第4篇 第17章 可靠性中常用的概率分布

第四篇可靠性設(shè)計(jì)

第十七章可靠性中常用的概率分布

主講：謝里陽(yáng)教授內(nèi)容提要二項(xiàng)分布函數(shù)泊松(Poisson)分布函數(shù)正態(tài)(Gauss)分布概率密度函數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)威布爾(Weibull)分布概率密度函數(shù)指數(shù)分布概率密度函數(shù)可靠性設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。載荷、強(qiáng)度、壽命等是可靠性設(shè)計(jì)涉及的基本參數(shù)與重要指標(biāo)。這些指標(biāo)一般都是隨機(jī)變量，有一定的取值范圍，服從一定的統(tǒng)計(jì)分布?？煽啃怨こ讨谐Ｓ玫姆植加卸?xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布等。隨機(jī)變量樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理：分布擬合、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、概率計(jì)算、置信度確定等等。分布特征隨機(jī)變量分為離散型和連續(xù)型兩類：離散型隨機(jī)變量的取值xi是可數(shù)的。連續(xù)型隨機(jī)變量x在其定義域內(nèi)取任意值。密度函數(shù)必須滿足：對(duì)于所有x的值，對(duì)于連續(xù)型分布，對(duì)離散型的分布,積累分布函數(shù)是隨機(jī)變量X小于某個(gè)具體值的概率：P(X<x)。連續(xù)型隨機(jī)變量的積累分布函數(shù)定義為：

17.1二項(xiàng)分布試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果A和ā，P(A)=p，P(ā)=q。用X表示在n重獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的可能取值為0，1，2，…，k，…n，在這種情形X服從的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為:X

B(n,p)，其概率分布為：

二項(xiàng)分布的數(shù)字特征：E(X)=np，D(X)=np(1-p)。二項(xiàng)分布的主要應(yīng)用是在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)或可靠性抽樣檢驗(yàn)等問(wèn)題中設(shè)計(jì)抽樣檢驗(yàn)方案。在可靠性設(shè)計(jì)中，二項(xiàng)分布可用于獨(dú)立失效系統(tǒng)的可靠性計(jì)算和可靠性分配等。17.2泊松(Poisson)分布泊松分布：

泊松分布的數(shù)字特征為：E(X)=

，D(X)=

。在泊松分布中，令失效數(shù)k=0，有17.3正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)定義為：

其中：

是分布的均值，

是分布標(biāo)準(zhǔn)偏差。正態(tài)分布是以t=

為對(duì)稱軸的對(duì)稱型分布，且在t=

處取得最大值。改變

時(shí)，分布曲線發(fā)生平移，改變

時(shí)對(duì)稱軸位置不變

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

＝0，

＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：正態(tài)分布是最常用的分布，在機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)中，可以用來(lái)描述零件的強(qiáng)度分布。從物理背景上講，如果影響某個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立因素很多，且不存在起決定作用的主導(dǎo)因素時(shí)，則該隨機(jī)變量一般可用正態(tài)分布來(lái)描述。正態(tài)分布隨機(jī)變量的取值范圍從負(fù)無(wú)窮大直到正無(wú)窮大，從這一點(diǎn)來(lái)看，強(qiáng)度不可能是真正的正態(tài)分布，而只可能是截尾正態(tài)分布。17.4對(duì)數(shù)正態(tài)分布若X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y＝ln(X)服從正態(tài)分布，即

Y=ln(X)～N(

,

2)則稱X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。對(duì)數(shù)正態(tài)概率密度函數(shù)是：f(x)=

和

不是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而分別稱為它的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)數(shù)正態(tài)分布是一種偏態(tài)分布，是可以用來(lái)描述零件疲勞壽命分布的一種分布形式。17.5威布爾(Weibull)分布Weibull采用“鏈?zhǔn)健蹦Ｐ脱芯俊⒚枋隽私Y(jié)構(gòu)強(qiáng)度和壽命問(wèn)題，假設(shè)一個(gè)結(jié)構(gòu)是由n個(gè)小元件串聯(lián)而成，將結(jié)構(gòu)看成是由n個(gè)環(huán)構(gòu)成的一條鏈子，其強(qiáng)度（或壽命）取決于最薄弱環(huán)的強(qiáng)度（或壽命）。單個(gè)鏈的強(qiáng)度（或壽命）為一隨機(jī)變量，設(shè)各環(huán)強(qiáng)度（或壽命）相互獨(dú)立，分布相同，則求鏈強(qiáng)度（或壽命）的概率分布就變成求極小值分布問(wèn)題，由此得出了威布爾分布函數(shù)。由于威布爾分布是根據(jù)最弱環(huán)節(jié)模型或串聯(lián)模型得到的，能充分反映材料缺陷等因素對(duì)材料疲勞壽命的影響，所以作為材料或零件的壽命分布模型或給定壽命下的疲勞強(qiáng)度模型比較合適。三參數(shù)威布爾分布記為T~W(

,

,

)，其中

為形狀參數(shù)，

為尺度參數(shù)，

為位置參數(shù)，三參數(shù)威布爾分布的密度函數(shù)為

三參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)為：威布爾分布的均值

威布爾分布的方差

若把三參數(shù)威布爾分布的位置參數(shù)

取為0，則簡(jiǎn)化為兩參數(shù)威布爾分布。其密度函數(shù)為兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)為η=1時(shí)雙參數(shù)威布爾分布的各函數(shù)曲線η=1，α=0.2時(shí)三參數(shù)威布爾分布的各函數(shù)曲線如果

<1，那么威布爾分布的均值將大于η。如果

＝1，威布爾分布的均值等于η

。如果

>1，威布爾分布的均值小于η

，且隨著t的減小接近于η

。隨著增長(zhǎng)到無(wú)窮，威布爾分布的方差減小，且無(wú)限接近于0。17.6指數(shù)分布指數(shù)分布的密度函數(shù)為

式中

為常數(shù)，是指數(shù)分布的失效率。指數(shù)分布的分布函數(shù)F(x)=1-e-

x

指數(shù)分布的數(shù)字特征為:E(t)=θ=1/λ，D(t)=θ2=1/λ2

。若產(chǎn)品在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)的失效數(shù)服從泊松分布，則該產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布。

指數(shù)分布可以看作是威布爾分布中的形狀參數(shù)等于1時(shí)的特殊情形。在電子元器件的可靠性問(wèn)題中，指數(shù)分布曾廣泛應(yīng)用。此外，指數(shù)分布還可用來(lái)描述大型復(fù)雜系統(tǒng)的故障間隔時(shí)間的分布，特別是在部件或機(jī)器的整機(jī)試驗(yàn)中得到了廣泛的應(yīng)用。例1用20個(gè)零件進(jìn)行可靠性實(shí)驗(yàn)，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)只允許有2個(gè)零件失效。已知每次