2024年撫州市臨川區(qū)高三數(shù)學(xué)九省聯(lián)考后測試卷附答案解析

年撫州市臨川區(qū)高三數(shù)學(xué)九省聯(lián)考后測試卷試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某校高一年級18個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了10個(gè)班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.52．已知向量，滿足，，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．23．過直線上一點(diǎn)M作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若直線PQ過點(diǎn)，則直線PQ的方程為（

）A． B．C． D．4．古城贛州最早有五大城門，分別為鎮(zhèn)南門、百盛門、涌金門、建春門和西津門，贛州某學(xué)校歷史興趣小組決定利用兩個(gè)周日的時(shí)間對五大城門的地理位置及歷史意義進(jìn)行調(diào)研．若約定：每個(gè)城門只調(diào)研一次，且每個(gè)周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，則恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為（

）A． B． C． D．5．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)積的最大值為（

）A． B． C． D．6．已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時(shí)，三棱錐的體積等于（

）A． B． C． D．7．已知，求（

）A． B． C． D．8．若存在，使得對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（）A．B．集合C．函數(shù)的值域?yàn)镈．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增10．如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為11．已知定義在的函數(shù)滿足：①對恒有；②對任意的正數(shù)，恒有．則下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．過點(diǎn)的切線方程C．對，不等式恒成立D．若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知復(fù)平面上一個(gè)動點(diǎn)Z對應(yīng)復(fù)數(shù)z，若，其中i是虛數(shù)單位，則向量掃過的面積為．13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為．14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，動點(diǎn)M在邊DC上（不同于D點(diǎn)），P為邊AB上任意一點(diǎn)，沿AM將△ADM翻折成△AD'M，當(dāng)平面AD'M垂直于平面ABC時(shí)，線段PD'長度的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．(1)求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；(2)若甲以領(lǐng)先乙時(shí)，記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求；(2)證明：.17．如圖，AB是半球O的直徑，，依次是底面上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是半球面上一點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若點(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．18．已知雙曲線，點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E．（二次曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程為）(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點(diǎn)N，，求的值；(3)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過點(diǎn)A、B分別做直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．19．若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列滿足：對于，，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為數(shù)列.記.(1)判斷無窮數(shù)列和是否是數(shù)列，并說明理由；(2)若是數(shù)列，證明：數(shù)列中存在小于1的項(xiàng)；(3)若是數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，使得.1．B【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)第8個(gè)數(shù)與第9個(gè)數(shù)的平均值，即.故選：B.2．A【分析】設(shè)且，建立直角坐標(biāo)系，得到，求得，得到，結(jié)合基本不等式和函數(shù)上的單調(diào)性，即可求解.【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)且，因?yàn)?，可得，則，所以，又因?yàn)橄蛄繚M足，可得，解得，所以，，則，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，所以，又因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即的最小值為.故選：A.3．C【分析】設(shè)，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過點(diǎn)求得t的值，進(jìn)而得到直線PQ的方程.【詳解】圓C：的圓心為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為因?yàn)橹本€PQ過點(diǎn)，所以，解得．所以直線PQ的方程為，即．故選：C．4．A【分析】根據(jù)題意，得到此次調(diào)研的基本事件的總數(shù)為種，再由題設(shè)條件，分為兩類求得恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門和建春門的種數(shù)，集合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，每個(gè)城門只調(diào)研一次，且每個(gè)周日只調(diào)研五大城門中的兩大城門或三大城門，共有種不同的調(diào)研方法，其中恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門和建春門，可得分為：①其中一個(gè)周日只調(diào)研百盛門和建春門，另一個(gè)周日調(diào)研其他三門，有種方法；②其中一個(gè)周日調(diào)研百盛門、建春門和其中另一個(gè)門，另一個(gè)周日調(diào)研剩余的兩門，有種方法，共有種不同的調(diào)研方法，所以恰好在同一個(gè)周日調(diào)研百盛門和建春門的概率為.故選：A.5．B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列通項(xiàng)，借助單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，因此數(shù)列是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)積最大，最大值為.故選：B6．A【分析】根據(jù)異面直線所成角、錐體體積公式等知識求得正確答案.【詳解】因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，故當(dāng)時(shí)，與AD所成角最大，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在直角三角形中，，而，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】異面直線所成角的范圍是，當(dāng)兩條直線所成角為時(shí)，兩直線平行或重合.求解錐體體積的問題，可以考慮利用轉(zhuǎn)換定點(diǎn)的方法，然后利用體積公式來求得三棱錐的體積.7．D【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得，繼而利用三角恒等變換，化簡求值，即得答案.【詳解】由題意知，即，故，即，故，即，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡求值即可.8．C【分析】將題干中的不等式變形為，由題意可知直線恒位于函數(shù)圖象的上方，函數(shù)的圖象的下方，代表直線在軸上的截距，當(dāng)直線變化時(shí)觀察得當(dāng)直線過且與曲線相切時(shí)，最小，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出的值，即可得出的最小值.