x<2x-3<3x-35

(JI)M=[3,+8),N=(-8,-2標(biāo)]U[2標(biāo),+8)

9

=*2,2a<3=>0<a<-

8

2.絕對(duì)值不等式中的恒成立問(wèn)題

例2.已知函數(shù)f(x)=|x+l|.

(1)解不等式2f(x)<4-卜-2|；

11

|x-3|-f(x)4—+—

(2)已知m+n=2(m>0,n>0),若不等式mn恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4

{x|——<x<0]

【答案】(1)3.(2)-3<a<l

【解析】試題分析：(D第(1)問(wèn)，一般利用零點(diǎn)討論法解雙絕對(duì)值的不等式.(2)第(2)

11

問(wèn)，一般先求左邊的最大值憶+1]，再利用柯西不等式求mn的最小值2,再解不等式

|a+l|42.

試題解析：⑴2f(x)<4-|x-2|等價(jià)于2|x+l|+|x-2|<4

4

當(dāng)X22時(shí)原不等式轉(zhuǎn)化為2(x+l)+(x.2)<4,即x3,此時(shí)空集；

當(dāng)-l<x<2時(shí)原不等式轉(zhuǎn)化為2(x+l)-(x-2)<4,gpx<0,此時(shí)

44

X>—---<X<-1

當(dāng)X4」時(shí)原不等式轉(zhuǎn)化為-2(X+1)-(X-2)<4,即3,此時(shí)3.

4

{x|--<x<0}

綜上可得，原不等式解集為3

(2)|x-a|-f(x)=|x-a|-|x+l|<|a+1|.

1111

+-)(m+n)>一(1+1)2=2

又01+門(mén)=2m>0m>0)由柯西不等式，得2mn2,

由題意知|a+l|42,解得-34a41.

練習(xí)1.已知f(x)=|2x+3a2].

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求不等式f(x)+|x-2|>3的解集;

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式Rx+l|-f(x)<2a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

11

(-8,-TU[1,+8)(-1)

【答案】(1)3；(2)3.

【解析】試題分析：

1

(1)當(dāng)a=寸，不等式即12x1+lx-2|23,零點(diǎn)分段可得不等式的解集為一8‘一3'*"一

(2)原問(wèn)題即|2x+”.|2x+”2|<2a恒成立，由絕對(duì)值三角不等式可得

|2x+11.|2x+3a21sl2x+1-2x?3"|=13@2.11,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為11<2a,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值

1

(-AI

范圍是3.

試題解析：

(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)+|x?2|=|2x|+|x-2|23,

[x<0f0<x<2(x>2

|-2x+2-xN3得3.(2x+2-x>3^1<x<2.|2x+x-223得x>2,

1

(_8,?_]U[1,+8)

所以除)+惶-2|22的解集為3

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式|2*+1|-?)<22成立，即|2x+l|-|2x+3a?|<2a恒成立，

又因?yàn)閨2x+1|-|2x+3a。V|2x+l-2x-3a"|=|3a-1|(

要使原不等式恒成立，則只需13a2-l|<2a,

下14

0<a<—2—<aV—

當(dāng)a<°時(shí)，無(wú)解；當(dāng)3時(shí)，l-3a<2a,解得33.

3>---2---<3<1

當(dāng)3時(shí)，3a-1<2a,解得3

1

(-1)

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3.

練習(xí)2.設(shè)f(x)=|2x-l|+|x+l|.

(I)解不等式耳x)43；

(II)若不等式m|x|4f(x)恒成立，求m的取值范圍.

【答案】⑴{MT4X41}.⑵m?3.

【解析】試題分析：(1)根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間的方法,去掉絕對(duì)值,分段解不等式式2)當(dāng)”。時(shí)，可知對(duì)于Vm€R

煙

m￡—

不等式均成立，當(dāng)X#。時(shí)，等價(jià)于岡恒成立，應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式求得右側(cè)函數(shù)最值即可.

解析：

(1)當(dāng)X<-1時(shí)，f(x)=-(2X-1)-(x+1)=-3x1,故此情況無(wú)解；

11

-1<X<--l<x<-

當(dāng)2^-,f(x)=-(2x-1)+(x+1)=-x+2<>-1,故2.

11

X>--<x<l

當(dāng)2時(shí)，f(x)=(2x-l)+(x+l)=3x43解得X41,故2

綜上所述，滿足f(x)43的解集為{x|-14x41}.

