2024年烏魯木齊市高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量監(jiān)測試卷附答案解析

年烏魯木齊市高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量監(jiān)測試卷2024年1月一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．已知向量，，則（

）A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．3 B．2或 C．3或 D．25．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C．20 D．306．設(shè)拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與交于A，B兩點，以為直徑的圓與準線切于點，則的方程為（

）A． B． C． D．7．在中，，，，則下列各式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．在滿足，的實數(shù)對中，使得成立的正整數(shù)的最大值為（

）A．15 B．16 C．22 D．23二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．在上有4個零點C．D．將的圖象向右平移個單位，可得的圖象10．若函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．為偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點對稱 D．11．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（

）A．該幾何體的頂點數(shù)為12B．該幾何體的棱數(shù)為24C．該幾何體的表面積為D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分．12．已知集合，，則的子集個數(shù)為.13．在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購買者要求直徑為，不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為；（若，則）14．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，A是右支上一點，滿足，直線交雙曲線于另一點，且，則雙曲線的離心率為．四、解答題：本大題共5小題，共計77分．解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求的前項和．16．我們平時常用的視力表叫做對數(shù)視力表，視力呈現(xiàn)為4.8，4.9，5.0，5.1．視力為正常視力．否則就是近視．某地區(qū)對學(xué)生視力與學(xué)習(xí)成績進行調(diào)查，隨機抽查了100名近視學(xué)生的成績，得到頻率分布直方圖：(1)能否據(jù)此判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與視力狀況相關(guān)；（不需說明理由）(2)估計該地區(qū)近視學(xué)生學(xué)習(xí)成績的第85百分位數(shù)；（精確到0.1）(3)已知該地區(qū)學(xué)生的近視率為54%，學(xué)生成績的優(yōu)秀率為36%（成績分為優(yōu)秀），從該地區(qū)學(xué)生中任選一人，若此人的成績?yōu)閮?yōu)秀，求此人近視的概率．（以樣本中的頻率作為相應(yīng)的概率）17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)在截面內(nèi)是否存在點，使平面，并說明理由．18．已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，過點的兩條直線，分別與橢圓交于另一點A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點；(3)橢圓C的焦點分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．19．已知函數(shù)．(1)證明曲線在處的切線過原點；(2)討論的單調(diào)性；(3)若，求實數(shù)的取值范圍．1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，結(jié)合共軛的定義即可求解.【詳解】，故，故選：A2．C【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題判斷.【詳解】命題“”的否定是“，”.故選：C.3．D【分析】結(jié)合向量的加減運算及數(shù)量積運算進行判斷.【詳解】解：因為，，所以，則，得.故選：D4．C【分析】根據(jù)遞推公式計算即可.【詳解】因為，，所以，所以，，，，所以或，故選：C.5．A【分析】利用二項式定理展開式的通項公式進行計算即可.【詳解】，其展開式的通項公式為，令，則，而的展開式的通項公式為：，令，則的展開式中的系數(shù)為:,故選：A.6．B【分析】求出直線的方程，利用拋物線的性質(zhì)，求出中的縱坐標，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理求解即可得到拋物線方程．【詳解】由于以為直徑的圓與拋物線的準線相切，以為直徑的圓過點，可知的中點的縱坐標為：2，直線的方程為：，則，可得，則中的縱坐標為：，解得，該拋物線的方程為：．故選：B．7．B【分析】根據(jù)題意確定點在線段上靠近點的三等分處，然后根據(jù)三角函數(shù)比例關(guān)系以及二倍角公式化簡得到，，最后化簡可得.【詳解】因為,所以，所以點在線段上靠近點的三等分處，如圖所示，過點作交于點，過點作交于點，則，所以，，所以，，所以.故選：B.8．D【分析】由得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，求得的取值范圍，結(jié)合不等式的知識求得的最大值.【詳解】因為，，所以，設(shè)，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，，所以，，又，，要使得成立，只需，即，所以正整數(shù)的最大值為23.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法.解題的關(guān)鍵是由變換得，構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性得，結(jié)合不等式的知識求得的最大值.9．ABC【分析】結(jié)合圖象，得到函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及圖象變化判斷四個選項即可.【詳解】由圖知，，所以或，又，所以，所以，又因為圖象過，且為下降零點，所以，，故,結(jié)合圖象，即，所以，所以，對于A選項，當，，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，在上單調(diào)遞增，故A正確；、對于B選項，當時，，其中，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，在上有4個零點，故B正確；對于C選項，當時，即，即或，結(jié)合圖象可知，，所以，故C正確；對于D選項，將的圖象向右平移個單位，得，而，故D錯誤，故選：ABC.10．