2022中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)方程（組）與不等式（組）突破精講精練（解析版）

2022中考熱點(diǎn)方程（組）與不等式（組）

【考綱解讀】

1.了解：方程及其解的概念；一元一次方程及其解的概念；二元一次方程（組）及其解的概念；不等式的

概念；一元一次不等式（組）的概念；一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念.

2.理解：解一元一次方程的步驟；列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟；二元一次方程（組）的解法；二

元一次方程（組）的應(yīng)用；不等式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用；一元一次不等式（組）的解法；一元二次方程的

解法；根的判別式；分式方程的增根.

3.會(huì)：識(shí)別一個(gè)（組）數(shù)是不是方程（組）的解；解一元一次方程；列一元一次方程解應(yīng)用題；二元一次

方程組的概念并會(huì)判斷；選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M；識(shí)別不等式（組）；識(shí)別一個(gè)數(shù)是不是不等

式的解（集）并會(huì)在數(shù)軸上表示；會(huì)解一元一次不等式（組），并會(huì)表示解集；識(shí)別一元二次方程；判斷一

元二次方程根的情況；根與系數(shù)的關(guān)系；識(shí)別分式方程；識(shí)別分式方程的增根；解分式方程。

4.掌握：解一次方程（組）的解法；列一元一次方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟；不等式基本性質(zhì)及其應(yīng)

用；一元一次不等式（組）的解法；由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的

解法及其應(yīng)用.

5.能：靈活解出二次一次方程組；由實(shí)際問題抽象出一元一次方程或一次方程組；應(yīng)用性質(zhì)進(jìn)行恒等變

形；由實(shí)際問題抽象出不等式（組）；靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋挥蓪?shí)際問題抽象出分式方程.

【命題形式】

1.從考查的題型來看，填空題或選擇題、解答題的形式都有考查，不同時(shí)存在一套試題，占比分相當(dāng)大，

難度屬于中檔題較多.

2.從考查內(nèi)容來看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)有：由實(shí)際問題抽象出一次方程組，判斷一次方程（組）的解、

解一次方程組，不等式的基本性質(zhì)，解一元一次不等式（組），并會(huì)表示解集，一元一次不等式（組）的應(yīng)

用，一元二次方程的定義及解法，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，分式方程與一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.

3.從考查熱點(diǎn)來看，涉及本知識(shí)點(diǎn)的有：二次一次方程組的解法；由實(shí)際問題列出二次一次方程組；由二

元一次方程組的解求有關(guān)問題等比較受命題者的關(guān)注；不等式的基本性質(zhì)；解一元一次不等式（組）；解

集在數(shù)軸上表示；一元一次不等式（組）的應(yīng)用；分式方程的增根問題；根與系數(shù)的關(guān)系；分式方程與一

元二次方程的解法及其實(shí)際應(yīng)用.

【限時(shí)檢測(cè)】

A卷（建議用時(shí)：70分鐘）

1.（2021?山東聊城市?中考真題）關(guān)于x的方程N(yùn)+4入+2/=4的一個(gè)解是-2,則k值為（）

A.2或4B.0或4C.-2或0D.-2或2

【答案】B

【分析】把4-2代入方程即可求得k的值；

【詳解】解：將％=-2代入原方程得到：2公-8k+4=4,解關(guān)于比的一元二次方程得：D或4,故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，代入解求值是關(guān)鍵.

2.（2021?浙江麗水市?中考真題）用配方法解方程f+4x+l=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）

2

A.（》一2尸=5B.（x-2f=3c.（x+2）2=5D（%+2）=3

【答案】D

【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后把方程左邊利用完

全平方公式寫成平方形式即可.

