第03次課J-分離變量法在一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱㈠別離變量法在一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用一、無限大平壁一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱〔參考文獻(xiàn)[1]PP45-50〕大平壁在等溫介質(zhì)中的冷卻：常物性、無內(nèi)熱源、第三類邊界條件〔見圖1〕。圖1令：，導(dǎo)熱微分方程為：初始條件為：；邊界條件：假設(shè)解的形式為那么兩個常微分方程：方程(3—2—3)的解是由下表知，特征方程〔3-2-4〕的為，特征值為方程的正根，范數(shù)那么根據(jù)，得待定常數(shù)為：，其中，二、半無限大物體一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱〔參考文獻(xiàn)[2]PP40-45〕常物性、無內(nèi)熱源、第二、三類邊界條件典型問題：一半無限大物體，，初始溫度為F(x)，當(dāng)時間τ＞0時，x＝0的邊界上以對流方式向溫度為零度的介質(zhì)傳輸熱量，如圖2所示。該問題的數(shù)學(xué)描述為：三、多維的齊次問題〔參考文獻(xiàn)[2]PP49-57〕典型問題：矩形截面的柱體，為二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，材料為常物性，物體內(nèi)沒有內(nèi)熱源，邊界條件如圖3所示。，，圖3矩形截面柱體的二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱令，別離方程如下：，，上述問題的完全解為：求解待定系數(shù)Cmn后，得：上式中出現(xiàn)的本征函數(shù)、本征值及范數(shù)可從表1-2中直接查得，即：，，且為方程的正根：，，且為方程的正根：四、某些非齊次或非線性問題的處理思路1、線性、齊次多維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題〔參考文獻(xiàn)[2]PP57-61〕對線性、齊次多維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，可以象一維問題那樣，用別離變量法求解，其結(jié)果必定是二重或三重級數(shù)，不便于計算和應(yīng)用。在一定條件下，規(guī)那么物體中齊次多維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的解可以簡單地用相應(yīng)一維問題解的乘積來表示，此即紐曼(Neumann)乘積定理。應(yīng)用該定理的條件是：(1)熱傳導(dǎo)問題必須是齊次的，(2)物體的初始溫度均勾或者可以分解成相應(yīng)單個空間變量函數(shù)的乘積。2、變導(dǎo)熱系數(shù)的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱〔參考文獻(xiàn)[2]PP473-476〕如果導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度的變化不可忽略，就成為一個變導(dǎo)熱系數(shù)的導(dǎo)熱問題。變導(dǎo)熱系數(shù)時的導(dǎo)熱微分方程是非線性的。可以用基爾霍夫變換可把非線性的導(dǎo)熱微分方程變?yōu)榫€性的微分方程。設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)λ＝λ(t)，導(dǎo)熱微分方程為：。作基爾霍夫變換，那么。所以，上式變成。在對微分方程作基爾霍夫變換的同時，邊界條件也應(yīng)作相應(yīng)的變換。因此只有在第一類或第二類邊界條件時，通過基爾霍夫變換，邊界條件才能變成線性邊界條件，所以基爾霍夫變換才有效。對于新的變量T，可以用別離變量法求解，在T求得后，再求出溫度t的值。3、含內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱〔非齊次項與時間無關(guān)〕〔參考文獻(xiàn)[3]PP72-75〕含內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題，導(dǎo)熱微分方程中出現(xiàn)源項，因而變?yōu)榉驱R次的偏微分方程。