高考數(shù)學人教B版一輪復習訓練4-6正弦定理和余弦定理

核心考點·精準研析考點一正弦定理

1.在△ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對邊的邊長.若cosC+sinCQUOTE=0,則QUOTE的值是 ()A.QUOTE1 B.QUOTE+1C.QUOTE+1 D.22.已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=2A,則QUOTE的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE3.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=________. 導學號

【解析】1.選B.在△ABC中,由cosC+sinCQUOTE=0,由兩角和的正弦公式得2sinQUOTEsinQUOTE=2,所以C+QUOTE=B+QUOTE=QUOTE,解得C=B=QUOTE,所以A=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.2.選D.因為B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTEtanA.因為△ABC是銳角三角形,所以QUOTE解得QUOTE<A<QUOTE,所以QUOTE<tanA<1,所以QUOTE<QUOTEtanA<QUOTE.即QUOTE的取值范圍是QUOTE.3.已知bsinA+acosB=0,由正弦定理可得sinBsinA+sinAcosB=0,即sinB=cosB,又因為sin2B+cos2B=1,解得sinB=QUOTE,cosB=QUOTE,故B=QUOTE.答案:QUOTE解三角形的策略(1)將已知條件統(tǒng)一化為邊的關(guān)系,或角的關(guān)系.一般來說,求邊化邊,求角化角.(2)已知代數(shù)式兩邊,邊的次數(shù)相同時,可用正弦定理,將邊換為角的正弦.1.(2020·武漢模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=1,b=QUOTE,A=30°,若B為銳角,則A∶B∶C= ()A.1∶1∶3 B.1∶2∶3C.1∶3∶2 D.1∶4∶1【解析】選B.因為a=1,b=QUOTE,A=30°,B為銳角,所以由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,則B=60°,所以C=90°,則A∶B∶C=1∶2∶3.2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2ccosA,QUOTEsinA=1,則sinC的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為QUOTEsinA=1,即sinA=QUOTE,又a=2ccosA,cosA=QUOTE>0,所以cosA=QUOTE.由條件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即QUOTE=2×QUOTEsinC,所以sinC=QUOTE.考點二余弦定理

【典例】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知ac=QUOTEb,sinB=QUOTEsinC.(1)求cosA的值.(2)求cosQUOTE的值.【解題導思】序號聯(lián)想解題(1)看到“sinB=QUOTEsinC”,想到運用正弦定理,轉(zhuǎn)化為b=QUOTEc,又由“ac=QUOTEb”運用余弦定理求得cosA.(2)看到“cosQUOTE”想到公式cos(AB)=cosAcosB+sinAsinB.利用(1)得出的cosA的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cosQUOTE的值【解析】(1)在△ABC中,由QUOTE=QUOTE及sinB=QUOTEsinC,可得b=QUOTEc,又由ac=QUOTEb,得a=2c,所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)在△ABC中,由cosA=QUOTE,可得sinA=QUOTE.于是,cos2A=2cos2A1=QUOTE,sin2A=2sinA·cosA=QUOTE.所以cosQUOTE=cos2AcosQUOTE+sin2AsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步:選定理.兩角兩邊用正弦定理,三邊一角用余弦定理.第二步:求解.將已知代入定理求解.1.(2019·長沙模擬)已知在△ABC中,D是AC邊上的點,且AB=AD,BD=QUOTEAD,BC=2AD,則sinC的值為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)AB=AD=2a,則BD=QUOTEa,則BC=4a,所以cos∠ADB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos∠BDC=QUOTE=QUOTE,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=5a(舍去).所以cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,而C∈QUOTE,所以sinC=QUOTE.2.(2020·晉城模擬)如圖,在銳角三角形ABC中,sin∠BAC=QUOTE,sin∠ABC=QUOTE,BC=6,點D在邊BC上,且BD=2DC,點E在邊AC上,且BE⊥AC,BE交AD于點F.(1)求AC的長.(2)求cos∠DAC及AF的長.【解析】(1)在銳角三角形ABC中,sin∠BAC=QUOTE,sin∠ABC=QUOTE,BC=6,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE=5.(2)由sin∠BAC=QUOTE,sin∠ABC=QUOTE,得cos∠BAC=QUOTE,cos∠ABC=QUOTE,所以cosC=cos(∠BAC+∠ABC)=cos∠BACcos∠ABC+sin∠BACsin∠ABC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.因為BE⊥AC,所以CE=BCcosC=6×QUOTE=QUOTE,AE=ACCE=QUOTE.在△ACD中,AC=5,CD=QUOTEBC=2,cosC=QUOTE,由余弦定理得AD=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos∠DAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,所以AF=QUOTE=QUOTE.考點三正、余弦定理的綜合應用