【詳解】解：?.?/+4》+1=0，，X2+4X=-1，

X2+4X+4=-1+4>（X+2）2=3,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法對(duì)一元二次方程求解，解題的關(guān)鍵是：熟練運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方.

ab

2.（2021?湖南?中考模擬）閱讀理解：a,b,c,d是實(shí)數(shù)，我們把符號(hào),稱為2x2階行列式，并且

ca

ab32

規(guī)定：—axd—hxc,例如：=3x（―2）—2x（―1）=—6+2=—4.二兀一次方程組

ca-1-2

2;其中。=瓦

的解可以利用2x2階行列式表示為:

生x+=。2b2

y=-

D

2x+y=l

.問題：對(duì)于用上面的方法解二元一次方程組］時(shí),卜面說法錯(cuò)誤的是（

3x-2y=12

21x=2

A.D-=一7B.D=-14C.D=27D.方程組的解為《

3-2’卜=—3

【答案】C

［分析］根據(jù)閱讀材料中提供的方法逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得.

21

【解析】A、D==2x（-2）-3x1=-7,故A選項(xiàng)正確，不符合題意;

3-2

11

B、D==-2-1x12=-14,故B選項(xiàng)正確，不符合題意;

x12-2

21

C、D產(chǎn)=2x12-1x3=21,故C選項(xiàng)不正確，符合題意;

312

-1421

D、方程組的解：x=D/=——=2,y=D」=W=-3,故D選項(xiàng)正確，不符合題意，故選C.

D-7D-7

【點(diǎn)睛】本題考查了閱讀理解型問題，考查了2x2階行列式和方程組的解的關(guān)系，讀懂題意，根據(jù)材料中

提供的方法進(jìn)行解答是關(guān)鍵.

3.（2021?山東荷澤市?中考真題）關(guān)于》的方程（女―1）2/+（2女+1）》+1=0有實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是

（）

A.k>—且Z/1B.k>—且ZwlC.k>—D.k>—

4444

【答案】D

【分析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根，利用根的判別式來求Z的取值范圍即可.

【詳解】解：當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，?.?關(guān)于X的方程（左—1）2/+（2々+1）》+1=0有實(shí)數(shù)根，

AA=（2A:+l）2-4x（A:-l）2xl>0,且解得，kN；且kwl,

當(dāng)方程為一元一次方程時(shí)，&=1,方程有實(shí)根綜上，故選：D.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程方程的根的判別式，注意一元二次方程方程中a。0,熟悉一元二次方程

方程的根的判別式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（202［福建中考真題）某市2018年底森林覆蓋率為63%.為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理

念，該市大力開展植樹造林活動(dòng)，2020年底森林覆蓋率達(dá)到68%,如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率

為x,那么，符合題意的方程是（）

A.0.63（1+%）=0.68B.0.63（1+X）2=0.68C.0.63。+2%）=0.68D.0.63（1+2x）2=0.68

【答案】B

【分析】設(shè)年平均增長率為X,根據(jù)2020年底森林覆蓋率=2018年底森林覆蓋率乘（1+02,據(jù)此即可列

方程求解.

【詳解】解：設(shè)年平均增長率為x,由題意得：0.63（1+4=0.68,故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等式兩邊的平衡條件，列出方程即可.

2-r1

5.（2021?四川成都市?中考真題）分式方程——+——=1的解為（）

x-33-x

A.x-2B.x——2C.x=lD.x=—1

【答案】A

【分析】直接通分運(yùn)算后，再去分母，將分式方程化為整式方程求解.

2-V17-X12-X-1

【詳解】解：——+——=1,----------=1,-------=1,2—%—1=%—3,解得：x=2,

x—33-xx—3x—3x—3

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，％_3=2-3=-1工0,;.x=2是分式方程的解，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是：去分母化為整式方程求解，最后需要對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn).

4-43X

6.（2021?廣西賀州市?中考真題）若關(guān)于x的分式方程絲七;={+2有增根，則團(tuán)的值為（）

x-3x-3

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程有增根可求事X=3,方程去分母后將x=3代入求解即可.