(2)當(dāng)x=°時(shí)，可知對(duì)于VmeR,不等式均成立;

f(x)f(x)

m<—m<—

當(dāng)X*。時(shí)，由已知可得岡恒成立，岡的最小值

f(x)2x-l|+|x+1：11111

=2--+12(2--)+(1+-)=3X>—

1|X|xXXX當(dāng)X4-1或2時(shí)，等號(hào)成立.

???m<3

綜上所述，使得不等式恒成立的m的取值范圍為m43.

練習(xí)3.已知函數(shù)小)=|3X+2|.

(1)解不等式f(x)<4-|x-l|；

111

|x-a|--f(x)<—+-(a>0)

(2)已知m+n=l(m,n>°),若3mn恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5110

(--(0,-]

【答案】(1)42；(2)3

【解析】試題分析：(1〉先根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，(2)先

111

—g(x)=|x-a|-f(x)

根據(jù)基本不等式求mn最小值，再利用絕對(duì)值三角不等式求3最大值，最后解不等式得實(shí)額

a的取值范圍.

試題解析：⑴不等式f(x)<4-|x-l|可化為：|3x+2|+|x-l|<40

252

X<---<x<一—

當(dāng)3時(shí)，①式為-3x-2-x+l<4,解得43.

221

—<x<1—<x<—

當(dāng)3時(shí)，①式為3x+2-x+l<4,解得32.

當(dāng)x>l時(shí)，①式為3X+2+X-1<4,無(wú)解.

51

綜上所述，不等式《)<4-|x-l|的解集為(4'2).

1111nm

-+-=(—+-)(m+n)=2+—+—>4

⑵解：mnmnmn

22

+T=a+

g(x(X■一(X3-

令3

2210

g(X)max=a+-g(x)ma=-+a<40<a<—

3,要使不等式恒成立,只需3，即3

實(shí)數(shù)a取值范圍是‘3.

【方法總結(jié)］含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利

用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值

不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方

法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向.

練習(xí)4.［選修4-5：不等式選講］

設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+2x,其中a>0.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)22x+l的解集；

(2)若xW(-2,+8)時(shí)，恒有f(x)>0,求a的取值范圍.

【答案】（1）（-jI]U[3,+8）（2）a>2

【解析】試題分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，|x-2|+2x>2x+l,化為|x-2|21,可得x23或x41,從

他）-戶x-a,xza

而可得不等式f（x）22x+l的解集；（2）化簡(jiǎn)1x+a,x<a,因?yàn)閍>0,.?.x2a時(shí)，

3x-a22a>0恒成立，又x<a時(shí)，當(dāng)x>-2時(shí)，x+a>-2+a,.?.只需-2+aNO即可，所以a22.

試題解析：（1）當(dāng)2=2時(shí)-，jx-2|+2x>2x+l,

所以|X-2|21,所以X23或X41,

解集為（-8,l]U[3,+8）

f（x）-13x-a,x2a

（2）[x+a,x<a,因?yàn)閍>0,,xNa時(shí)，3x-a22a>0恒成立，

又x<a時(shí)，當(dāng)x>-2時(shí)，x+a>-2+a,只需-2+a20即可，

所以a2Z

練習(xí)5.選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f（x）=Ix-a|+|x-l|.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）<4的解集;

2

（2）若f（x）Na-2a-l,求a的取值范圍.

17

{x|——<x<-}

【答案】⑴22⑵卜1，3]

【解析】試題分析：（1）分段討論去絕對(duì)值解不等式即可；

2

⑵若f（x）2a2-2a-l,只需f（x）min=la-l|2a-2a-l即可，將|a-1|看作整體解不等式即

可.

試題解析：

(1)當(dāng)a=2時(shí)，不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-l|<4

(x>2jl<x<2|x<1

可得|x-2+x-l<4,或|2-x+x-l<4,或|2-x+l-x<4.

17

--<x<-

解得22.

17

{x|--<x<-}

所以不等式的解集為22.

(2)因?yàn)閨x?引?.

當(dāng)且僅當(dāng)1X?項(xiàng)x?1)M0時(shí)，，岡取得最小值13?11.

又因?yàn)閷?duì)任意的“僅)"2.2a?1恒成立，所以忖,11之1?2r1,

即(a-1尸-|a-1|?2§0,故|3-1|《2,解得-ismS3.

所以③的取值范圍為卜IS.

