模型39 數(shù)軸上動點問題（教師版）

PAGE11．數(shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大小：一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．?（4）數(shù)軸上兩點間的距離公式：AB=XB-XA(即：右端點減左端點）?（5）數(shù)軸上中點數(shù)公式：XM

例題精講例題精講【例1】.如圖，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣3，點B表示的數(shù)為2，點P在數(shù)軸上表示的是整數(shù)，點P不與A、B重合，且PA+PB＝5，則滿足條件的P點表示的整數(shù)有___________.解：∵PA+PB＝5，∴點P在A，B兩點之間，A，B兩點之間的整數(shù)有﹣2，﹣1，0，1，變式訓練【變式1-1】．如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB＝15，且OA＝2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒2個單位的速度同時向右運動，設運動時間為t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段時間內(nèi)不隨著t的變化而變化，則m＝2.5或5.5．解：∵AB＝15，OA＝2OB，∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，∴A點對應數(shù)為﹣10，B點對應數(shù)為5，設經(jīng)過t秒，則AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，當t≤15時，3AP+2OP﹣mBP＝45﹣3t+10+8t﹣2mt＝（5﹣2m）t+55，∴當5﹣2m＝0，即m＝2.5時，3AP+2OP﹣mBP的值在某段時間內(nèi)不隨著t的變化而變化，當t＞15時，3AP+2OP﹣mBP＝3t﹣45+10+8t﹣2mt＝（11﹣2m）t﹣35，∴當11﹣2m＝0，即m＝5.5時，上式為定值﹣35，也不隨t發(fā)生改變，故m為2.5或5.5．故答案為：2.5或5.5．【變式1-2】．已知數(shù)軸上兩點A、B對應的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點，點M從A點出發(fā)，速度為每秒2個單位，點N從點B出發(fā)，速度為M點的3倍，點P從原點出發(fā)，速度為每秒1個單位．（1）若點M向右運動，同時點N向左運動，求多長時間點M與點N相距46個單位？（2）若點M、N、P同時都向右運動，求多長時間點P到點M，N的距離相等？（3）當時間t滿足t1＜t≤t2時，M、N兩點之間，N、P兩點之間，M、P兩點之間分別有47個、37個、10個整數(shù)點，請直接寫出t1，t2的值．解：（1）設運動時間為t秒，由題意可得：6+8+2t+6t＝46，∴t＝4，∴運動4秒，點M與點N相距46個單位；（2）設運動時間為t秒，由題意可知：M點運動到6+2t，N點運動到﹣8+6t，P點運動到t，由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，當t＜1.6時，點N在點P左側，若MP＝NP，則t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝（s）；當t＞1.6時，點N在點P右側，若MP＝NP，則﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，解得t＝（s），∴運動s或s時，點P到點M，N的距離相等；（3）由題意可得：M、N、P三點之間整數(shù)點的多少可看作它們之間距離的大小，M、N兩點距離最大，M、P兩點距離最小，可得出M、P兩點向右運動，N點向左運動①當t1＝4s時，P在4，M在14，N在﹣32，再往前一點，MP之間的距離即包含10個整數(shù)點，NP之間有47個整數(shù)點；②當N繼續(xù)以6個單位每秒的速度向左移動，P點向右運動，若N點移動到﹣33時，此時N、M之間仍為47個整數(shù)點，若N點過了﹣33時，此時N、M之間為48個整數(shù)點故t2＝+4＝（s），∴t1，t2的值分別為4s，s．【例2】．如圖，周長為6個單位長度的圓上的六等分點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，點A落在2的位置，將圓在數(shù)軸上沿負方向滾動，那么落在數(shù)軸上﹣2023的點是點D．解：由圖形可知，旋轉一周，點B對應的數(shù)是1，點C對應的數(shù)是0，點D對應的數(shù)是﹣1，點E對應的數(shù)是﹣2，點F對應的點為﹣3，點A對應的點為﹣4，繼續(xù)旋轉，點B對應的點為﹣5，點C對應的點為﹣6．∵2023÷6＝337…1，∴數(shù)軸上表示﹣2025的點與圓周上點D重合．故答案為：點D．變式訓練【變式2-1】．在數(shù)軸上，點A，O，B分別表示﹣15，0，9，點P，Q分別從點A，B同時開始沿數(shù)軸正方向運動，點P的速度是每秒4個單位，點Q的速度是每秒1個單位，運動時間為t秒．若點P，Q，O三點在運動過程中，其中一個點恰好是另外兩點為端點的線段的一個中點，則運動時間為或或秒．解：由題知，P點對應的數(shù)為：﹣15+4t，Q點對應的數(shù)為：9+t，（1）當O為PQ中點時，根據(jù)題意得15﹣4t＝9+t，解得t＝，（2）當P是OQ的中點時，根據(jù)題意得2（4t﹣15）＝9+t，解得t＝，（3）當Q是OP的中點時，根據(jù)題意得2（9+t）＝4t﹣15，解得t＝，故答案為：或或．【變式2-2】．如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)﹣3，B點示數(shù)1，C點表示數(shù)9．（1）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)表示的點重合；（2）若點A、點B和點C分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運動．