加+43尤

【詳解】解：???分式方程^——=上一+2有增根，.?.x=3，

x—3x—3

去分母，得m+4=3x+2（x-3）,將x=3代入，得加+4=9,解得加=5.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無解問題，掌握分式方程中增根的定義及增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?山東淄博市?中考真題）甲、乙兩人沿著總長度為10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2

倍，甲比乙提前12分鐘走完全程.設(shè)乙的速度為xkm/h,則下列方程中正確的是（）

101001010“10101010cc

A.--------=12B.--------=0.2C.--------=12D.--------=0.2

x1.2x1.2xx1.2xxxi.2x

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：山題意得：---=0.2；故選D.

x1.2%

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?山東臨沂市?中考真題）已知。＞〃，下列結(jié)論：①。2＞出,；②”2＞尸；③若人＜0,則

a+b<2b；④若8>0,則其中正確的個(gè)數(shù)是（）

ab

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分別判斷即可.

【詳解】解：???4>〃，則①當(dāng)。=0時(shí)，a2=ab>故錯(cuò)誤；②當(dāng)4<0,b<0時(shí)，"〈尸，故錯(cuò)誤；

③若人<0,貝1+6<。+6，即。+〃>24故錯(cuò)誤；④若。>0,則。>力>（）,則故正確；故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式兩邊發(fā)生變化時(shí)，不等號(hào)的變化.

9.（2021?浙江嘉興市?中考真題）已知點(diǎn)P（a,b）在直線y=-3x-4上，且2a-5匕W0（）

a15bb

A.—W—B.一N—C.->-D.-W—

b2b2a5a5

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸（a⑼在直線y=-3x—4上，且2。-5）《0,先算出。的范圍，再對(duì)不等式2。一5。W0

變形整理時(shí)，需要注意不等號(hào)方向的變化.

【詳解】解：?.?點(diǎn)尸（耳。）在直線丁=一3%一4上，.?2=一3。一4，

20

將上式代入2a—5〃W0中，得：2。-5米（—3。-4）40,解得：a<——，由2a—5〃<0,得：2a35b,

17

va<一一（兩邊同時(shí)乘上一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要發(fā)生改變），故選：D.

17a5

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：要注意在變形的時(shí)候，不等號(hào)的方向的變化情況.

5尤—1>3x—4

10.（2021?湖南邵陽市?中考真題）不等式組112的整數(shù)解的和為（）

——x<——x

I33

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】A

【分析】先求出不等式組的解集，再從中找出整數(shù)求和即可.

5x—1>3x—4（2）3

【詳解】〈12，解①得%>一大，

——x<——X2）2

.33

2

解②得爛1,二一§<x41,.整數(shù)解有:0,1,，0+1=1.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，先分別解兩個(gè)不等式，求出它們的解集，再求兩個(gè)不等式

解集的公共部分.不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解.

-2x—3>1

11.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）已知關(guān)于x的不等式組a-1無實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍

-----1>------

U2

是（）

A.ci>—B.（I>—2C.u>—D.ci>—2

22

【答案】D

【分析】首先解出兩個(gè)不等式，根據(jù)題目該不等式組無實(shí)數(shù)解，那么兩個(gè)解集沒有公共部分，列出關(guān)于。

的不等式，即可求解.

Y/7—1

【詳解】解：解不等式一2x—321得，xW—2,解不等式一一12——得，x?2a2,

42

?.?該不等式組無實(shí)數(shù)解，.?.2a+2>-2,解得：a>-2,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法和不等式組解集的確定，解題關(guān)鍵是熟練掌握不等式解集的確定，即“大

大取大，小小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”.

12.（2021?重慶中考真題）若關(guān)于x的方程——+。=4的解是x=2,則a的值為.

2

【答案】3

【分析】將戶2代入已知方程列出關(guān)于。的方程，通過解該方程來求。的值即可.

4-2

【詳解】解：根據(jù)題意，知——+a=4,解得a=3.故答案是：3.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次

方程的解.

x-2y=-2

13.（2021?四川廣安市?中考真題）若X、丁滿足《J則代數(shù)式/一4丁的值為

x+2y=3

【答案】-6

【分析】根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：'.'x-2y^-2,x+2尸3,.，5-4y2=（x+2y）（x-2y）=3x（-2）—6,故答案為：-6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解

題關(guān)鍵.