3.均值不等式中的范圍問(wèn)題

例3.(1)解不等式卜+2|+|x+3|42；

222

(2)已知實(shí)數(shù)X,y,Z滿足X+y+Z=1,求xy+yz+zx的取值范圍.

LZ2]上]

【答案】(DI22J&)[2]

【解析】試題分析：(1)分段討論去絕對(duì)值解不等式即可；

(2)由x2+y222xy,y2+z2>2yz,z2+x2>2zx,三式相加得：x2+y2+z2>xy+yz+zx,因?yàn)?/p>

222.

x+y+z1

2xy+yz+zx>----------=--

(x+y+z)20,所以22,即可得解.

試題解析：

(1)由M+2|+|X+3|42

(x<-3|-3<x<-2(x>-2

可化為1-2X-5&2或11<2或|2x+542,

73

--<x-

解得2--2,

73-

所以，不等式的解集為I2,2.

2222

(2)因?yàn)閤2+y?22xy,y+z>2yztz+x>2zx,

222

三式相加得：x+y+Z>xy+yz+zx,

*

x=y=z=±—

即乂丫+丫2+2*41,(當(dāng)且僅當(dāng)3時(shí)，取J”)

又因?yàn)?x+y+z)&o

222

x+y+zd1(x+y+z=0

xy+yz+zx>----------=--{222

所以22,(當(dāng)且僅當(dāng)|x+y+z=1時(shí)，取j”,有無(wú)數(shù)組解)

1

-一,1

故xy+yz+zx的取值范圍為L(zhǎng)2

練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=x|x-l|,XGR

(1)求不等式《)<6的解集.

(2)記f(x)在【0向上最大值為g(a)<2,若g(a)<2,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)-J)；(2)(0,2)

【解析】試題分析：(1)第一問(wèn)，先對(duì)x分類討論，得到一個(gè)分段函數(shù)，再解不等式.(2)

第二問(wèn)，分類討論得到兩個(gè)解集，再求它們的并集，從而得到正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

試題解析：

f(x)--1)，為21

(1)由題意知，-[x(l-x),x<l,

①當(dāng)X21時(shí)，令f(x)<6,解得14x<3.

②當(dāng)x<l時(shí)，令的<6,解得x<l.

綜上所述xC(-8,3).

(2)①當(dāng)X21時(shí)，令的<2,解得14x<2.

②當(dāng)04x<l時(shí)，令f(x)<2,解得O4X<1.

故x€[0,2)時(shí)，f(x)<2,故正實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,2).

【方法總結(jié)]本題的難點(diǎn)，在于思維的邏輯和靈活性，如果直接研究小)在【°冏上最大值為

g(a)<2,就要對(duì)a分類討論，比較復(fù)雜.本題先令《)<2,再求它們的并集就簡(jiǎn)單多了.所

以我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要多思考，多總結(jié)，提高解題的靈活性.

練習(xí)2.已知函數(shù)f(x)=m-|x-l|,mGR

(1)當(dāng)m=-l時(shí)，求不等式f(x)2-3的解集；

(2)若3+2)+f(x-2)>。的解集為[-2,4],求m的值.

【答案】⑴xe[-l,3]；⑵[2,4]

【解析】試題分析：⑴當(dāng)時(shí)，f(x)=-l-|x-l>3,.-.Ix-llsa,-2SX-1S2.從而可得結(jié)果；(2)

由x=4及x=-2時(shí)，求出參數(shù)m=3,再驗(yàn)證不等式*x+2)+f(x?2)2°的解集為[-2用即可.

試題解析：⑴?.?便=-1小-12-3,;.國(guó)-1|42,.?.xe[-l,3].

。的解集為[-

⑵vm-|x+l|+m-|x-3|>2,4],

2x-2zx>3

|x+1|+|x-3|=4,-1<x<3

，|x+l+1x-3|<2m,而(2-2x,x<-l,

...當(dāng)x=4時(shí)，8-2=2m,m=3,x=-2時(shí)，2+4=2m，m=3,經(jīng)檢驗(yàn)f(x+2)+f(x-2)20的解集為

12川.

4.絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題

例4.已知函數(shù)f(x)=|x+2|+|2x+a|,aeR

(1)當(dāng)a=l,解不等式f(x)*2；

1

f(x)>|a-2|-|a|

(2)求證：2.