當(dāng)導(dǎo)熱微分方程和邊界條件中的非齊次項均與時間無關(guān)時，那么可將這類非齊次問題的解分解為與時間無關(guān)的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題之解與齊次非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題之解的和。設(shè)溫度場的解由兩局部組成，即。其中，v(x，y)是微分方程的任一特解，亦即v(x，y)只滿足微分方程，而不滿足原導(dǎo)熱問題的邊界條件。而u(x，y)滿足原微分方程對應(yīng)的齊次微分方程，即：。而且滿足原導(dǎo)熱問題的邊界條件，由此推導(dǎo)出的邊界條件。由此可見，含內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題的求解，首先求非齊次方程的任一待解，然后求相應(yīng)的齊次方程的解，的求解方法與無內(nèi)熱源導(dǎo)熱問題的方法相同。4、非齊次項與時間有關(guān)〔參考文獻(xiàn)[2]PP228-223、參考文獻(xiàn)[3]PP75-76〕再世際應(yīng)用中，還會遇到熱傳導(dǎo)問題的非齊次項與時間有關(guān)的情形，例在實際應(yīng)用中，還會遇到熱傳導(dǎo)問題的非齊次項與時間有關(guān)的情形，例如物體被加熱或冷卻，其邊界溫度(在第一類邊界條件下)或環(huán)境溫度(第三類邊界條件下)按一定規(guī)律隨時間而變化。對于這種情形，可以在同一熱傳導(dǎo)問題但非齊次項與時間無關(guān)時的解的根底上，利用杜哈美爾(Duhamel)定理進(jìn)行求解。5、當(dāng)邊界條件不滿足SL問題的要求〔教材PP30-31〕問題：如下數(shù)學(xué)描述令：，導(dǎo)熱微分方程為：初始條件為：；邊界條件：令，其中是時平壁內(nèi)的溫度分布〔直線分布〕，即：關(guān)于的數(shù)學(xué)描述如下：導(dǎo)熱微分方程為：初始條件為：；邊界條件：五、周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的別離變量解〔教材PP33-37〕問題1：半無限大物體第一類邊界條件下的周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱令，導(dǎo)熱微分方程為：，初始條件為：壁面溫度〔Aw〕，壁內(nèi)溫度待求；邊界條件：問題2：半無限大物體第三類邊界條件下的周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱令，導(dǎo)熱微分方程為：，初始條件為：壁面溫度〔Aw〕，壁內(nèi)溫度待求；邊界條件：，，，其中六、別離變量法總結(jié)1、通過教材CHP2共計9個問題的求解過程，掌握各種情況下別離變量法的數(shù)學(xué)根底及分析步驟，在求解過程中尤其注意充分利用特征函數(shù)、特征值、模數(shù)表〔如教材P25表2-1、參考文獻(xiàn)[2]P37表2-2、P43表2-3、P97表3-1、P102表3-2、P103表3-3〕。2、特征值表達(dá)式的6種形式〔參考文獻(xiàn)[3]PP24-26〕。(1)兩個齊次邊界均是第一類邊界條件，此時，特征值由下式求得：，，，。(2)兩個齊次邊界條件均是第二類邊界條件(絕熱邊界)，此時，特征值由下式求得：，，，。與(1)比，也是一個重要的特征值，不能遺忘。這是因為，此處的特征函數(shù)為時，常數(shù)l也是特征函數(shù)。(3)兩個齊次邊界條件中，一個是第一類邊界條件，另一個是第二類邊界條件，此時，特征值的表達(dá)式為：，，。(4)兩個齊次邊界條件中，一個是第一類邊界條件，另一個是第三類邊界條件。這里假設(shè)x＝0處為第一類邊界條件。在此條件下，特征值的表達(dá)式為：，，。(5)兩個齊次邊界條件中，一個是第二類邊界條件，另一個是第三類邊界條件，這里假設(shè)x＝0處為第二類邊界條件。此時，特征值的表達(dá)式為：，，。(6)兩個邊界都是齊次第三類邊界條件，此時，特征值由下式?jīng)Q定：特征值不僅與Bi2有關(guān)，而且與Bil有關(guān)，當(dāng)Bi1＝Bi2＝Bi，即兩個邊界處的對流換熱系數(shù)相同時，上式變?yōu)椋?，特征解為：，，其?、別離變量法的應(yīng)用條件。別離變量法可直接求解僅含有一個非齊次邊界條件的Laplace及付立葉方程，或者偏微分方程存在特征函數(shù)。假設(shè)不滿足該條件，應(yīng)通過各種變換來到達(dá)該條件后，再利用別離變量法求解