14.（2021?湖北中考真題）關(guān)于x的方程％2一2如+加2一根=（）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%尸.且,+[=1.則

ap

m=.

【答案】3

,11,

【分析】先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得a+77=2見。尸=機(jī)2一機(jī)，再根據(jù)公+=1可得一

個(gè)關(guān)于加的方程，解方程即可得m的值.

【詳解】解：山題意得：a+（3-2m,a/3=trr-m,

—卜方=&,=1,一把一=1,化成整式方程為加2一3m=o,解得加=0或機(jī)=3,

apapm--m

經(jīng)檢臉，加=0是所列分式方程的增根，用=3是所列分式方程的根，故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解分式方程，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的

關(guān)系是解題關(guān)鍵.

15.（2021?湖北荊州市?中考真題）若關(guān)于X的方程———+二-=3的解是正數(shù)，則”的取值范圍為

x-22-x

【答案】m>-l且m^-3

【分析】先用含肥的代數(shù)式表示x,再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于〃?的不等式，求解即可.

“…,2x+mx-1-m+7?

【詳解】解：由------+-----=3,得：尤=-----且石⑵

x-22-x2

、,..,2x+mx-1cue,,一““m+7,,m+7-

?關(guān)于X的萬程r------+-----=3的解是正數(shù)，----->0!I.------工2,解得：,〃>-7同根齊3,

x—22—x22

故答案是：m>-7且"#-3.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，求出方程的解是解題的關(guān)鍵.

16.（2021?湖南常德市?中考真題）劉凱有藍(lán)、紅、綠、黑四種顏色的彈珠，總數(shù)不超過50個(gè)，其中，為紅

珠，,為綠珠，有8個(gè)黑珠.問劉凱的藍(lán)珠最多有個(gè).

4

【答案】21

【分析】設(shè)彈珠的總數(shù)為X個(gè)，藍(lán)珠有y個(gè)，根據(jù)總數(shù)不超過50個(gè)列出不等式求解即可.

【詳解】解：設(shè)彈珠的總數(shù)為X個(gè)，藍(lán)珠有y個(gè)，根據(jù)題意得，

3+5+8+,=疝由①得，結(jié)合②得，解得，^211

[x<50（2）776

所以，劉凱的藍(lán)珠最多有21個(gè).故答案為：21.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，能夠找出不等關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

17.（2021?湖北十堰?模擬預(yù)測(cè)）規(guī)定[力為不大于x的最大整數(shù),如[0.7]=0,[-2.3]=-3,若[x+0.5]=2,

且[1-幻=-2,則x的取值范圍為.

【答案】2<x<2.5.

【分析】由[x+0.5]=2,可得24x+0.5<3,解不等式1.54x<2.5,由[1一月=-2,可得解

不等式2<x43,取兩雙邊不等式的公共部分即可.

【詳解】

解：V[x+0.5]=2,；.[x+0.5]=2,A2<x+0.5<3,A1,5<x<2.5,

XV[l-x]=-2,/.-2<l-x<-l,：.-3<-x<-2,：.2<x<3,

的取值范圍為2Vx<2.5.故答案為：2<x<2.5.

【點(diǎn)睛】本題考查最大整數(shù)問題，掌握最大整數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是根據(jù)最大整數(shù)列出24x+0.5<3和

-241—x<-1兩個(gè)雙邊不等式.

x—3x—1

18.（2021?四川廣元市?中考真題）解方程：--+——=4.

23

【答案】％=7

【分析】據(jù)整式方程的計(jì)算過程，去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,就可以得到結(jié)果.

【詳解】解：去分母得：3（x-3）+2（x—1）=24,

去括號(hào)得：3x—9+2x—2=24,移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得：5x=35,

系數(shù)化為1得：x=7,故答案為：x=7.