BCD【分析】對于A，令,可得；對于B，令，可得，即可判斷；對于C，令得，再令即可判斷；對于D，根據(jù)條件可得,繼而，進一步分析可得函數(shù)周期為4，分析求值即可.【詳解】對于A，令，則，因為，所以，則，故A錯誤；對于B，令，則，則，故B正確；對于C，令得，，所以，令得，，則的圖象關(guān)于點對稱，故C正確；對于D，由得，又，所以，則，，所以，則函數(shù)的周期為，又，，則，，則，所以，故D正確，故選：BCD.11．ABD【分析】對于A，該幾何體的頂點是正方體各棱的中點，由正方體有12條棱即可判斷；對于B，由該幾何體有6個面為正方形即可判斷；對于C，該幾何體的棱長為，根據(jù)正三角形及正方形的面積公式求解即可判斷；對于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，原正方體外接球的半徑為，該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，根據(jù)球的表面積公式及等差中項的定義即可判斷.【詳解】對于A，該幾何體的頂點是正方體各棱的中點，正方體有12條棱，所以該幾何體的頂點數(shù)為12，故A正確；對于B，由題意知，該幾何體有6個面為正方形，故該幾何體的棱數(shù)為，故B正確；對于C，該幾何體的棱長為，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，所以該幾何體的表面積為，故C錯誤；對于D，原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm，內(nèi)切球表面積為.原正方體外接球的半徑為，外接球表面積為.由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為，所以該幾何體外接球的表面積為.因為，所以該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項，故D正確.故選:ABD.12．4【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出集合的元素個數(shù)，再求解子集個數(shù)即可.【詳解】集合表示直線上點的集合，集合表示圓上點的集合.圓的圓心坐標為，半徑為3，點到直線的距離為,所以直線與圓相交，所以共有2個元素，所以的子集個數(shù)為.故答案為：4.13．0.1##【分析】依題意得，則，由，得，即可求解.【詳解】若，則）因為工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，所以，則，由，得，則要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為.故答案為：##14．【分析】設(shè),由雙曲線的定義得，結(jié)合題中條件可得，，由勾股定理可得，再利用勾股定理即可求得離心率.【詳解】設(shè)，則，又，所以，則，，又，所以三角形為直角三角形，則,即，化為，解得或者（舍），此時，在直角三角形中，,即，所以，所以.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求，進而可得通項公式；（2）根據(jù)題意分析可知數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意可得，則，即，解得，所以.（2）因為，則，且，即數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．16．(1)不能據(jù)此判斷(2)(3)0.72【分析】（1）通過頻率分布直方圖中的各層次成績分布來看即可判斷結(jié)果；（2）先估算出第85百分位數(shù)所在的組別，再運用所占比率即可算得結(jié)果；（3）明確此題為條件概率，需要求積事件的概率，而這可以用乘法公式進行轉(zhuǎn)化，即可求得.【詳解】（1）因從頻率分布直方圖可以看到，不同成績層次的同學(xué)近視率大致相當，故不能據(jù)此判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與視力狀況相關(guān)；（2）由頻率分布直方圖可知，成績90分以下所占比例為，因此第85百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，可以估計該地區(qū)近視學(xué)生的學(xué)習(xí)成績的第85百分位數(shù)約為；（3）設(shè)“該地區(qū)近視學(xué)生”，“該地區(qū)優(yōu)秀學(xué)生”，由頻率分布直方圖可得,,，所以.即若此人的成績?yōu)閮?yōu)秀，則此人近視的概率為0.72.17．(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由題意可建立相應(yīng)空間直角坐標系，結(jié)合空間向量計算即可得；（2）假設(shè)存在，可設(shè)，，，，結(jié)合空間向量解出、，可得其與假設(shè)矛盾，故不存在.【詳解】（1）由平面，、平面，故、，又底面為正方形，故，即、、兩兩垂直，故可以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，可取，因為，所以與平面所成角的正弦值為；（2）假設(shè)截面內(nèi)存在點滿足條件，設(shè)，，，，有，，，所以，因為平面，所以，所以，解得，這與假設(shè)矛盾，所以不存在點，使平面．18．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗證即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達定理得到條件，利用進行計算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設(shè)，設(shè)，，由，整理得，．由韋達定理得，，由得，即，整理得，因為，得，解得或，時，直線過定點，不合題意，舍去；時，滿足，所以直線過定點．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因為，所以，所以，令，，所以，在上單調(diào)遞減，所以的范圍是．19．(1)證明見解析(2)答案見解(3)【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解即可；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)判別式，討論a的取值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（3）把問題轉(zhuǎn)化為，利用一次函數(shù)單調(diào)性得，只需證，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題設(shè)得，所以，又因為，所以切點為，斜率，所以切線方程為，即恒過原點．（2）由（1）得，①時，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減；令，則②且時，即時，，在上單調(diào)遞增，時，，，則，或，得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；，則，則，所以在上單調(diào)遞減，③時，，則，則，所以在上單調(diào)遞減；，則，所以在上單調(diào)遞增，綜上：時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；時，在上單調(diào)遞增；時，在上