①若t秒鐘過后，A，B，C三點中恰有一點為另外兩點的中點，求t值；②當點C在B點右側時，是否存在常數(shù)m，使mBC﹣2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，12÷2＝6，AB的中點表示的數(shù)為：9﹣6＝3，3﹣1＝2，3+2＝5，則點B與5表示的點重合；（2）①由題意可知，t秒時，A點所在的數(shù)為：﹣3﹣2t，B點所在的數(shù)為：1﹣t，C點所在的數(shù)為：9﹣4t，（i）若B為AC中點，則．∴t＝1；（ii）若C為AB中點，則，∴t＝4；（iii）若A為BC中點，則，∴t＝16，∴綜上，當t＝1或4或16時，A，B，C三點中恰有一點為另外兩點的中點；②假設存在．∵C在B右側，B在A右側，∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，mBC﹣2AB＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）＝8m﹣3mt﹣8﹣2t＝8m﹣8﹣（3mt+2t）＝8m﹣8﹣（3m+2）t，當3m+2＝0即m＝時，mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣為定值，∴存在常數(shù)m＝﹣，使mBC﹣2AB的值為定值．

1．如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分別對應數(shù)軸上的是﹣3和x所表示的點，那么x等于（）A．5 B．6 C．7 D．8解：根據(jù)數(shù)軸可知：﹣3+8＝5，故選：A．2．等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、C對應的數(shù)分別為0和﹣1，若△ABC繞頂點沿順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉，翻轉1次后，點B所對應的數(shù)為1，則連續(xù)翻轉2021次后，點B（）A．對應的數(shù)是2019 B．對應的數(shù)是2020 C．對應的數(shù)是2021 D．不對應任何數(shù)解：結合數(shù)軸，根據(jù)連續(xù)翻轉可得出從原點開始，向右依次是A、B、C循環(huán)排列，2021次后共得出2022個頂點，∵2022÷3＝674，∴最后一個點為C，∵最后一個點C是翻轉了2021次后得到的，∴點C表示的數(shù)為2021，∴點B表示的數(shù)為2020，故選：B．3．在解決數(shù)學實際問題時，常常用到數(shù)形結合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)﹣1的點的距離，|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點的距離．結合以上知識，下列說法中正確的個數(shù)是（）①若|x﹣2022|＝1，則x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，則x＝﹣1；③若x＞y，則|x﹣2|＞|y﹣2|；④關于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有無數(shù)個解．A．1 B．2 C．3 D．4解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，則則x＝2021或2023；所以①說法正確；②若|x﹣1|＝|x+3|，幾何意義是數(shù)軸到表示數(shù)1的點和表示數(shù)3的點的距離相等的點，即可得出x＝﹣1；所以②說法正確；③當y＜x＜0時，則|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③說法不正確；④因為|x+1|+|x﹣2|＝3的幾何意義是到數(shù)軸上表示﹣1的點與表示2的點的距離和等于3的點，即﹣1≤x≤2時滿足題意，所以有無數(shù)個解，故④說法正確．故選：C．4．數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣3，把點A向右移動5個單位，再向左移動7個單位到A′，則A′表示的數(shù)是﹣5．解：依題意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即則A′表示的數(shù)是﹣5．故答案為：﹣5．5．數(shù)軸上點A表示﹣8，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B，C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄^點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負方向向終點A運動．其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設運動的時間為t秒，t＝4.4時，M、N兩點相遇（結果化為小數(shù)）．解：當點M、N都運動到折線段O﹣B﹣C上，即t≥2時，M表示的數(shù)是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的數(shù)是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，∵M、N兩點相遇時，M、N表示的數(shù)相同，∴2t﹣4＝18﹣3t，解得：t＝＝4.4，故答案為：4.4．6．如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點A、B、C把數(shù)軸分成①②③④四部分，點A、B、C對應的數(shù)分別是a、b、c，且ab＜0．（1）原點在第②部分（填序號）；（2）化簡式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求點B表示的數(shù)．解：（1）∵點A、B、C對應的數(shù)分別是a、b、c，且ab＜0，∴a＜0，b＞0，∴原點在點A和點B之間，又∵從左到右的點A、B、C把數(shù)軸分成①②③④四部分，∴原點在第②部分；故答案為：②（2）∵a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，c＞0，∴c﹣a＞0，∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，∴c﹣5＝0，a+1＝0，∴c＝5，a＝﹣1，∵B對應的數(shù)是b，5＞b＞﹣1，∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，又∵BC＝2AB，∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，解得：b＝1，∴點B表示的數(shù)為1．