【點(diǎn)睛】本題考查整式方程的計(jì)算，注意每個(gè)步驟的要求是解題的關(guān)鍵.

cix+2-^3y=—1x—y=2

19.（2020?廣東中考真題）已知關(guān)于x,>的方程組《）與《,"的解相同.

x+y=4[%+/7>'=15

（1）求。，6的值；（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長為2指，另外兩條邊的長是關(guān)于%的方程/+收+8=0

的解.試判斷該三角形的形狀，并說明理由.

【答案】（1）-4百；12（2）等腰直角三角形，理由見解析

or+26y=-10\5ix-y=2

【分析】（1）關(guān)于x,y的方程組7y4,，「的解相同.實(shí)際就是方程組

x+y=4[x+by-15

x+y=4

\--的解，可求出方程組的解，進(jìn)而確定a、b的值；

x-y=2

（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2+ax+b=0,求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個(gè)解與2面為邊長，

判斷三角形的形狀.

x+y=4fx=3

【解析】解：由題意列方程組：〈'3解得〈,

x-y=2[y=1

將x=3,丁=1分別代入公+2百y=-1（）有和%+力丁=15

解得a=-46，力=12a=-4^3>b=T2

（2）/_46》+12=0解得x="±-48—48=這個(gè)三角形是等腰宜角三角形

2

理由如下：；（2百門+（2出尸=（2遍尸.?.該三角形是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解

法和勾股定理是得出正確答案的關(guān)鍵.

20.（2021?浙江嘉興市?中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x-3）=（x-3）2的過程如下框：

小霞：

小敏：

移項(xiàng)，得3（X—3）—（X—3）2=O,

兩邊同除以（X—3）,得

提取公因式，得（x—3）（3—尤―3）=0.

3=x—3,

則x—3=0或3-》一3=0,

則x=6.

解得M=3,%=0.

你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“?。蝗翦e(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“x”,并寫出你的解答過程.

【答案】兩位同學(xué)的解法都錯(cuò)誤，正確過程見解析

【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程

【詳解】解:

小霞：

小敏：

移項(xiàng)，得3(x—3)—(x—3)2=0,

兩邊同除以(X—3),得

提取公因式,得(X—3)(3—X—3)=0.

3=x—3,

則x=6.則％-3=0或37-3=0，

解得再=3,%2=0.

(X)

(X)

正確解答:3(x-3)=(x-3)2

移項(xiàng)，得3(X-3)-(X-3)2=O,

提取公因式，得(x—3)[3—(x—3)]=0,

去括號(hào)，得(x-3)(3-x+3)=0,

則x-3=0或6-x=0，

解得玉=3,x2=6.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵.

?r5

21.(2021?江蘇泰州市?中考真題)(1)分解因式：V-9x；(2)解方程：——+1=——.

x—22—x

【答案】(1)x(x+3)(x-3)；(2)x=-l

【分析】(1)先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可；(2)先將分式方程化簡為整式方程，再求

解檢驗(yàn)即可.

【詳解】解：(1)原式(f-9)-x(x+3)(x-3),

(2)等式兩邊同時(shí)乘以(,r-2)得2x+x-2=-5,移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得34-3,

系數(shù)化為1得戶-1檢驗(yàn)：當(dāng)k-1時(shí)，x-2w(),.F=l是原分式方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解和解分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法及注意解分式方程要檢驗(yàn).

22.（2021錦陽市?中考模擬）已知關(guān)于x方程幺+（2,〃-3）%-帆+1=0,其中陽是實(shí)數(shù).

（1）求證：不論加取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為占，弓，求代數(shù)式呼+（3-2加）蒼+機(jī)的最小值.

、7

【答案】（1）見解析；（2）-

4

【分析】（1）要保證方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，就必須使恒成立；（2）將將牛三代入原方程得到

2

（3-2/n）x2+^=x2+l,再根據(jù)方程得到再+當(dāng)，x,x2,代入代數(shù)式，配方可得，”的最小值.

