模型44 三角板拼接模型（教師版）

PAGE1模型介紹模型介紹1.如圖所示為一塊含有30°角的三角板，則∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。2.如圖所示為一塊含有45°角的三角板，則∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。方法點睛我們知道一副三角板是由一塊含有銳角分別為30°，60°的直角三角板和另一塊含有兩個銳角45°的等腰直角三角板組成,它們提供了較為直觀的30°，45°，60°以及90°,此外這些角度還可以進行一些拼湊。依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角之間的關系，今天我們就來學習下由平行線與三角板構成的些位置角的計算或證明問題.例題精講例題精講【例1】．將一副三角尺按如圖所示的方式擺放（兩條直角邊在同一條直線上），連接另外兩個銳角頂點，并測得∠1＝45°，則∠2的度數(shù)為______解：如圖所示：∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，因為∠1＝45°，所以∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣45°﹣75°＝60°．變式訓練【變式1-1】．如圖，一副三角尺△ABC與△ADE的兩條斜邊在一條直線上，直尺的一邊GF∥AC，則∠DFG的度數(shù)為105°．解法一：∵GF∥AC，∠C＝90°，∴∠CFG＝180°﹣90°＝90°，又∵AD，CF交于一點，∠C＝∠D，∴∠CAD＝∠CFD＝60°﹣45°＝15°，∴∠DFG＝∠CFD+∠CFG＝15°+90°＝105°．解法二：∵GF∥AC，∠CAB＝60°，∴∠FGE＝60°，又∵∠DFG是△EFG的外角，∠FEG＝45°，∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°，故答案為：105°．【變式1-2】．一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點C與F重合，邊CA與邊FE疊合，頂點B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點F按順時針方向旋轉n°后（0＜n＜180），如果DE∥AB，那么n的值是75°．解：如圖：∵順時針旋轉n°后，DE∥AB，∴D'E'∥AB，延長AC、E'D'交于點G，∴∠CGD'＝∠CAB＝45°，∵∠CD'E'＝60°，∴∠GCD'＝15°，∵∠GCD'+∠D'CE'+∠ACE'＝180°，∠D'CE'＝90°，∴∠ACE'＝75°，∴n的值為75．故答案為：75°．【例2】．將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放，若直線a∥b，則∠1的度數(shù)為75°．解：如圖，∠2＝45°，∠3＝60°，∴∠2+∠3＝45°+60°＝105°，∵a∥b，∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故答案為：75°．變式訓練【變式2-1】．一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若∠1＝43°，則∠2＝（）A．40° B．43° C．45° D．47°解：如圖，∵∠1＝43°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝88°，∵直尺對邊平行，∴∠5＝∠3＝88°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣88°＝47°，故選：D．【變式2-2】．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，將它們按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器的0°刻度線重合，邊AP與量角器的180°刻度線重合．將三角尺PCD繞點P以每秒3°的速度逆時針旋轉，同時三角尺ABP繞點P以每秒2°的速度順時針旋轉，當三角尺PCD的PC邊與180°刻度線重合時兩塊三角尺都停止運動，則當運動時間t＝6、9、15、33秒時，兩塊三角尺有一組邊平行．①當AP∥CD時，∠APD+∠D＝180°．∵∠D＝30°，∴∠APD＝150°．∴180°﹣5t＝150°．t＝6．②當AB∥PD時，∠A+∠APD＝180°．∵∠A＝45°，∴∠APD＝135°，∴180°﹣5t＝135°，t＝9．③當AB∥CD時，∠APD＝105°＝180°﹣5t，∴t＝15．④當AB∥CP時，∠CPB＝90°，∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，∴t＝33．⑤當AP∥CD時，∠C+∠APC＝180°，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，∴t＝42＞40（舍去）．故答案為：6，9，15，33．1．