山西省呂梁市2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

呂梁市2023-2024學(xué)年度高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（本試題滿分150分，考試時間120分鐘。答案一律寫在答題卡上）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。2．答題時使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則()A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．43．雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．4．寬與長的比為的矩形叫做黃金矩形，它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形中，中點為，則的值為（）A． B． C．4 D．25．的值為（）A． B． C．2 D．46．如圖，“蒸茶器”外形為圓臺狀，上、下底面直徑（內(nèi)部）分別為，高為（內(nèi)部），上口內(nèi)置一個直徑為，高為的圓柱形空心金屬器皿（厚度不計，用來放置茶葉）．根據(jù)經(jīng)驗，一般水面至茶葉（圓柱下底面）下方的距離大于等于時茶葉不會外溢．用此“蒸茶器”蒸茶時為防止茶葉外溢，水的最大容積為（）A． B． C． D．7．已知圓，點為直線上的動點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，則四邊形面積的最小值為（）A． B． C．2 D．48．已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．函數(shù)關(guān)于直線對稱C． D．的周期為3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．“”是“”的充分不必要條件C．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為D．記為函數(shù)圖象上的任意兩點，則10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對稱，然后再向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A． B．C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知正方體的棱長為1，點滿足（與三點不重合），則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，平面C．當(dāng)時，平面平面D．當(dāng)時，直線與平面所成角的正切值的最大值為12．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點，，其短軸上的一個端點到的距離為，點在橢圓上，直線，則（）A．直線與蒙日圓相切B．粗圓的蒙日圓方程為C．若點是橢圓的蒙日圓上的動點，過點作橢圓的兩條切線，分別交蒙日圓于兩點，則的長恒為4D．記點到直線的距離為，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）某市2018年至2022年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：年份20182019202020212022年份代號01234年銷量1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計算相應(yīng)于樣本點的殘差為______．15．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，前項積為，若，則______．16．已知分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的最大值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．18．（本題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）設(shè)的角平分線交于點，求的最小值．19．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，．（1）線段上是否存在一點使得，若存在，求出的長，若不存在，說明理由；（2）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值，求異面直線與之間的距離．20．（本題滿分12分）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時間和范圍內(nèi)，制作中式面點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點和2道中式熱菜得到認(rèn)可．（1）若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；（2）若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點被評委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測小李能否進(jìn)入決賽？21．（本題滿分12分）已知直線與拋物線相切于點，動直線與拋物線交于不同兩點異于點，且以為直徑的圓過點．（1）求拋物線的方程及點的坐標(biāo)；（2）當(dāng)最小時，求直線的方程．22．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）若對任意恒成立，求正實數(shù)的取值集合．呂梁市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.A解：∵A＝（1，2），B＝（﹣∞，2），∴A∪B＝B，故選A．2.B解：z=1-i1+i=3.A解：由題意，得；故離心率為.4.D解：由已知得解得則AB?AE=2×5.D解：故選：D.6.C解：如圖，作出圓臺的軸截面，設(shè)截面上部延長部分三角形的高為，由相似三角形性質(zhì)，得設(shè)水到達(dá)最大容量時水面的圓面半徑為，則如水的最大容量為7.解：由題意，得當(dāng)時，D解：法一：令，故A正確；，，故B正確；，令，故C正確.令法二：構(gòu)造函數(shù)二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.BCD解：對于A選項，“，”的否定為“”，故A錯誤；對于B選項，由，因此，故B正確；對于C選項，故C正確.對于D選項，，故D正確.故選：BCD.10.AD解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，可得A＝2，，∴ω＝2，對于A選項，結(jié)合五點法作圖，可得，故A正確，，將函數(shù)f（x）的圖象平移后得到函數(shù)g（x）的圖象，則，對于B選項，顯然不是其對稱軸，故，故B錯誤，對于C選項，函數(shù)g（x）顯然不是奇函數(shù)，故C錯誤，對于D選項，∵﹣2＜0，∴g（x）遞增區(qū)間即y＝sin（2x+）的遞減區(qū)間，令2，解得，故g（x）的遞增區(qū)間是，當(dāng)k＝-1時，g（x）的遞增區(qū)間是[-11π12，-故D正確，故選：AD．11.ABD解：對于A選項，當(dāng)時，點在平面內(nèi)，易得,,故A正確；對于B選項，當(dāng),,故點在直線上，直線即為直線易得,故B正確；對于C選項，當(dāng)當(dāng)時，,故P為的中點易得，連接交于點O，則故C錯誤；對于D選項，當(dāng)，時，則，可知點在平面內(nèi)，因為平面∥平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成的角，因為平面，則直線與平面所成的角為，可得，又因為，即，則可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可知的最小值為，則的最大值，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確.