【詳解】解：（1）△=（2/n-3）2-4（-/n+l）=4/n2-12w+9+4m-4=4/n2-8/n+5=（2w-2）'+1>0

二不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）???4三為方程的實(shí)數(shù)根，

.?.將X”與代入原方程得：M+⑵〃-3）玉-"7+1=0,+（2/n-3）A；-/n+l=0,

22

（3-hn）x,+m=x2+l,x：+（3—2m）+m=+x2+1=（^-2x1x2+1,

bc

x+x=——=3-2m,x,x=—=-/n+l,

]2aa2

原式=（3-2mf-2（-,"+l）+l=4，/一10〃?+8=（2機(jī)-+%（故原代數(shù)式的最小值為；.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一

種經(jīng)常使用的解題方法.

2x+l<x+6

23.（2021?內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?中考真題）解不等式組：\l-2x1-5%2.在數(shù)軸上表示解集并列舉出

-------------<―

I263

正整數(shù)解.

????[????1A

-4-3-2-1o12345

【答案】-2<x<5,數(shù)軸見解析，正整數(shù)解有：1、2、3、4.

【分析】分別解不等式得到不等式組的解集，根據(jù)有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系表示不等式組的解集即可.

【詳解】解：解不等式2X+1CX+6,得X<5,

1_?r1-5x2

解不等式-------------<-,得x>-2,.?.不等式組的解集為：-2<x<5,

263

將解集表示在數(shù)軸上：11故正整數(shù)解有：1、2、3、4.

1?0____?I?1?1d.

-4-3-2-1012345

【點(diǎn)睛】此題考查求不等式組的解集，正確解不等式并會(huì)在數(shù)軸上表示不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

24.（2021?廣西玉林市?中考真題）某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電，有A,B兩個(gè)焚燒妒，

每個(gè)焚燒爐每天焚燒垃圾均為100噸，每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐比3焚燒爐多發(fā)電50度，A,3焚燒爐

每天共發(fā)電55000度.（1）求焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和8焚燒爐各發(fā)電多少度？

（2）若經(jīng)過改進(jìn)工藝，與改進(jìn)工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和B焚燒爐的發(fā)電量分別增加4％

和2a%,則A,8焚燒爐每天共發(fā)電至少增加（5+a）%,求”的最小值.

【答案】（1）焚燒一噸垃圾，A焚燒爐和8焚燒爐各發(fā)電300、250度；（2）a最小值為11

【分析】（1）設(shè)8焚燒爐每噸發(fā)電x度，則A焚燒爐每噸發(fā)電（x+50）度，根據(jù)題意列出方程，求解即可.（2）

根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)，表示出改進(jìn)后的發(fā)電量，列出不等式并求解即可.

【詳解】（1）設(shè)8焚燒爐每噸發(fā)電x度，則A焚燒爐每噸發(fā)電（x+50）度，

100（x+50）+100.?=55000,解方程得4250,則8焚燒爐每噸發(fā)電250度，則A焚燒爐每噸發(fā)電300度；

（2）由（1）可知改進(jìn)后A、B發(fā)電量分別為300（1+a%）,250（l+2a%）,

根據(jù)題意列式：100x300（1+a%）+100x250（l+2a%）>55000+55000x（5+47）%,

解不等式得:a>l\,則a的最小值為11.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程解決實(shí)際問題、一次不等式求最值等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，理解題意的等量

關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

25.（2021?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）2020年以來，新冠肺炎的蔓延促使世界各國在線教育用

戶規(guī)模不斷增大.網(wǎng)絡(luò)教師小李抓住時(shí)機(jī)，開始組建團(tuán)隊(duì)，制作面向A、B兩個(gè)不同需求學(xué)生群體的微課

視頻.已知制作3個(gè)A類微課和5個(gè)B類微課需要4600元成本，制作5個(gè)A類微課和1（）個(gè)3類微課需要

8500元成本.李老師又把做好的微課出售給某視頻播放網(wǎng)站，每個(gè)A類微課售價(jià)1500元，每個(gè)3類微課

售價(jià)1000元.該團(tuán)隊(duì)每天可以制作1個(gè)A類微課或者1.5個(gè)B類微課，且團(tuán)隊(duì)每月制作的B類微課數(shù)不少

于A類微課數(shù)的2倍（注：每月制作的A、5兩類微課的個(gè)數(shù)均為整數(shù)）.假設(shè)團(tuán)隊(duì)每月有22天制作微課,

其中制作A類微課。天，制作A、3兩類微課的月利潤為卬元.