將一副三角板按如圖所示方式疊放在一起，其中直角頂點重合于點O，若AB∥OD，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°解：由題意可知，∠B＝45°，∠D＝30°，∵AB∥OD，∴∠BOD＝∠B＝45°，∵∠1＝∠BOD+∠D，∴∠1＝45°+30°＝75°，故選：D．2．一把直尺與一塊三角板如圖放，若∠1＝49°，則∠2的度數(shù)為（）A．41° B．49° C．131° D．139°解：如圖，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得：∠3＝90°+∠1＝90°+49°＝139°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠2＝∠3＝139°．故選：D．3．如圖，直線m∥n，三角尺的直角頂點在直線m上，且三角尺的直角被直線m平分，若∠1＝60°，則下列結論正確的是（）A．∠2＝65° B．∠3＝45° C．∠4＝125° D．∠5＝130°解：如圖：∵三角尺的直角被直線m平分，∴∠6＝∠7＝45°，∵∠1＝60°，∴∠4＝∠6+∠1＝45°+60°＝105°，∵m∥n，∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，∴選項A、C、D不符合題意，選項B符合題意，故選：B．4．將一副三角板按如圖所示的位置擺放AB∥CD，則∠1的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°解：如圖，由題意得：∠D＝45°，∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠ANM＝∠D＝45°，∴∠BNE＝∠ANM＝45°，∵∠1是△BEN的外角，∴∠1＝∠B+∠BNE＝75°．故選：C．5．將一副直角三角板按如圖方式擺放，若直線a∥b，則∠1的大小為（）A．105° B．75° C．60° D．45°解：如圖：∠BAC＝45°+60°＝105°，∵a∥b，∴∠1+∠BAC＝180°，∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故選：B．6．一副三角板按如圖所示的位置疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．5° B．10° C．15° D．20°解：如圖，由題意得：∠A＝45°，∠2＝60°，∵∠2是△ABC的外角，∴∠α＝∠2﹣∠A＝15°．故選：C．7．將一副三角板按如圖所示的位置擺放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，點D在邊BC上，邊DE，AB交于點G．若EF∥AB，則∠CDE的度數(shù)為（）A．105° B．100° C．95° D．75°解：∵EF∥AB，∠E＝45°，∴∠BGD＝∠E＝45°，∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．故選：A．8．將一副直角三角板按如圖所示方式疊放，現(xiàn)將含30°角的三角板固定不動，把含45°角的三角板繞O點按每秒15°的速度沿逆時針方向勻速旋轉一周，當兩塊三角板的斜邊平行時，則三角板旋轉的時間為（）秒．A．5 B．7 C．5或17 D．7或19解：如圖，當斜邊AB∥DO時，∠AOD＝∠A＝30°，∵∠DOE＝45°，∴旋轉角COE＝180°﹣AOD﹣∠DOE＝105°，105°÷15°＝7（秒）；如圖，將△ABE繼續(xù)逆時針旋轉180°，可得斜邊AB∥OD′，此時，旋轉角為105°+180°＝285°，285°÷15°＝19；故選：D．9．將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合，已知AB＝4，P、Q分別是AC、BC上的動點，當四邊形DPBQ為平行四邊形時，平行四邊形DPBQ的面積是（）A．9 B． C．6 D．3解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4，∴AC＝AB?cos30°＝4×＝6，∵四邊形DPBQ為平行四邊形，∴DP∥CB，∴∠DPC＝∠ACB＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴點P是AC的中點，∴DP＝PC＝AC＝3，∴平行四邊形DPBQ的面積＝DP?PC＝3×3＝9，故選：A．10．將一副三角板按如圖所示的方式擺放，點D在邊AC上，BC∥EF，則∠ADE的大小為75度．解：如圖，∠C＝30°，∠E＝45°，∵BC∥EF，∴∠1＝∠E＝45°，∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，故答案為：75．11．已知：如圖，AB∥CD，一副三角板按如圖所示放置，∠AEG＝30°．求∠HFD的度數(shù)．解：過點G作AB平行線交EF于P，由題意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP＝∠AEG＝30°，∴∠PGF＝60°，∴∠GFC＝∠PGF＝60°，∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝45°．12．