7．已知b是最小的正整數(shù)，且（c﹣5）2與|a+b|互為相反數(shù)．（1）填空：a＝﹣1，b＝1，c＝5；（2）若P為一動點，其對應的數(shù)為x，點P在0和2表示的點之間運動，即0≤x≤2時，化簡：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（請寫出化簡過程）；（3）如圖，a，b，c在數(shù)軸上所對應的點分別為A，B，C，在（1）的條件下，若點A以1個單位長度/s的速度向左運動，同時，點B和點C分別以2個單位長度/s和5個單位長度/s的速度向右運動．ts后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．解：（1）依題意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，解得a＝﹣1，c＝5．故答案為：﹣1，1，5；（2）點P在0和2表示的點之間運動，即0≤x≤2時，當0≤x≤1時，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，原式＝x+1+x﹣1+2x+10＝4x+10；當1＜x≤2時，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，原式＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12．綜上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；（3）不變，理由：t秒后A點表示的數(shù)是﹣1﹣t，B點表示的數(shù)是1+2t，C的表示的數(shù)是5+5t，∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，BC＝5+5t﹣（1+2t）＝3t+4，∴BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不變，是2．8．數(shù)軸上有A、B、C三點，如圖1，點A、B表示的數(shù)分別為m、n（m＜n），點C在點B的右側，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，點D是AC的中點．①則點D表示的數(shù)為﹣2．②如圖2，線段EF＝a（E在F的左側，a＞0），線段EF從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向B點運動（點F不與B點重合），點M是EC的中點，N是BF的中點，在EF運動過程中，MN的長度始終為1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，點D是AC的中點，若AD+3BD＝4，試求線段AB的長．解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．∵AC﹣AB＝2，∴AC＝12，∴點C對應的數(shù)字為4，∵點D是AC的中點，∴CD＝AC＝6，設點D表示的數(shù)為x，∴4﹣x＝6，∴x＝﹣2．∴點D表示的數(shù)為﹣2．故答案為：﹣2；②設EF運動的時間為t秒，則點E對應的數(shù)字為t﹣8，點F對應的數(shù)字為t﹣8+a，∵點M是EC的中點，N是BF的中點，∴點M對應的數(shù)字為＝，點N對應的數(shù)字為＝，∵MN＝1，∴||＝1．解得：a＝0或a＝4，∵a＞0，∴a＝4；（2）設點C對應的數(shù)字為c，點D對應的是為d，∵點A、B表示的數(shù)分別為m、n（m＜n），點C在點B的右側，AC﹣AB＝2，∴c＝n+2，AB＝n﹣m．∵點D是AC的中點，∴d＝，∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，∵AD+3BD＝4，∴＝4，解得：n﹣m＝3．∴AB＝3．9．如圖，數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求線段AB的長度及線段AB的中點C表示的數(shù)c；（2）該數(shù)軸上有另一點D表示數(shù)d．①若d＝2，點D在點B的左側，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出該值；若不能，說明理由．解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，∴線段AB的中點C表示的數(shù)c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；（2）①∵d＝2，點D在點B的左側，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，∴b﹣a＝5（b﹣2），∴a+4b＝10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×10+2023＝2043；②能求出代數(shù)式的值，∵d＝﹣2，點D在點B的左側，且AB＝5BD，∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，∴b﹣a＝5（b+2），∴a+4b＝﹣10，∴2a+8b+2023＝2（a+4b）+2023＝2×（﹣10）+2023＝﹣20+2023＝2003；10．先閱讀，后探究相關的問題【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離．（1）如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點4.5的相反數(shù)的點B，再把點A向左移動1.5個單位，得到點C，則點B和點C表示的數(shù)分別為﹣4.5和3.5，B，C兩點間的距離是8；（2）若點A表示的整數(shù)為x，則當x為﹣2時，|x+6|與|x﹣2|的值相等；（3）要使代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值范圍是﹣1≤x≤2．