【詳解】令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，如下圖所示：由題意得，直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，代表直線在軸上的截距，當(dāng)直線變化時(shí)觀察得當(dāng)直線過且與曲線相切時(shí)，最?。O(shè)切點(diǎn)為，則，整理可得，令，則，，而當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有唯一的零點(diǎn)，所以，此時(shí)直線方程為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，通過作出圖象，找出直線與函數(shù)相切時(shí)，最小，然后利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解.9．BD【分析】根據(jù)空集的定義判斷A，根據(jù)集合元素的特征判斷B，根據(jù)所給函數(shù)解析式判斷C，將函數(shù)寫成分段函數(shù)、再分析函數(shù)在各段的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A：或，故A錯(cuò)誤；對于B：，又，令，所以，，即，所以，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對于D：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故D正確；故選：BD10．ACD【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】由條件①結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可設(shè)，再由條件②，求得，選項(xiàng)A，B易判斷；對C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；對D，利用導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的范圍，即可得證.【詳解】恒有，，可設(shè)（其中C為常數(shù)），又對任意的正數(shù)恒有，對任意的正數(shù)恒有，，，，即，對于A，由上式可得，故A正確；對于B，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，，化簡得，解，所以點(diǎn)就是切點(diǎn)，所以切線方程為，故B錯(cuò)誤；對于C，令，，則，令，可得，，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，對恒成立，故C正確；對于D，設(shè)，，在上單調(diào)遞增，且，，所以使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點(diǎn)且滿足，，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，難度較大.首先分析條件①，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得，可設(shè)，再由條件②，代入運(yùn)算求得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)知識可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得解.12．【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的幾何意義，得到復(fù)數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，過原點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，結(jié)合三角形和扇形的面積公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，根?jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)表示以為圓心，以為半徑的圓的圓面，如圖所示，過原點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，在直角中，可得，所以，且，所以，所以復(fù)數(shù)向量掃過的面積為.故答案為：.13．【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，通過求導(dǎo)求出點(diǎn)符合題意，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意得，，即求曲線上一點(diǎn)到距離最小值，又因?yàn)樵谥本€上，所以當(dāng)曲線與直線平行時(shí)，距離取得最小值，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離為，即所求曲線上一點(diǎn)到距離最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)在于將所求式子進(jìn)行化簡，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為距離問題，通過導(dǎo)數(shù)研究曲線即可.本題考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、計(jì)算能力，屬于中檔題.14．##【分析】作直線于點(diǎn)，連接，則翻折后，設(shè)，由，得，，設(shè)，則，，根據(jù)條件得到，然后求出線段長度的最小值．【詳解】作直線于點(diǎn)，連接，則翻折后，平面平面，為兩平面的交線，平面，．設(shè)，由，得，，設(shè)，則，．由知為正三角形，則，，在中，，即，，記，則，由，得，又，，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則當(dāng)時(shí)，，．故答案為：．15．(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果；（2）利用分布列步驟求解并求得期望.【詳解】（1）甲3局全勝的概率為,乙3局全勝的概率為，進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為（2）的可能取值為1，2，，，故的分布列為：12故．16．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得切點(diǎn)與切線斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）寫出函數(shù)解析式，化簡整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.（2）證明：由（1）知，從而等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明面，得到，再結(jié)合線面垂直的判定定理得證；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的空間向量計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）連接，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以四邊形是菱形，設(shè)，則為中點(diǎn)，且，又因?yàn)?，故是等邊三角形，連接，則，又因?yàn)槊妫?，所以面，因?yàn)槊?，所以，因?yàn)橐来问堑酌嫔系膬蓚€(gè)三等分點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)锳B是半球O的直徑，P是半球面上一點(diǎn)，所以，因?yàn)槊妫?，所以面，又因?yàn)槊妫裕?）因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓上的射影為中點(diǎn)，所以面，因?yàn)槊?，所以，又因?yàn)?，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為18．(1)證明見解析(2)0(3)存在【分析】（1）設(shè)，由題意可證得點(diǎn)A，B都在直線上，直線l過點(diǎn)，可得，即可證明點(diǎn)E恒在定直線上．（2）法一：設(shè)，由可得，將其帶入雙曲線方程可得，同理可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得．法二：由題意知，設(shè)l的方程：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)，由可得，同理，將韋達(dá)定理代入即可得出答案.（3）設(shè)，與聯(lián)立，設(shè)，表示出，將韋達(dá)定理代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，由題意得：切線EA的方程為：，將點(diǎn)E帶入得：，同理可得：，易知點(diǎn)A，B都在直線上，所以直線l的方程為：，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，

所以點(diǎn)E恒在定直線上．（2）法一：設(shè)，因?yàn)?，所以整理得因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得，同理可得，所以，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，所以．法二：由題意知，l的斜率存在，設(shè)l的方程：，聯(lián)立得：，所以，設(shè)，因?yàn)?/p>