高中人教A版數(shù)學單元素養(yǎng)檢測第七章復數(shù)

單元素養(yǎng)檢測(二)(第七章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.若復數(shù)z2+3i=1i,則|z|=()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選C.由z2+3i=1i,得z=34i,|z|=5.2.復數(shù)z=QUOTE在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為復數(shù)z=QUOTE=QUOTE=1i,所以復數(shù)在復平面上對應的點(1,1)位于第三象限.【補償訓練】在復平面上,復數(shù)QUOTE對應的點在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.由題意,復數(shù)QUOTE=1+QUOTEi,所以復數(shù)QUOTE對應的點的坐標為QUOTE位于第一象限.3.若z(1+i)=2i,則z=()A.1i B.1+i C.1i D.1+i【解題指南】等式兩邊同除以(1+i),表示出z,再利用復數(shù)的除法計算.【解析】選D.z(1+i)=2i,z=QUOTE=QUOTE=i(1i)=1+i.4.(2020·吉安高一檢測)設復數(shù)z滿足z=1+QUOTE,則|z|=()A.4 B.QUOTE C.43i D.5【解析】選D.由復數(shù)運算得z=1+QUOTE=1+QUOTE=43i,則|z|=QUOTE=5.5.已知a是實數(shù),QUOTE是純虛數(shù),則a=()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.1【解析】選A.由于a是實數(shù),且QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi是純虛數(shù),則2a1=0,解得a=QUOTE.6.若i為虛數(shù)單位,圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z,則表示復數(shù)QUOTE的點是()A.E B.F C.G D.H【解析】選D.由圖可知z=3+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2i,對應復平面內(nèi)的點H.7.已知a∈R,z=(a2-3a+2)+(a1)i,則“a=2”是“z為純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.若復數(shù)z=(a2-3a+2)+(a1)i是純虛數(shù),則a2-3a+2=0,且a1≠0,得a=2.反之亦然.所以“a=2”是“z為純虛數(shù)”的充要條件.【補償訓練】若復數(shù)z1z2≠0,則“z1z2=QUOTE”是z2=QUOTE成立的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.若z2=QUOTE,則z1z2=z1QUOTE=QUOTE成立;若z1z2=QUOTE,不妨取z1=2,z2=1,則有z1z2=QUOTE成立,但z2=QUOTE不成立,所以z1z2=QUOTE是z2=QUOTE成立的必要不充分條件.8.已知復數(shù)z0=1+2i在復平面上的對應點為P0,則P0關于直線l:|z22i|=|z|的對稱點表示的復數(shù)是()A.i B.i C.1i D.1+i【解析】選B.如圖,O為原點,A(2,2),直線l:|z22i|=|z|是線段OA的垂直平分線,P0的對稱點即是(0,1),其對應的復數(shù)為i.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.(2020·棗莊高一檢測)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i為虛數(shù)單位,則下列元素屬于集合M的是()A.(1i)(1+i) B.QUOTEC.QUOTE D.(1i)2【解析】選BC.根據(jù)題意,M={m|m=in,n∈N}中,n=4k(k∈N)時,in=1;n=4k+1(k∈N)時,in=i;n=4k+2(k∈N)時,in=1;n=4k+3(k∈N)時,in=i,所以M={1,1,i,i}.選項A中,(1i)(1+i)=2?M;選項B中,QUOTE=QUOTE=i∈M;選項C中,QUOTE=QUOTE=i∈M;選項D中,(1i)2=2i?M.10.已知i為虛數(shù)單位,R為實數(shù)集,C為復數(shù)集,下列表示正確的是()A.i2∈R B.2020i∈CRC.1+i2?CR D.2019i?C【解析】選ABC.已知i為虛數(shù)單位,R為實數(shù)集,C為復數(shù)集,CR為虛數(shù)集,得i2=1∈R,2020i∈CR,1+i2=0?CR,2019i∈C.11.已知復數(shù)z=QUOTE,則下列結論正確的是()A.z的虛部為i B.|z|2=2C.z2為純虛數(shù) D.QUOTE=1+i【解析】選BC.因為復數(shù)z=QUOTE=QUOTE=1+i,則z的虛部為1,A不正確.|z|2=2,B正確.z2=(1+i)2=2i為純虛數(shù),C正確.QUOTE=1i,D不正確.12.已知i為虛數(shù)單位,z∈C,下列命題為真命題的是()A.若z(3+2i)=i,則z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,則z=4+3iC.若z+|z|=2+i,則z=QUOTE+iD.若z·(2+i)=105i,則QUOTE=34i【解析】選ABC.若z(3+2i)=i,則z=3+2i+i=3+3i,選項A是真命題.若z(3+4i)=25i,則z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4+3i,選項B是真命題.設z=x+yi(x,y∈R),則由z+|z|=2+i,得x+yi+QUOTE=2+i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=QUOTE+i,所以選項C是真命題.若z·(2+i)=105i,則z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=34i,QUOTE=3+4i,選項D是假命題.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z=2+ai(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點在直線x3y+1=0上,則z的共軛復數(shù)QUOTE=________.

