第3講 基本幾何元素的投影

3

基本幾何元素的投影點、線、平面、曲面的投影特性空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。VWHOXYZAa’aa’’3.1.1點的三面投影及其展開YWZOXYHa’aa’’

3.1點的投影VWHOXYZAa’aa’’OXYWYHZa’aa’’3.1.2點的三面投影和坐標(biāo)點的投影規(guī)律點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸點的水平投影到OX軸的距離等于點的側(cè)面投影到OZ軸的距離長對正、高平齊、寬相等投影點間的連線和投影軸的關(guān)系：

a’a⊥OX

a’a”⊥OZ

aax＝a”az點的投影規(guī)律OXYHYWZa’aa’’b’bb’’c’cc’’利用點的兩個投影求第三個投影如果知道點的兩個投影，則該點在空間的位置就確定了，因此它的第三投影也唯一確定。

●●a

aax已知點的兩個投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz方法一:通過作45°線使a

az=aax方法二:用分規(guī)直接量取a

az=aaxa

●點在投影面和投影軸上的投影規(guī)律

點在投影面上；點在投影軸上點的兩個投影落在投影軸上；點的三個投影和其本身重合d’dee’f’f’’e’’fd’’zxYW

YH0例：已知點的兩投影，求其第三投影daa’a’’1.兩點的相對位置3.1.3兩點的投影及重影點例二：題解重影點:空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。OXYWYHZa’aa’’b’b’’(b)重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。3.2直線的投影:1.投影面垂直線:垂直于一個投影，平行于另二個投影面2.投影面平行線:平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面

3.一般位置直線:

傾斜于三個投影面的直線。

2、投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線投影面垂直線的投影特性

投影面垂直線種類正垂線：⊥V面，∥H，∥W鉛垂線：⊥H面，∥V，∥W側(cè)垂線：⊥W面，∥H，∥V。投影面垂直線投影特性當(dāng)直線AB垂直于投影面時，它在該投影面上的投影ab變成一個點a≡b。直線上任一點M的投影m也重合在這個點上，這種性質(zhì)叫積聚性；在另外兩個投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。

鉛垂線的投影總結(jié)：投影面垂直線的投影特性

在所垂直的投影面上積聚為一點；其它兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸。1、投影面的平行線水平線正平線側(cè)平線投影面平行線的投影特性

投影面平行線種類正平線：∥V，對H、W面傾斜。水平線：∥H，對V、W傾斜。側(cè)平線：∥W．對H、V傾斜。投影面平行線投影特性在直線所平行的投影面上，投影反映實長；且其投影與投影軸的夾角反映直線與相應(yīng)投影面的傾角；在另外兩個投影面上的投影小于實長，且平行于相應(yīng)的投影軸。

反映ＡＢ實長正平線投影圖總結(jié):投影面平行線的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映實長；其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。

一般位置直線的投影特性直線的各投影均對投影軸傾斜；直線的各投影與投影軸的夾角并不反映空間直線與相應(yīng)投影面的傾角。當(dāng)直線AB傾斜于投影面時，它在該投影面上的投影ab長度小于實長，縮短多少，根據(jù)對投影面夾角大小確定。

投影特性：三個投影都縮短。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角的實大，且與三根投影軸都傾斜。abb

a

b

a

討論：如何判斷直線于投影面關(guān)系投影面垂直線：有兩個垂直于投影軸的投影有一個投影積聚成一點投影面平行線：有一個平行于投影軸的投影一般位置直線：有兩個不平行于投影軸的投影3.2.2直線上的點：①從屬性：點在直線上，點的投影在直線的同面投影上。②定比性：點分線段之比等于點的投影分線段的投影之比。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a點Ｃ的投影在直線的同面投影上，并符合點的投影規(guī)律。