、1

{x|x4-1或X2-}

【答案】(1)3.(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)當(dāng)a=l,不等式即f(x)=|x+2|+|2x+l|N2,零點(diǎn)分段可得不等式的解集為

1

{x|xs-1或X>--}

3

aaaa

f(x)=|x+2|+|x+-|+|x+-|>|2--|+|x+-|

(2)由題意結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得：2222

all

2|2--|=|(a-2)--a|>|a-2|--|a|

222

試題解析:

(1)當(dāng)a=l,f(x)=|x+2|+|2x+1|>2

11

-2<x<--x>--

(x<-222

(-3x-3?2或-x+1>2或+3>2

1

X>--

0x4-2或-2<x<-1或3

1

x>--

0x4-1或3,

{x|x<-1或x>--]

所以不等式的解集為3.

aaaaaa

=lx+21+|x+-|+lx+-I2|2--|+|x+-|>|2--|=|--2|

(2)f(x)=|x+2+2x+a|222222

111

=|(a-2)--a|>|a-2|-|-a|=|a-2|--|a|

222

練習(xí)1.選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1-岡的最大值為m.

(1)求m的值；

a2.b2

(2)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=m,求b+1a+1的最小直

1

【答案】(D必=1(2)3

【解析】試題分析：(1)零點(diǎn)分區(qū)間去掉絕對(duì)值，得到分段函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)圖像即可得

到函數(shù)最值；(2)將要求的式子兩邊乘以(6+1)+(a+1),再利用均值不等式求解即可.

解析：

'-1.;t^一L

<2i+l,-

(I)人乃=|%+1|一國(guó)=11?

由人力的單調(diào)性可知，當(dāng)X>1時(shí)，應(yīng)x)有最大值1.

所以冽=1.

(H)由(I)可知，a+b=lf

J_______________&

6Ti+sVi=~3(m+a+i)[(ft+1)+3+1)]

2J(a+D/什D

=~3[=+枕+什14-a+1]

1]UD/(師

枕+2、/什IHI)

=~3(a+5y

1

=~3.

1

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=9.時(shí)取等號(hào).

J61

即行i+71的最小值為不

練習(xí)2.已知函數(shù)歡)=Rx-l+|2x+1|.

(1)求函數(shù)小)的最小值m；

1112

-+-=4+

(2)若正實(shí)數(shù)a，g茜足ab,求證：ab.

【答案】(1)2；(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)由絕對(duì)值三角不等式即可得最值；

⑵由la2b2/1211abi即可證得.

試題解析:

11

--<x4—

(1)由-1|+&+112|(2*-1)-(2*+1)|=2當(dāng)且僅當(dāng)2--2時(shí)，等式成立.

住+4.(1+)2，+號(hào)2￡+A>2

222

(2)'ab/'2/[abj則a?b,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取，等號(hào)成立.

練習(xí)3.已知函數(shù)〃力=卜+1|+歸—2]的最小值為a

(D求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵若x,y,zeR+，且—I----1---=a,求證：x+3y+5z>3.

x3y5z

【答案】(Da=3(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：(1)利用絕對(duì)值的三角不等式，即可求解函數(shù)的最小值，從而得到實(shí)數(shù)4

的值；

(2)由(1)知」+'-+2=3,且工,乂2€7?+,利用柯西不等式作出證明即可.

x3y5z

試題解析：

⑴因?yàn)閗+l|+|x—2月(》+1)-(*-2)|=3,當(dāng)且僅當(dāng)(％+1)(%—2)40,

即一1WxK2時(shí)取等號(hào),所以/(x)的最小值為3,于是a=3

(2)由(1)知工+」-+」=3,且%乂2€7?+,由柯西不等式得

x3y5z

*+3y+5z)

x+3y+5z=—+—+—

3y5z,

回去

練習(xí)4.已知。>0,b>0,且4+〃2=2.

⑴若*+\印》一1卜,—“恒成立，求X的取值范圍;

(2)證明：^+0^+/?5)-4-

99

【答案】(1){x|--<x<-}；(2)見(jiàn)解析.

22

【解析】試題分析：(1)由

可得：耳2%-1卜區(qū)-1|，對(duì)x分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得結(jié)

果：（2）由柯西不等式，可得

(5\12(5\2|2

a2+b2\>^a2+b2^=4.

\7\7

X,X>1

試題解析：（1）設(shè)）=疝-1卜|工-1|={3%-2,；4%<1,

由°2+戶=2>得gg2+b，)=i.

所以：之疝―1Hx—i|.

