2023-2024學(xué)年安順市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷附答案解析

-2024學(xué)年安順市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷2024.01第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列滿足點(diǎn)在直線上，則（

）A．3 B．2 C．1 D．03．拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，則點(diǎn)F到l的距離為（

）A．1 B．2 C． D．44．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記，，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則（

）A． B．1 C．10 D．1005．，，是三個(gè)不共面的單位向量，可為空間的一個(gè)基底，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，M為線段FP的中點(diǎn)，若M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為7，則（

）A．8或20 B．20 C．6或22 D．227．如圖，空間四邊形OABC中，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，設(shè)，則（

）

A． B． C． D．18．已知橢圓的上頂點(diǎn)為P，左焦點(diǎn)為F，直線PF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，若，則C的離心率（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，其前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．的最小值為 D．有可能大于110．已知兩直線，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線，的方向向量都不可能平行B．存在實(shí)數(shù)m，使直線垂直于x軸C．存在實(shí)數(shù)m，使直線，互相垂直D．當(dāng)時(shí)，直線的方向向量不存在11．如圖，在正方體中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，下列說(shuō)法正確的是（

）A．與平面ABCD所成角為B．平面ABD與平面的夾角的余弦值為C．當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面D．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離最小12．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，且（為雙曲線的半焦距），點(diǎn)在雙曲線的左支上，點(diǎn)為的內(nèi)心，若成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的離心率 B．C．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值 D．當(dāng)軸時(shí)，第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知等比數(shù)列滿足，則．14．“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”這是唐代邊塞詩(shī)人李頎的《古從軍行》中的詩(shī)句，詩(shī)句中隱含著一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍白天察看烽火臺(tái)之后，從山腳下的某處返回軍營(yíng)，途中須到河邊飲馬然后再趕回軍營(yíng)，將軍怎樣走才能使返回總路程最短？已知在平面直角坐標(biāo)系中，軍營(yíng)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)返回軍營(yíng)，河岸線所在直線方程為．則返回總路程最短為．15．如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕折成四面體．當(dāng)四面體中滿足平面平面時(shí)，則（1）；（2）平面平面；（3）為等腰直角三角形以上結(jié)論中正確的是（填寫(xiě)你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)）．16．已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，，為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為108，則雙曲線C的方程為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知數(shù)列中，，（，），且是和的等差中項(xiàng)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式．18．已知直線，圓．(1)若直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，且（為圓的圓心）為直角三角形，求實(shí)數(shù)的值．19．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)恒滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．20．將矩形面繞邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到如圖所示幾何體．已知，，點(diǎn)E在線段上，P為圓弧的中點(diǎn)．(1)當(dāng)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AE寫(xiě)所成角的余弦值；(2)在線段上是否存在點(diǎn)E，使得平面？如果存在，求出線段BE的長(zhǎng)，如果不存在，說(shuō)明理由．21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的表達(dá)式．22．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，P為橢圓C上位于第三象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，探究四邊形ABNM的面積是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．C【分析】利用傾斜角和斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】易知的斜率為，顯然傾斜角為.故選：C2．A【分析】將點(diǎn)代入直線方程可得通項(xiàng)，即可求解.【詳解】點(diǎn)在直線上，所以，故，故選：A3．B【分析】利用拋物線的方程和幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由拋物線方程可知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，所以焦點(diǎn)到的距離為2.故選：B4．C【分析】首先由題意得到遞推關(guān)系式，再求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】，即,因?yàn)?，，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為，則則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)，所以，即，所以.故選：C5．A【分析】根據(jù)基底的定義，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)基底的定義，可知，若，，是三個(gè)不共面的單位向量，則可為空間的一個(gè)基底，反過(guò)來(lái)，若為空間的一個(gè)基底，則，，是三個(gè)不共面的向量，不一定是單位向量，所以是的充分不必要條件.故選：A6．B【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求.【詳解】由雙曲線方程可知，，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，則，又因?yàn)?故選：B7．B【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】，，，，即，，，所以.故選：B8．D【分析】根據(jù)給定條件求出的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求解.【詳解】由題意可得，由于，所以，由于在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)可得，由于，故，故選：D