將一副三角板如圖拼接：含30°角的三角板（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角板（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一個動點，連接DP．（1）當點P運動到∠ABC的平分線上時，求DP的長；（2）當點P在運動過程中出現(xiàn)PD＝BC時，求此時∠PDA的度數(shù)．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°∴BC＝，AC＝3．如圖（1），作DF⊥AC∵Rt△ACD中，AD＝CD∴DF＝AF＝CF＝，∵BP平分∠ABC∴∠PBC＝30°∴CP＝BC?tan30°＝1∴PF＝∴DP＝＝．（2）當P點位置如圖（2）所示時，根據(jù)（1）中結論，DF＝，∠ADF＝45°又PD＝BC＝∴cos∠PDF＝＝∴∠PDF＝30°∴∠PDA＝∠ADF﹣∠PDF＝15°當P點位置如圖（3）所示時，同（2）可得∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF+∠PDF＝75°．13．小聰把一副三角尺ABC，DCE按如圖1的方式擺放，其中邊BC，DC在同一條直線上，過點A向右作射線AP∥DE．（1）如圖2，求∠PAC的度數(shù)；（2）如圖3，點Q是線段BC上一點，若，求∠QAB的度數(shù)．解：（1）∵AP∥DE，∴∠PAB+∠D＝∠ABD，∵∠D＝30°，∠ABD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠PAC＝15°．（2）∵AP∥DE，∴∠PAQ+∠D＝∠AQB，∵∠AQB＝∠PAQ，∴設∠PAQ＝x，則∠AQB＝x，∴x+30°＝x，解得x＝45°，∴∠AQB＝75°，∴∠QAB＝90°﹣75°＝15°．14．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起：（1）若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數(shù)為145°；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數(shù)；（3）猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，并說明理由；（4）三角尺ACD不動，將三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，然后繞點C按順時針或逆時針．方向任意轉動一個角度，當∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度時，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠ACE角度所有可能的值，不用說明理由．解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．（2）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．（3）∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB與∠DCE互補．（4）30°、45°、60°、75°．15．將一副三角尺按如圖①方式拼接：含30°角的三角尺的長直角邊與含45°角的三角尺的斜邊恰好重合（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2P是AC上的一個動點．（1）當PD＝BC時，求∠PDA的度數(shù)；（2）如圖②，若E是CD的中點，求△DEP周長的最小值；（3）如圖③，當DP平分∠ADC時，在△ABC內(nèi)存在一點Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝，求PQ的長．解：（1）如圖1，過點D作DM⊥AC交于M，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC：AC：AB＝1：：2，且AB＝2，∴BC＝，AC＝3，在Rt△ADC中，AD：CD：AC＝1：1：，∴AM＝MC＝DM＝1.5；在Rt△PDM中，PD＝BC＝，∴PM＝＝，∴PM＝PD，∴∠PDM＝30°，∴∠PDA＝45°﹣30°＝15°；當點P位于DM右側時，∠PDA＝45°+30°＝75°．（2）如圖2，作△ADC關于直線AC對稱，D的對稱點為D′，則四邊形AD′CD是正方形，連接D′E，PD，此時PD+PE＝D′E，∴△PDE的周長最小，易得CD＝CD′＝，CE＝DE＝，則D′E＝＝，∴△PDE的周長的最小值為+；（3）如圖3，作∠QPN＝90°，交DQ于點N，由∠DQC＝∠DPC＝90°知∠PDN＝∠PCQ，由∠DPQ＝∠DPN+90°＝∠CPQ+90°知∠DPN＝∠CPQ，又DP＝CP，∴△DPN≌△CPQ（ASA），∴PN＝PQ，∴△PNQ是等腰直角三角形，∴∠PNQ＝∠PQN＝45°，∴∠PQC＝45°+90°＝135°＝∠PND，∴DN＝CQ＝，在Rt△DQC中，DQ＝＝2，∴QN＝2﹣，在等腰直角三角形NPQ中，PQ：PN：NQ＝1：1：，∴PQ＝﹣．16．（1）如圖1，線段MN＝30cm，MO＝GO＝3cm，點P從點M開始繞著點O以