99

當(dāng)工之1時(shí)，x<-,得

22

19131

當(dāng)一<xvl時(shí)，3%-2<—,解得—，故一<x<l；

2262

1QQQ1

當(dāng)X<一時(shí)，—X<一,解得X—>故—<x<一;

22222

99

綜上，—-.

22

+/+眩+《

ab

=(a2+h2)2+-+--2?V

ab

>(a2+b2y+2,——-2a2/?2=(a2+Z?2)-=4.

另解：

由柯西不等式，可得

(11、、「(]Y(15\2(5\212

I—+-|(?5+Z>5)=—j=+—j=a2+b2>(a2+b2)=4

練習(xí)4.已知函數(shù)/(x)=|2x—l|+|x+l|

(1)解不等式〃x)W3；

a

⑵記函數(shù)g(x)=〃x)+k+l|的值域?yàn)镸,若rwM,證明:t2+\>-+3t.

【答案】(1){x|-l<x<l}(2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：(1)通過(guò)討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可;

(2)求出M,根據(jù)m的范圍以及不等式的性質(zhì)證明結(jié)論即可.

試題解析：

-3x,x-1,

(1)依題意，得/(x)={2—x,l<x<；,

3x,x>—,

2

i,/\XW—1,e,-1<X<—，一,

于是得/(x)<3={_或{2或{2

-3x'3,2-X<3,3X<3,

解得一IWXWI,

即不等式/(x)?3的解集為{x|-

(2)g(x)=/(x)+|x4-l|=|2x—1|+|2J;+2|>|2X-1—2X—2|-3，

當(dāng)且僅當(dāng)(2x—D(2x+2)W0時(shí)，取等號(hào)，

M=[3,+oo),

原不等式等價(jià)于*一3r+1一3，

t

t3-3t2+/-3_(，一3乂產(chǎn)+1)

—9

t￡Mlft—320,廠+1>0,

.(f(入1)〉0

t

3

???產(chǎn)0+12—+3九

t

5.均值不等式的靈活運(yùn)用

例5.已知函數(shù)f“)=2|x-aHx+2].

(1)當(dāng)日二%寸，求不等式可刈2°的解集；

11

—+—=-t

(2)當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)%)的最小值為t,m4n(m>0,n>0),求m+n的最小值.

9

【答案】⑴(-8,0]U[4,+8)⑵16

【解析】試題分析：(D當(dāng)a=l時(shí)，不等式降價(jià)于2|x-l]Z|x+2|,兩邊平方即可求得解集；(2)對(duì),分

類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)得函數(shù)附)的解析式，可得函數(shù)f岡的最小值為3再結(jié)合基本不等式即可求出m+n的

最小值一

試題解析：⑴當(dāng)a=l時(shí)，不等式為2|X-1|-|X+2|20O2|X-1|2|X+2|

兩邊平方得蝕-D22(x+2產(chǎn)，解得x24或x40

f(x)>。的解集為(-8,0]U[4,+8)

/6-x,x<-2,

f(x)=2|x-2|-|x+2|=2-3x,-2<x<2

⑵當(dāng)a=2時(shí)，(x-6,x>2,可得t=-4,

11

—+——4

/.m4n(m>0zn>0)

1/I1\1/5nm\1/5\933

m+n=-(m+n)—+一=-(-+—+一>-|-+1=—n=—m=-

.?.4\m4n/4\4m4n/4\4/16,當(dāng)且僅當(dāng)m=2n,即16,8時(shí)

取等號(hào).

練習(xí)1.已知〃>0,/?>(),c>0,函數(shù),f(九)=c+|。一元|+,+公

(1)當(dāng)。=6=。=1時(shí)，求不等式〃x)>3的解集;

(2)當(dāng)/(X)的最小值為3時(shí)，求Q+8+C的值，并求'的最小值.

abc

【答案】(1){%|xvT或%>1}(2)3

【解析】試題分析：(1)當(dāng)a=b=c=l時(shí)，不等式〃x)>3即|x+l|+|x-1|+1>3,化為：

|x+l|+|x-l|>2.對(duì)x與±1的大小關(guān)系分類討論即可得出.

(2)f^=c+\a—^+\x+t^>\a-x+x+l^+c=\a+l^+c=a+b+c=3.可得

J_+J_+l.=J.(a+/7+c)[l.+J_+J_],再利用均值不等式的性質(zhì)即可得出.

abc3vbc)

試題解析：

(1)/(X)=|x-l|+|x4-l|4-l

x<-\—-1<X<1—x>1

/.｛或｛或｛,

l-2x>33>32x+l>3

解得｛x|xV—1或X>1｝.