解：（1）4.5的相反數(shù)是﹣4.5，即點B表示的數(shù)為﹣4.5；點C表示的數(shù)為5﹣1.5＝3.5；B，C兩點間的距離是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；故答案為：﹣4.5，3.5，8；（2）∵|x+6|與|x﹣2|的值相等，∴x+6＝x﹣2此種情況等式不成立，或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，∴x＝﹣2時，|x+6|與|x﹣2|的值相等；故答案為：﹣2；（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，∴在數(shù)軸上可以看作表示x的到﹣1的距離與到2的距離和最小，∴數(shù)x只能在﹣1與2之間，包括﹣1與2兩個端點，∴﹣1≤x≤2．故答案為：﹣1≤x≤2．11．如圖，已知點O為數(shù)軸的原點，點A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、B兩點對應的數(shù)分別為﹣1、3．（1）填空：線段AB的長度AB＝4；（2）若點A是BC的中點，點D在點A的右側，且OD＝AC，點P在線段CD上運動．問：該數(shù)軸上是否存在一條線段，當P點在這條線段上運動時，PA+PB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化？（3）若點P以1個單位/秒的速度從點O向右運動，同時點E從點A以5個單位/秒的速度向左運動、點F從點B以20個單位/秒的速度向右運動，M、N分點別是PE、OF的中點．點P、E、F的運動過程中，的值是否發(fā)生變化？請說明理由．解：（1）∵A、B兩點對應的數(shù)分別為﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4．故答案為：4；（2）數(shù)軸上存在一條線段，當P點在這條線段上運動時，PA+PB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化．理由：A、B兩點對應的數(shù)分別為﹣1、3，∴OA＝1，OB＝3，∵點A是BC的中點，∴AC＝AB＝4．∴OC＝AC+OA＝5，∴C點對應的數(shù)為﹣5．又∵OD＝AC，點D在點A的右側，∴D點對應的數(shù)為4．設P點對應的數(shù)為x，①P點在射線CA上時，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，∴PA+PB的值隨著點P的運動而發(fā)生變化；②P點在線段AB上時，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，∴PA+PB的值隨著點P的運動沒有發(fā)生變化；③P點在射線BD上時，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，∴PA+PB的值隨著點P的運動而發(fā)生變化．綜上，P點在線段AB上時，PA+PB的值沒有發(fā)生變化，∴數(shù)軸上存在一條線段，當P點在這條線段上運動時，PA+PB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化；（3）在運動過程中，的值不發(fā)生變化．理由：設運動時間為t分鐘，則OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3，∴EF＝OE+OF＝25t+4，∵M、N分別是PE、OF的中點，∴EM＝PM＝PE＝（OP+OE）＝3t+，ON＝OF＝10t+，∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+）＝2t+，∴MN＝OM+ON＝12t+2，∴．∴在運動過程中，的值不發(fā)生變化．12．如圖，在數(shù)軸上，點O表示原點，點A表示的數(shù)為﹣1，對于數(shù)軸上任意一點P（不與點A點O重合），線段PO與線段PA的長度之比記作k（p），即，我們稱k（p）為點P的特征值，例如：點P表示的數(shù)為1，因為PO＝1，PA＝2，所以．（1）當點P為AO的中點時，則k（p）＝1；（2）若k（p）＝2，求點P表示的數(shù)；（3）若點P表示的數(shù)為p，且滿足p＝2n﹣1，（其中n為正整數(shù)，且1≤n≤7），求所有滿足條件的k（p）的和．解：（1）由題意可知，當點P為AO的中點時點P表示的數(shù)為，，∴，故答案為：1；（2）設點P表示的數(shù)為x，則PO＝|x|，PA＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，∵k（p）＝2，∴，即PO＝2PA，∴|x|＝2|x+1|，∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），解得：x＝﹣2或；故：點P表示的數(shù)﹣2或；（3）點P表示的數(shù)為p，且滿足p＝2n﹣1，（其中n為正整數(shù)，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，此時：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，當p＝2n﹣1時∵1≤n≤7，且n為正整數(shù)，則所有滿足條件的k（p）的值分別為：，故所有滿足條件的k（p）的和為：＝，令，則，②﹣①得：，∴＝＝．13．把一根小木排放在數(shù)軸上，木棒左端點與點A重合，右端點與點B重合，數(shù)軸的單位長度為1cm，如圖所示．（1）若將木棒沿數(shù)軸向右移動，當木棒的左端點移動到點B處時、它的右端點在數(shù)軸上對應的數(shù)為20；若將木棒沿數(shù)軸向左移動時，當它的右端點移動到點A處時，木棒左端點在數(shù)軸上對應的數(shù)為5，由此可得木棒的長為5cm；我們把這個模型記為“木捧摸型”；（2）在（1）的條件下，已知點C表示的數(shù)為﹣2．若木棒在移動過程中，當木棒的左端點與點C相距3cm時，求木棒的右端點與點A的距離；（3）請根據(jù)（1）的“木棒模型”解決下列問題．某一天，小字問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在那么大，你還要41年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就有124歲了，世界級老壽星了，哈哈！”請你畫出“木棒模型”示意圖，求出爺爺現(xiàn)在的年齡．