9．BC【分析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義，即可證明函數(shù)單調(diào)性，判斷AB；利用裂項(xiàng)相消法求，即可判斷CD.【詳解】，所以，則數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤，B正確；，則，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC10．AC【分析】根據(jù)直線平行以及垂直滿足的系數(shù)關(guān)系，即可結(jié)合方向向量的定義逐一求解.【詳解】若兩直線的方向向量平行，則，則無(wú)實(shí)數(shù)解，故兩直線的方向向量不可能平行，故A正確，由于的斜率為，所以直線不可能垂直于x軸，B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，此時(shí)兩直線垂直，C正確，當(dāng)時(shí)，直線，則其方向向量可以為，故D錯(cuò)誤，故選：AC11．BCD【分析】根據(jù)線面角的概念即可求解判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩平面的夾角及證明線面垂直，求解點(diǎn)到平面的最小距離，即可判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，所以為與平面ABCD所成的角，因?yàn)?，所以與平面ABCD所成角為，錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ABD與平面的夾角為，則，所以平面ABD與平面的夾角的余弦值為，正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，則，因?yàn)椋?，又，所以，平面，平面，所以平面，正確；對(duì)于D，設(shè)，則，所以點(diǎn)P到平面的距離為，故當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離最小，正確.故選：BCD12．ABC【分析】根據(jù)雙曲線的離心率、內(nèi)切圓等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，即，解得（負(fù)根舍去），所以A選項(xiàng)正確.若軸，則，由，解得，不妨設(shè)，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)三角形的內(nèi)切圓分別與線段相切于點(diǎn)，所以，則，解得，而，所以，而軸，所以，所以C選項(xiàng)正確.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由于，所以，則，則，即，所以B選項(xiàng)正確.故選：ABC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在雙曲線中，求解焦點(diǎn)三角形有關(guān)問(wèn)題，可以考慮利用雙曲線的定義來(lái)進(jìn)行求解.求解通徑有關(guān)問(wèn)題，可記住雙曲線的通徑長(zhǎng)度.求解三角形內(nèi)切圓有關(guān)的問(wèn)題，可以考慮切線長(zhǎng)有關(guān)知識(shí)來(lái)進(jìn)行求解.13．3【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，故答案為：314．【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】過(guò)作關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)，所以，解得，所以，故最短距離為.故答案為：

15．（1）（2）【分析】通過(guò)面面垂直的性質(zhì)可判斷（1），通過(guò)證明面可判斷（2），通過(guò)證明可判斷（3）.【詳解】AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，則，又平移后平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，（1）正確；由已知，且面，所以面，又面，所以平面平面，（2）正確；由平面，且平面，所以，所以，由，所以，所以為等邊三角形，（3）錯(cuò)誤.故答案為：（1）（2）.16．【分析】首先求得，并利用直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，并結(jié)合雙曲線的定義表示的周長(zhǎng)，即可求解雙曲線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸進(jìn)性方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，，，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為108，所以，得，所以雙曲線方程為.故答案為：17．(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)題意可得，再由是和的等差中項(xiàng)建立等式即可求解；（2）構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式求解化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）根據(jù)題意有，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，解得．（2）由（1）知，所以，又，所以（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．則，所以．18．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】（1）易知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑．由直線與圓無(wú)公共點(diǎn)知，圓心到直線的距離或．故實(shí)數(shù)的取值范圍是或．（2）由題意知，半徑CA，CB互相垂直，為等腰直角三角形．又圓心到直線的距離為，可得，又，即，解得：．19．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得出韋達(dá)定理，再代入計(jì)算得即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由題設(shè)及拋物線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為拋物線，故點(diǎn)P的軌跡C的方程為：．（2）由（1）得，曲線C的方程為：．由題設(shè)可知，直線l的斜率必不為0，故設(shè)，由得：．設(shè)，，則，．所以，，故．20．(1)(2)存在；【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法處理即可.（2）利用空間位置關(guān)系的向量證明即可.【詳解】（1）如圖，以A為原點(diǎn)，以AC，AB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz．則，，，，當(dāng)E是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，，則，所以異面直線AE與所成角的余弦值為．（2）設(shè)，設(shè)平面的法向量為，又，，，所以，令，得，若平面，則，解答．所以在線段上存在點(diǎn)E，使得平面，此時(shí)．21．(1)(2)【分析】（1）利用求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以（，）．所以（，）．又也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）知，所以，．兩式作差得，．22．(1)(2)存在；定值4【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，再結(jié)合條