(2)f=c+\a-j^+\x+k\>\a-x+x-\-k\+c=\a+k\+c=a+h-\-c=?)

Ill17./I1111(ba\(ca\(ch\

-+-+-=-(?+/?+(?)—+-+-=-3+—+—+—+—+-+-,

abc3\ahc)3|_b)\acyyhc)

>-(3+2+2+2)=3.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=l時(shí)取得最小值3.

練習(xí)2.已知x,y,z均為實(shí)數(shù).

(1)求證：1+2/22/+X2；

⑵若x+2y+3z=6,求k+y?+z?的最小值.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】【試題分析】(1)利用分組分解法將原不等式變形為

(x-l)2(2x2+2A：+l)i(x-l)22(x+g)+：20從而得證.(2)因?yàn)?/p>

6=x+2y+3z<yjx2+y2+z2-Vl+4+9,所以f+/+z?>y.

【試題解析】

證明：(1)法一：(1+2廣)一(2丁+丁)

=2X3(X-1)-(X+1)(X-1)

=(X-1)(2J?—x—1)

=(x—l)^2x3-2x+x-l^

=(x-1)-(2*2+2x+1)

=(1)

所以1+2八2》3+%2.

法二：(1+2X4)-(2X3+X2)

=（X-1）2-X2+（X2-1）2>0,

所以1+2%4?2密+爐.

（2）證明：因?yàn)?=x+2y+3zK，？X7”.石幣（由柯西不等式得）

所以，+/+/之史，

7

當(dāng)且僅當(dāng)％=5即x===2時(shí)，V+J+za有最小值曳.

237777

練習(xí)3.已知正實(shí)數(shù)a，b￡函數(shù)f(x)=|x+a|」x+b|.

⑴若a=l，b=3,解關(guān)于x的不等式f(x)+x+1<0；

(2)求證：f(l)f(c"16abc.

【答案】（1）（-4,-2）；（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）可利用絕對(duì)值的性質(zhì)岡<aQ-a<x<a去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后解不等式組;

(2)利用基本不等式有a+1223>0,b+122^>0,a+c22\￡>0,b+c22qk>0,相乘可

證.

試題解析：

(1)原不等式等價(jià)于。+l)(x+3)|<-x-l

<=>x+1<(x+l)(x+3)<-x-1

X2+5X+4<0-4<X<-1

E2o{/q\

x+3x+2>0、(-2或)()-1

=xW(-4,?2)

(2)?〃，b,c為正數(shù)，所以有

a+1>26>0

b+l>2Jb>0

a+c>2^'ac>0

b+c>2^bc>0,二f(l)f(c)=(a+l)(b+l)(a+c)(b+c)>-2^b-2Jac,2版=16abc

【方法總結(jié)】含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用

絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不

等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法

的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向.

6.任意存在問(wèn)題綜合

例6.已知函數(shù)加)=|2x-l|+|x+l|,g(x)=|x-a|+|x+a|

(1)解不等式f(x”9；

(2)若"I'，3x2eR,使g"i)=f(X2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

/31

I---U一,+8

【答案】(1)卜3,3］；(2)\44、

【解析】試題分析：(1)把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不

等式組的解集，再取并集，即得所求；(2)"XI'R,3X2￡R,使等價(jià)于函數(shù)g(x)的

值域是函數(shù)的值域的子集，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)等價(jià)于fumin'g(X)min,解不等式即

可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

試題解析：(1)???函數(shù)f(x)=|2x-l|+|x+l|,且f(x)49

11

-1<x<-x>-

(x<-12,2

/J-2x+l-x-l<9,ng(-2x+l+x+l<9,或匕x-1+x+1<9

-3<x<3

不等式f（x）49的解集為[-3,3]

Q）由⑴知"心.；?

?,g(x)-|x-a|+|x+a|

.,.8(x)2|(x-a)-(x+a)|-2|a|

、，解得31

f/x\§Ox21al2t;aE(-8,--U+8

由題意知")師卜明2\4

的取值范圍為

【方法總結(jié)工含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利

用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值

不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方

法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向.

7.不等式證明綜合

例7.已知x,y,z均為實(shí)數(shù).

（1）求證:1+2X4>2X3+X2；

(2)若x