解：（1）由圖觀察可知，三根木棒長是20﹣5＝15（cm），則此木棒長為：15÷3＝5（cm）；故答案為：5cm；（2）由題可知，點A所表示的數(shù)是5+5＝10，∵木棒的左端點與點C相距3cm，點C表示的數(shù)為﹣2，當左端點在點C右側3cm時，此時木棒左端點表示的數(shù)為：﹣2+3＝1，右端點表示的數(shù)為；1+5＝6，木棒的右端點與A的距離為：10﹣6＝4，當左端點在點C左側3cm時，此時木棒左端點表示的數(shù)為：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端點表示的數(shù)為：﹣5+5＝0，木棒的右端點與點A的距離＝10﹣0＝10，∴木棒的右端點與點A的距離為4或10；（3）由圖可知，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看作木棒AB，類似爺爺是小紅現(xiàn)在年齡時看作當B點移動到A點時，此時A點所對應的數(shù)位﹣41，因為當A點移動到B點時，此時B點所對應的數(shù)為124，所以爺爺比小紅大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（歲），所以爺爺?shù)哪挲g為124﹣55＝69（歲），答：爺爺現(xiàn)在的年齡是69歲．14．對于數(shù)軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該點是其它兩個點的“聯(lián)盟點”．例如：數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯(lián)盟點”．（1）若點A表示數(shù)﹣1，點B表示的數(shù)2，下列各數(shù)：，0，1，4，5所對應的點分別為C1，C2，C3，C4，C5，其中是點A，B的“聯(lián)盟點”的是C2，C3，C5；（2）點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是3，P是數(shù)軸上的一個動點：①若點P在線段AB上，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點A的左側，點P、A、B中有一個點恰好是其它兩個點的“聯(lián)盟點”，求出此時點P表示的數(shù)．解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，∴2AC1≠BC1，∴C1不是A，B的“聯(lián)盟點”．∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，∴2AC2═BC2，∴C2是A，B的“聯(lián)盟點”．∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，∴AC3═2BC3，∴C3是A，B的“聯(lián)盟點”．∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，∴AC4≠BC4，∴C4不是A，B的“聯(lián)盟點”．∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，∴AC5═2BC5，∴C5是A，B的“聯(lián)盟點”．綜合上述，是點A，B的“聯(lián)盟點”的是C2，C3，C5．（2）解；設點P表示的數(shù)為x，①∵P在線段AB上，∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，當AP＝2BP時，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，當BP＝2AP時，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，綜上所述，點P表示的數(shù)為，．②由題意得，AB＝4，∵P在A的左側，∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，當點A為B，P的“聯(lián)盟點”時，若AB＝2AP，則有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，若AP＝2AB，則有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，當點B為A，P的“聯(lián)盟點”時，2AB＝BP，則有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，當點P為A，B的“聯(lián)盟點”時，BP＝2PA，則有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，綜上所述，P表示的數(shù)為﹣9，﹣3，﹣5．15．如圖，點A，O，B，D在同一條直線l上，點B在點A的右側，AB＝6，OB＝2，點C是AB的中點，如圖畫數(shù)軸．（1）若點O是數(shù)軸的原點，則點B表示的數(shù)是2，點C表示的數(shù)是﹣1；（2）若點O是數(shù)軸的原點時，D點表示的數(shù)為x，且AD＝5，求x；（3）若點D是數(shù)軸的原點，點D在點A的左側，點A表示的數(shù)為m，且A，B，C，O所表示的數(shù)之和等于21，求m；（4）當O是數(shù)軸的原點，動點E，F(xiàn)分別從A，B出發(fā)，相向而行，點E的運動速度是每秒2個單位長度，點F的運動速度是每秒1個單位長度，當EF＝3時，求點A，B，E，F(xiàn)表示的數(shù)之和．解；（1）點B在點A的右側，OB＝2，∴點B表示的數(shù)是﹣2，故答案為：2；AB＝6，點C是AB的中點，∴BC＝3，∴點C表示的數(shù)是2﹣3＝﹣1，故答案為：﹣1；（2）AB＝6，點B在點A的右側，點A表示的數(shù)是﹣4，AD＝|﹣4﹣x|＝5，x＝1或x＝﹣9；（3）若點D是數(shù)軸的原點，點D在點A的左側，點A表示的數(shù)為m，∵AB＝6，C是AB的中點，OB＝2，∴AC＝3，AO＝4，∴點O表示的數(shù)是m+4，點C表示的數(shù)是m+3，點B表示的數(shù)是m+6，m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，解得m＝2；（4）設運動時間為t，據(jù)題意得：6﹣2t﹣t＝3，解得t＝1，AE＝2，BF＝1，點E表示的數(shù)是﹣2，點F表示的數(shù)是1，點A，B，E，F(xiàn)表示的數(shù)之和為：﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，16．