（1）求團(tuán)隊(duì)制作一個(gè)A類微課和一個(gè)8類微課的成本分別是多少元？（2）求w與。之間的函數(shù)關(guān)系式，

并寫出。的取值范圍；（3）每月制作A類微課多少個(gè)時(shí)，該團(tuán)隊(duì)月利潤w最大，最大利潤是多少元？

【答案】（1）團(tuán)隊(duì)制作一個(gè)A類微課和?個(gè)8類微課的成本分別是700元、500元；（2）

50a+16500,0<?<—；（3）每月制作A類微課8個(gè)時(shí)，該團(tuán)隊(duì)月利潤w最大，最大利潤是16900

7

元.

【分析】（1）設(shè)團(tuán)隊(duì)制作一個(gè)A類微課的成本為X元，制作一個(gè)5類微課的成本為y元，山題意得

cucc，然后求解即可；（2）由（1）及題意可直接進(jìn)行求解；（3）由（2）及結(jié)合一次函數(shù)的

5x+lOy=8500

性質(zhì)可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：（1）設(shè)團(tuán)隊(duì)制作一個(gè)A類微課的成本為X元，制作一個(gè)5類微課的成本為y元，由題意得：

3x+5y-4600[x-700

《，解得：《；

[5x+10y=8500[y=500

答：團(tuán)隊(duì)制作一個(gè)A類微課和一個(gè)3類微課的成本分別是700元、500元.

（2）由題意得制作8類微課（22-a）天，則有：

w=（1500-700）a+1.5x（1000-500）（22-a）=50a+16500,

???團(tuán)隊(duì)每月制作的B類微課數(shù)不少于A類微課數(shù)的2倍，

考

；.1.5（22—a）22a,且a>0,解得：0<2

器

Q

（3）由（2）可得：卬=50a+16500,0</.卬隨?？谏自龃蠖龃?

???每月制作的A、B兩類微課的個(gè)數(shù)均為整數(shù)，22-a為偶數(shù)，

.?.當(dāng)a=8時(shí)，卬取最大，最大值為w=50x8+16500=16900：

答：每月制作A類微課8個(gè)時(shí)，該團(tuán)隊(duì)月利潤w最大，最大利潤是16900元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)、一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)、一元一

次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

26.（2021?湖南永州市?中考真題）永州市某村經(jīng)濟(jì)合作社在鄉(xiāng)村振興工作隊(duì)的指導(dǎo)下，根據(jù)市場(chǎng)需求，計(jì)

劃在2022年將30畝土地全部用于種植A,B兩種經(jīng)濟(jì)作物.預(yù)計(jì)B種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值比A種經(jīng)濟(jì)作物市

產(chǎn)值多2萬元，為實(shí)現(xiàn)2022年A種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值20萬元，8種經(jīng)濟(jì)作物年總產(chǎn)值30萬元的目標(biāo)，問:

2022年A,8兩種經(jīng)濟(jì)作物應(yīng)各種植多少畝？

【答案】2022年4,8兩種經(jīng)濟(jì)作物分別種植20畝和10畝

【分析】設(shè)A,3兩種經(jīng)濟(jì)作物分別種植x和（30-x）畝，根據(jù)B種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值比A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值多

2萬元，建立分式方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)2022年A,B兩種經(jīng)濟(jì)作物分別種植x和（30-x）畝,

山題意可知：4種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值為型萬元，8種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值為------萬元,

x30-x

由“8種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值比A種經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值多2萬元”可知：

40=型+2,解得：％=20或x=—15（負(fù)值舍去），

30-x尤

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)％=20時(shí)原分式方程的分母不為0,

故2022年A,8兩種經(jīng)濟(jì)作物分別種植20畝和10畝.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是要審題仔細(xì)，找到題中隱臧的等量關(guān)系進(jìn)而建立方程求解.