【解析】復數(shù)z=2+ai(a∈R)在復平面內(nèi)對應的點為(2,a),代入直線x3y+1=0,可得2-3a+1=0,解得a=1,故復數(shù)z=2+i,所以復數(shù)z的共軛復數(shù)QUOTE=2i.答案:2i14.若(a2i)i=bi,其中a,b∈R,i是虛數(shù)單位,z=(a+bi)2,則QUOTE=________.

【解析】由(a2i)i=bi,得ai+2=bi,即(2b)+(a+1)i=0,得a=1,b=2,所以z=(a+bi)2=(1+2i)2=34i,QUOTE=5.答案:515.已知QUOTE=b+i(a,b∈R),其中i為虛數(shù)單位,則a+b=________.

【解析】因為QUOTE=b+i,所以a+2i=bi1,所以QUOTE所以a+b=1.答案:116.已知2+i,2i是實系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0在復數(shù)范圍內(nèi)的兩個根,則p=__________,q=__________.

【解析】由題意得:(2+i)+(2i)=p,(2+i)(2i)=q,所以p=4,q=5.答案:45四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知復數(shù)z1滿足(z12)(1+i)=1i(i為虛數(shù)單位),復數(shù)z2的虛部為2,且z1·z2是實數(shù),求z2.【解析】可以結合復數(shù)z2的虛部為2,設z2=a+2i,由已知復數(shù)z1滿足(z12)·(1+i)=1i,得z1=2i,又z1·z2=(2i)(a+2i)=(2a+2)+(4a)i是實數(shù),則虛部4a=0,即a=4,即復數(shù)z2=4+2i.18.(12分)已知z是復數(shù),z+2i,QUOTE均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位),對于復數(shù)w=(z+ai)2,當a為何值時,w為:(1)實數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).【解析】設z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=2,QUOTE=QUOTE=QUOTE(x2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x4)i.由題意得x=4,所以z=42i.因為w=(z+ai)2=(12+4aa2)+8(a2)i,(1)當w為實數(shù)時,令a2=0,所以a=2,(2)w為虛數(shù),只要a2≠0,所以a≠2.(3)w為純虛數(shù),只要12+4aa2=0且a2≠0,所以a=2或a=6.19.(12分)已知復數(shù)z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).(1)若復數(shù)z在復平面上所對應的點在第二象限,求m的取值范圍;(2)求當m為何值時,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因為復數(shù)z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在復平面上所對應的點在第二象限,所以QUOTE解得3<m<QUOTE,所以m的取值范圍是QUOTE.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m=5(m+1)2+5,所以當m=1時,|z|min=QUOTE.20.(12分)已知z1=cosθ+isin2θ,z2=QUOTEsinθ+icosθ,當θ為何值時:(1)z1=z2;(2)z1,z2對應點關于實軸對稱;(3)|z2|<QUOTE.【解析】(1)因為z1=z2,所以QUOTE即QUOTE解得θ=2kπ+QUOTE(k∈Z).(2)因為z1與z2對應點關于實軸對稱,所以QUOTE即QUOTE解得θ=2kπ+QUOTEπ(k∈Z).(3)因為|z2|<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE,即3sin2θ+cos2θ<2,化簡得sin2θ<QUOTE,解得QUOTE<sinθ<QUOTE,所以kπQUOTE<θ<kπ+QUOTE(k∈Z).21.(12分)已知復數(shù)z=(2+i)QUOTE(其中i是虛數(shù)單位,x∈R).(1)若復數(shù)z是純虛數(shù),求x的值;(2)若函數(shù)f(x)=|z|2與g(x)=mx+3的圖象有公共點,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因為z=(2+i)QUOTE=(2x)+(1x)i,且復數(shù)z為純虛數(shù),所以QUOTE解得x=2.(2)由(1)知函數(shù)f(x)=|z|2=(2x)2+(1x)2=2x26x+5,又函數(shù)f(x)與g(x)=mx+3的圖象有公共點,所以方程2x26x+5=mx+3有解,即方程2x2+(m6)x+2=0有解,所以Δ=(m6)24×2×2≥0,所以m≤2或m≥10.所以實數(shù)m的取值范圍是(∞,2]∪[10,+∞).【補償訓練】已知z1=x2+iQUOTE,z2=x2+ai對于任意實數(shù)x,都有QUOTE>QUOTE恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.【解析】依題意,得|z1|=QUOTE,|z2|=QUOTE,|z1|>|z2|?|z1|2>|z2|2?x4+x2+1>x4+a2?x2+1>a2?1<a<1.所以實數(shù)a的取值范圍是(1,1).22.(12分)已知關于x的方程x2(tanθ+i)x(i+2)=0(θ∈R,x∈C)(1)若此方程有實數(shù)根,求銳角θ的值;(2