如圖，在數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點C表示數(shù)c，a，c滿足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的負整數(shù)．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2．（2）若將數(shù)軸折疊，使得點A與點C重合，則點B與數(shù)﹣1表示的點重合；（3）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A和點B分別以每秒0.4個單位長度和0.3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒0.2個單位長度的速度向左運動，點C到達原點后立即以原速度向右運動，運動時間為t秒，若點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，請問：5AB﹣BC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出5AB﹣BC的值．解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的負整數(shù)，a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，故答案為：﹣4，﹣1，2；（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，點B為AC的中點，故將數(shù)軸折疊，使得點A與點C重合，則點B與自身重合，故答案為：﹣1；（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，當C運動到原點時，t＝2÷0.2＝10（秒），點B運動到點A的位置，當t≤10秒時，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，5AB﹣B＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）＝15+0.5t﹣3﹣0.1t＝12+0.4t，5AB﹣BC的值隨時間的變化而變化；當t＞10時，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，5AB﹣BC＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）＝15+0.5t﹣4﹣0.5t＝11．這時5AB﹣BC的值不變．17．定義：對于數(shù)軸上的三點，若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系．如下圖，數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B就是點A，C的一個“關聯(lián)點”．（1）寫出點A，C的其他三個“關聯(lián)點”所表示的數(shù)：﹣2、2、7．（2）若點M表示數(shù)﹣2，點N表示數(shù)4，數(shù)﹣8，﹣6，0，2，10所對應的點分別是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是點M，N的“關聯(lián)點”是點C2．（3）若點M表示的數(shù)是﹣3，點N表示的數(shù)是10，點P為數(shù)軸上的一個動點．①若點P在點N左側，且點P是點M，N的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．②若點P在點N右側，且點P，M，N中，有一個點恰好是另外兩個點的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，2是A，C的一個“關聯(lián)點”，設x是A，C的一個“關聯(lián)點”，x﹣1＝2（x﹣4）解得x＝7，設y是A，C的一個“關聯(lián)點”，2（1﹣y）＝4﹣y解得y＝﹣2，A，C的其他三個“關聯(lián)點”所表示的數(shù)為：﹣2、2、7，故答案為：﹣2、2、7，（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，∴C1是關聯(lián)點，∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，∴C2不是關聯(lián)點，∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，∴C3是關聯(lián)點，∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，∴C4是關聯(lián)點，∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，∴C5是關聯(lián)點，故答案為：C2．（3）①若點P在點N左側且在M的右側，設點P表示的數(shù)為x，當2（x+3）＝10﹣x解得，當x+3＝2（10﹣x）解得，若點P在M點左側，設點P表示的數(shù)為x，∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x解得x＝﹣16，綜上所述：P表示的數(shù)為：；②若點P在點N右側，設點P表示的數(shù)為x，當PN＝2MN時，則2×13＝x﹣10解得x＝36，當MN＝2PN時，則13＝2×（x﹣10）解得，當MP＝2MN時，則x+3＝2×13解得x＝23，當MP＝2PN時，則x+3＝2×（x﹣10）解得x＝23，綜上所述：P表示的數(shù)為：，23.36．18．[知識背景]：數(shù)軸上，點A，點B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點的距離表示為AB＝|a﹣b|．線段AB的中點P表示的數(shù)為．[知識運用]：已知數(shù)軸上A，B兩點對應的數(shù)分別為a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P為數(shù)軸上一動點，對應的數(shù)為x．