故選ABD.12.AC解：當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時，兩切線的方程分別為、，所以，點在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為，因為，可得.對于A選項，蒙日圓圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日圓相切，故A正確；對于B選項，的蒙日圓的方程為，故B錯誤；對于C選項，由題意可知，，所以MN為蒙日圓的直徑，MN=4,故C正確；對于D選項，由橢圓的定義可得，所以，，直線的方程為，點到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D錯誤；故選：AC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.20解：的第項為，令代入通項可得展開式中的和項分別為：，分別與和相乘，得的展開式中項為，故的系數(shù)為20.故為：2014.解：依題意，，，代入回歸直線，解得所以回歸直線為當(dāng)時，，因此殘差為，15.解：.解：點可知：又由知，和在上單調(diào)遞增，其值域為Rx令令所以，實數(shù)的最大值為.四、解答題:本題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（1）;(2).解：（1）由題意，得當(dāng)...................................................3分當(dāng),適合上式....................................................4分...................................................5分...................................................7分......................10分18.（1）;(2)9解：（1）.......................1分..................................3分.................................4分.................................5分........................................................8分..........................................11分當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，所以的最小值為9............................................................12分19.（1）存在點Q，當(dāng)Q與P重合時成立；（2）3解：以AB,AD,則各點的坐標(biāo)為B（1,0,0），C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)（1）BP=(設(shè)Q為直線PB上一點，且BQ=λBP=(∴Q1-λ,0,3λ...............................................4分所以存在點Q，滿足，此時BQ=1..................................................................5分由（1）可得，又Q則點到直線的距離d=CQ2-CQ=λ2∵19∴d≥319所以異面直線PB與CD之間的距離為3191920.(1)(2)小李能進(jìn)入決賽解：(1)設(shè)A＝“在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡”，則事件A發(fā)生的所有情況有：①得到認(rèn)可的中式面點入選1道，中式熱菜入選2道的概率為②得到認(rèn)可的中式面點入選2道，中式熱菜入選1道的概率為③得到認(rèn)可的中式面點和中式熱菜各入選2道的概率為所以；.........................................................................5分(2)由題知，強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點被評委認(rèn)可的概率為，每道中式熱菜被評委認(rèn)可的概率為，則強(qiáng)化訓(xùn)練后，在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡的概率為，.....8分因為每輪比賽結(jié)果互不影響，所以進(jìn)行3輪比賽可看作3重伯努利試驗．用X表示小李在3輪比賽中獲得通關(guān)卡的次數(shù)，則....................10分∴，∴小李能進(jìn)入決賽...................................................................................12分21．（1）拋物線C的方程為，點A的坐標(biāo)為；（2）直線的方程為.解：（1）聯(lián)立，消得，因為直線與拋物線相切，所以，解得或（舍去），...................................................2分當(dāng)時，，解得，所以，...............................................4分所以拋物線C的方程為，點A的坐標(biāo)為；..............................................5分（2）顯然直線的斜率存在，可設(shè)為，由，消得，則，，.............................................7分，因為以MN為直徑的圓過點A，所以，即，.....................................................8分整理可得，所以，化簡得，所以，所以或，即或，...........................................................9分當(dāng)時，直線，即，所以直線過定點（舍去），當(dāng)時，直線，滿足，即，所以直線過定點，................................................10分設(shè)點A到直線PQ的距離為d，則...............................................................11分當(dāng)直線與垂直時，d最大又，所以，所以直線的方程為................................................................12分22.（1）(2)解：（1），...............................................................1分...............................................................2分...............................................................3分故切線方程為............................4分（2）由題意，得對任意x∈R，≥0恒成立，令g（x）＝，則g′（x）＝ax﹣a+ex+sinx，令h（x）＝ax﹣a+ex+sinx，則h′（x）＝a+ex+cosx，............................5分當(dāng)a＞1時，h