C點在直線ＡＢ上NEW例：判斷點Ｍ是否在直線ＣＤ上解法１：

點Ｍ的投影不符合點在直線上的投影規(guī)律，故Ｍ點不在直線ＣＤ上。NEWd0M0解法２例：判斷點Ｍ是否在直線ＣＤ上O

點Ｍ的投影不符合直線上點定比性，故Ｍ點不在直線ＣＤ上。已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV3.2.3直線與直線的相對位置空間兩直線的相對位置同面直線異面直線平行相交交叉例：已知直線AB平行直線CD，試完成直線AB和CD的三面投影。

題解：acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW兩相交直線兩交叉直線正面投影重影點水平投影重影點重影點的可見性判斷b

d

c

a

cbadd

b

a

c

AB與CD不平行。判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影3.3平面的投影1、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個點●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形各種位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面3.3.2各種位置的平面的投影特性VWHPPH鉛垂面投影特性：1、

abc積聚為一條線

2、

a

b

c

、

a

b

c

為

ABC的類似形

3、

abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

VWHQQV正垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線

2、abc、a

b

c

ABC的類似形

3、a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

BVWHSWS側(cè)垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線

2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形

3、a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

投影面垂直面投影特性垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。正垂面：垂直于V面，對H，W面傾斜鉛垂面：垂直于H面，對V，W面傾斜側(cè)垂面：垂直于W面，對H，V面傾斜投影面垂直面的投影特性：平面所垂直的投影面上的投影積聚為直線，與投影軸的夾角，分別反映平面對另兩個投影面的真實傾角。（積聚性）在另外兩個投影面上的投影均為縮小的平面圖形。（類似性）

VWH水平面投影特性：

1、a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線積聚為一條線，具有積聚性

2、水平投影abc反映

ABC實形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

正平面VWH投影特性：

1、abc

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2、正平面投影a

b

c

反映

ABC實形

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA投影特性：

1、abc

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2、側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實形

側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

投影面平行面投影特性平行于一個投影面，垂直于另兩個投影面。正平面：平行于V面，對H，W面垂直水平面：平行于H面，對V，W面垂直側(cè)平面：平行于W面，對H，V面垂直投影面平行面投影特性：平面所平行的投影面上的投影反映實形；（實形性）平面在另外兩個投影面上的投影均積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。（積聚性）一般位置平面投影特性對V，H，W面都傾斜，不在同一直線上的三點構(gòu)成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍為平面圖形，且面積縮小。其投影為和原來形狀類似的圖形。（類似性）

一般位置平面投影特性

1、abc

、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形

2、不反映

、

、

的真實角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB平面和直線投影特點實形性：投影反映實形。直線或平面平行于投影面時。積聚性：投影積聚成一點或一條線。直線或平面垂直于投影面時。類似性：投影成為縮小的類似形。直線或平面傾斜于投影面時。3.3.2平面上的點和直線

點和直線在平面上的幾何條件是：(1)點在平面上，則該點必定在平面上的一條直線上。(2)直線在平面上，則該直線必定通過這個平面上的兩個點；或者通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。上述幾何條件，是解決有關(guān)平面上點和直線的作圖和判別等習(xí)題的依據(jù)。可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。

先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點的方法：首先面上取線②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解例題2

已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。d

da

b

c

abcee

a

b

c

bac例題已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。m

n

nmbckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例3：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二3.5回轉(zhuǎn)曲面的投影3.5.1回轉(zhuǎn)曲面的形成特點母線軸線母線軸線母線軸線3.5.2圓柱體、筒體1.母線2.素線3.回轉(zhuǎn)軸4.緯圓在圓柱表面上取點已知圓柱表面上的點M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。圓柱表面上取點a’a”ab’(b”)b筒體：3.5.3圓錐體如果是圓錐轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，可以直接作出點的其它兩個投影。如果在圓錐面上一般位置的點K，就只能作輔助線，才能由一已知投影，求出另外兩個投影。已知圓錐表面的點M的正面投影m’,求出M點的其它投影。過m’s’作圓錐表面上的素線，延長交底圓為1’。1’11”mm”a’(b’)圖3-14圓錐的投影及表面上的點