（1）a＝4，b＝2；（2）若點P為線段AB的中點，則P點對應的數(shù)x為3，若點B為線段AP的中點，則P點對應的數(shù)x為0；（3）若點A、點B同時從圖中位置在數(shù)軸上向左運動，點A的速度為每秒1個單位長度，點B的速度為每秒3個單位長度，則經(jīng)過122秒點B追上點A；（4）若點A、點B同時從圖中位置在數(shù)軸上向左運動，它們的速度都為每秒1個單位長度，與此同時點P從表示﹣16的點處以每秒2個單位長度的速度在數(shù)軸上向右運動．經(jīng)過多長時間后，點A、點B、點P三點中，其中一點是另外兩點組成的線段的中點？解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，∴a＝4，b＝2．故答案為4、2．（2）點A，B表示的數(shù)分別為4，2，P對應數(shù)為x，若點P為線段AB的中點，則P點對應的數(shù)x＝＝3，若B為線段AP的中點時，則＝2，解得x＝0．故答案為1，0；（3）解：設經(jīng)過x秒點B追上點A，（3﹣1）x＝4﹣2，2x＝2，x＝1，答：經(jīng)過1秒點B追上點A．（4）經(jīng)過t秒后，點A，點B，點P三點中其中一點是另外兩點的中點，t秒后，點A的位置為：4﹣t，點B的位置為：2﹣t，點P的位置為：﹣16+2t，當點A為PB的中點時，則有，2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，當點B為PA的中點時，則有，2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，當點P為BA的中點時，則有，2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，答：經(jīng)過秒，秒，秒后，點A，點B，點P三點中其中一點是另外兩點的中點．故答案為：秒，秒，秒．19．結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）探究：①數(shù)軸上表示5和3的兩點之間的距離是2．②數(shù)軸上表示﹣1和﹣4的兩點之間的距離是3．③數(shù)軸上表示﹣3和5的兩點之間的距離是8．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點之間的距離等于|a﹣b|．（3）應用：①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與3之間，則|a+4|+|a﹣3|的值＝7．②若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a﹣1|＝|a+3|，則a＝﹣1．③若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3．④若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a+3|+|a﹣5|＞8，則有理數(shù)a的取值范圍是a＞5或a＜﹣3．（4）拓展：已知，如圖2，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應的數(shù)為﹣20，B點對應的數(shù)為100．若當電子螞蟻P從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3單位/秒的速度向左運動，求經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的數(shù)．解：（1）①5﹣3＝2，故答案為：2；②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，故答案為：3；③5﹣（﹣3）＝8，故答案為：8；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離得|a﹣b|，故答案為：|a﹣b|；（3）①∵表示數(shù)a的點位于﹣4與3之間，∴|a+4|+|a﹣3|＝a+4+3﹣a＝7，故答案為：7；②∵|a﹣1|＝|a+3|∴表示數(shù)a的點在1和﹣3之間，∴|a﹣1|＝|a+3|，1﹣a＝a+3，a＝﹣1，故答案為：﹣1；③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，∴表示a的點在﹣2與1之間，∴|a﹣1|+|a+2|＝1﹣a+a+2＝3，故答案為：3；④|a+3|+|a﹣5|＞8，當﹣3＜a＜5時，|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合題意舍去；當a＜﹣3時，|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，a＜﹣3；當a＞5時，|a+3|+|a﹣5|＞8，a+3+a﹣5＞8，a＞5，故答案為：a＜﹣3或a＞5；（4）設電子螞蟻運動x秒時，P、Q相距20個單位長度，①4x+3x+20＝20+100，x＝，點P表示的是4×﹣20＝②4x+3x﹣20＝20+100，x＝20，點P表示的是4×20﹣20＝60，20．將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點A表示﹣10，點B表示10，點C表示18．我們稱點A和點C在數(shù)軸上的“友好函數(shù)”為28個單位長度．動點P從點A出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動．當運動到點O與點B之間時速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過點B后立刻恢復原速；同時，動點Q從點C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其負方向運動，當運動到點B與點O之間時速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，?jīng)過O后也立刻恢復原速．設運動的時間為t秒．