27.（2021?江蘇無錫市?中考真題）為了提高廣大職工對(duì)消防知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識(shí)，某單

位工會(huì)決定組織消防知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，本次活動(dòng)擬設(shè)一、二等獎(jiǎng)若干名，并購買相應(yīng)獎(jiǎng)品.現(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元

用于購買獎(jiǎng)品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)與二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)之比為4：3.當(dāng)用600元購買一

等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品時(shí)，共可購買一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品25件.（1）求一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)；（2）若購買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的數(shù)

量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？

【答案】（1）一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是60元，45元；（2）共有3種購買方案，分別是：一等獎(jiǎng)品數(shù)4

件，二等獎(jiǎng)品數(shù)23件；一等獎(jiǎng)品數(shù)7件，二等獎(jiǎng)品數(shù)19件；一等獎(jiǎng)品數(shù)10件，二等獎(jiǎng)品數(shù)15件.

【分析】（1）設(shè)一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是4x,3x,根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；

（2）設(shè)購買一等獎(jiǎng)品的數(shù)量為膽件，則購買二等獎(jiǎng)品的數(shù)量為巴85———4，%^件，根據(jù)43於10,且8真5———4加^為

33

整數(shù)，〃，為整數(shù)，即可得到答案.

【詳解】解：（1）設(shè)一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是4x,3x,

由題意得：-+?275-600=25,解得：戶15,經(jīng)檢驗(yàn)：尸15是方程的解，且符合題意，

4x3x

15x4=60（元），15x3=45（元），

答：一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別是60元，45元；

（2）設(shè)購買一等獎(jiǎng)品的數(shù)量為m件，則購買二等獎(jiǎng)品的數(shù)量為1275-60.=85二他件,

453

85-4m

V4<m<10,且-------為整數(shù)，，"為整數(shù)，.，.〃?=4,7,10,

3

答：共有3種購買方案，分別是：一等獎(jiǎng)品數(shù)4件，二等獎(jiǎng)品數(shù)23件；一等獎(jiǎng)品數(shù)7件，二等獎(jiǎng)品數(shù)19

件；一等獎(jiǎng)品數(shù)10件，二等獎(jiǎng)品數(shù)15件.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程和不等式組的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系，列出分式方程或不等式，是

解題的關(guān)鍵.

B卷（建議用時(shí)：80分鐘）

41

1.（2021?安徽中考真題）設(shè)小Rc,為互不相等的實(shí)數(shù)，且/?=］。+g。，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>b>cB.c>h>aC.a-b=4（b-c）D.a-c=5（a—b）

【答案】D

【分析】舉反例可判斷A和B,將式子整理可判斷C和D.

41

【詳解】解：A.當(dāng)〃=5,。=10,力=《a+gc=6時(shí)，c>b>a,故A錯(cuò)誤；

41

B.當(dāng)。=10,c=5,匕=］。+彳。=9時(shí)，a>h>c,故B錯(cuò)誤；

14

C.a-b=4（b-c）整理可得。=《4一二。，故C錯(cuò)誤；

41

D.a-c=5（a—份整理可得〃=《a+《c,故D正確；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?山東聊城市?中考真題）若-3（好3,則關(guān)于x的方程x+a=2解的取值范圍為（）

A.-l<r<5B.-1<X<1C.-l<r<lD.-l<x<5

【答案】A

【分析】先求出方程的解，再根據(jù)-3〈坯3的范圍，即可求解.

【詳解】解:由x+a=2,得:x=2-a,V-3<a<3,-l<2-a<5,即：-l<r<5,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元?次方程以及不等式的性質(zhì)，用含a的代數(shù)式表示x,是解題的關(guān)鍵.

x+y=6

“、八…y八八的自然數(shù)解，是這樣解的：