（1）動點P從點A運動至點C需要19秒，動點Q從點C運動至點A需要23秒；（2）P，Q兩點相遇時，求出相遇點M在“折線數(shù)軸”上所對應的數(shù)；（3）是否存在t值，使得點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵點A表示﹣10，點B表示10，點C表示18，∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，∴動點P從點A運動至點C需要的時間是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），動點Q從點C運動至點A需要的時間是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），故答案為：19，23；（2）根據(jù)題意可知，P、Q兩點在OB上相遇，P點運動到OB上時表示的數(shù)是t﹣5，Q點運動到OB上時表示的數(shù)是10﹣2（t﹣8），∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），解得t＝，∴M點表示的數(shù)是﹣5＝；（3）存在t值，使得點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”，理由如下：∵點A表示﹣10，點B表示10，∴點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”是20，①當0≤t≤5時，P點在OA上，Q點在BC上，此時P點表示的數(shù)是﹣10+2t，Q點表示的數(shù)是18﹣t，∴點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，由題意可得，28﹣3t＝20，解得t＝；②當5＜t≤8時，P點在OB上，Q點在OC上，此時P點表示的數(shù)是t﹣5，Q點表示的數(shù)是18﹣t，∴點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，由題意可得，23﹣2t＝20，解得t＝（舍）；③8＜t≤13時，點P、Q都在BO上，此時PQ＜10，∴此情況不符合題意；④13＜t≤15時，P點在OB上，Q點在OA上，此時P點表示的數(shù)是t﹣5，Q點表示的數(shù)是t﹣13，∴點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，由題意可得，2t﹣18＝20，解得t＝19（舍）；⑤15＜t≤19時，P點在BC上，Q點在OA上，此時P點表示的數(shù)是2t﹣20，Q點表示的數(shù)是t﹣13，∴點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由題意可得，3t﹣33＝20，解得t＝；⑥19＜t≤23時，P點在C的右側，Q點在OA上，此時P點表示的數(shù)是2t﹣20，Q點表示的數(shù)是t﹣13，∴點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”為t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，由題意可得，3t﹣33＝20，解得t＝（舍）；⑦t＞23時，P點在C點右側，Q點在A點左側，PQ＞20，不符合題意；綜上所述：t的值為或．21．在數(shù)軸上，點M，N對應的數(shù)分別是m，n（m≠n，mn≠0），P為線段MN的中點，同時給出如下定義：如果＝10，那么稱M是N的“努力點”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力點”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0則m＝10，n＝﹣90；（2）在（1）的條件下，下列說法正確的是③（填序號）；①M是P的“努力點”；②M是N的“努力點”③N是M的“努力點”；④N是P的“努力點”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一點的“努力點”，求值？解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，∴m＝10，n＝﹣90，故答案為：10，﹣90；（2）∵m＝10，n＝﹣90，∴P點對應的數(shù)是﹣40，∵||＝，∴M不是P的“努力點”，故①不符合題意；∵m＝10，n＝﹣90，∴||＝，∴M不是N的“努力點”，故②不符合題意；∵||＝10，∴N是M的“努力點”，故③符合題意；∵||＝，∴N是P的“努力點”，故④不符合題意；故答案為：③；（3）∵P為線段MN的中點，∴P點對應的數(shù)為，當P是M點的“努力點”時，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣；當P是N點的“努力點”時，||＝10，∴＝21或＝﹣19，∵mn＜0，∴＝﹣19；綜上所述：的值為﹣19或﹣．22．在數(shù)軸上，O為原點，點A，B對應的數(shù)分別是a，b（a≠b，ab≠0），M為線段AB的中點．給出如下定義：若OA÷OB＝4，則稱A是B的“正比點”；若OA×OB＝4，則稱A是B的“反比點”．例如a＝2，時，A是B的“正比點”；a＝2，b＝﹣2時，A是B的“反比點”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，則M對應的數(shù)為1，下列說法正確的是③④（填序號）．①A是M的“正比點”；②A是M的“反比點”；③B是M的“正比點”；④B是M的“反比點”；（2）若ab＞0，且M是A的“正比點”，求的值；（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，直接寫出的值．解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∵M為線段AB的中點．∴M對應的數(shù)為：＝1，①OA÷OM＝2÷1≠4，∴A不是M的“正比點”；②OA×OM＝2×1≠4，∴A不是M的“反比點”；③OB÷OM＝4÷1＝4，∴B是M的“正比點”；④OB×OM＝4×2＝16，∴B是M的“反比點”；故答案為：1；③④；（2）∵M為線段AB的中點，∴M點對應的數(shù)為：，∵ab＞0，∴a，b，都同號，∵M是A的“正比點”，∴OM÷OA＝4，∴＝4a，7a＝b，∴＝7；（3）∵ab＜0，∴a，b異號，∵M既是A，B其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，∴OM＝4OA，OM×OB＝4或OM＝4OB，OM×OA＝4，化簡都得出：OA?OB＝1，∴ab＝﹣1，分兩種情況：①OM＝4|a|，∴||＝4|a|，∴＝4a或＝﹣4a，解得：7a＝b（舍去）或b＝﹣9a，∴＝﹣9；②OM＝4|b|，∴||＝4|b|，∴＝4b或＝﹣4b，解得：7b＝a（舍去）