命題精解讀考什么:判斷三角形形狀、個數(shù)、面積問題,最值、范圍問題;怎么考:考查解三角形問題常與平面幾何交匯,題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等;與平面向量交匯考查,解三角形還常與不等式,三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題.學霸好方法1.判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊:通過因式分解、配方等得出邊的相應關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.(2)化角:通過三角恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷三角形的形狀.此時要注意應用A+B+C=π這個結(jié)論.2.在三角形中求邊、角的方法(1)若求角,尋求得到這個角的一個函數(shù)的方程,結(jié)合角的范圍求解.(2)若求邊,尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角,利用三角形面積公式列方程求解.判斷三角形個數(shù)、形狀【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=QUOTE,A=45°,則滿足條件的三角形有()A.1個 B.2個C.0個 D.無法確定2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若QUOTE=QUOTE,則△ABC的形狀是 ()導學號A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】1.選B.因為bsinA=QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以bsinA<a<b.所以滿足條件的三角形有2個.【一題多解】選B.作∠A=45°,則點B,C分別在∠A的兩條邊上.因為AC=b=QUOTE,所以點C固定.過C作AB的垂線,垂足為D,易知CD=h=QUOTE,又因為a=2,即QUOTE<a<QUOTE,所以B有兩個位置符合題意.所以滿足條件的三角形有2個.2.選D.由已知QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE或QUOTE=0,即C=90°或QUOTE=QUOTE.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因為B,C均為△ABC的內(nèi)角,所以2C=2B或2C+2B=180°,所以B=C或B+C=90°,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.1.三角形解的個數(shù)如何判斷?提示:(1)已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理時,需判斷其解的個數(shù),用余弦定理時,可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).(3)數(shù)形結(jié)合,作圖,與相應的直角三角形比較.2.三角形形狀如何判定?提示:(1)角化邊:利用正弦定理、余弦定理化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷.(2)邊化角:通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷.面積問題【典例】1.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,則△ABC的面積為________.

【解析】因為cosB=QUOTE,又因為b=6,a=2c,B=QUOTE,可得c2=12,解得c=2QUOTE,a=4QUOTE,則△ABC的面積S=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6QUOTE.答案:6QUOTE2.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c且QUOTEacosC=(2bQUOTEc)cosA.(1)求角A的大小.(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得:QUOTEsinAcosC=2sinBcosAQUOTEsinCcosA,從而可得:QUOTEsin(A+C)=2sinBcosA,即QUOTEsinB=2sinBcosA,又B為三角形的內(nèi)角,所以sinB≠0,于是cosA=QUOTE,又A為三角形的內(nèi)角,所以A=QUOTE.(2)由余弦定理:a2=b2+c22bccosA得4=b2+c22bc·QUOTE≥2bcQUOTEbc,當且僅當b=c時取等號,所以bc≤4(2+QUOTE),所以S=QUOTEbcsinA≤2+QUOTE.所以△ABC面積的最大值為2+QUOTE.與三角形面積有關(guān)的問題如何求解?提示:解三角形與三角恒等變換交匯問題【典例】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinCcosC)=0,a=2,c=QUOTE,則C= 導學號()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意得sin(A+C)+sinA(sinCcosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=QUOTEsinCsinQUOTE=0,所以A=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,即sinC=QUOTE,得C=QUOTE.三角形與三角恒等變換交匯問題如何求解?提示:1.在△ABC中,cos2QUOTE=QUOTE(a,b,c分別為角A,B,C的對邊),則△ABC的形狀為()A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.鈍角三角形【解析】選A.已知等式變形得cosB+1=QUOTE+1,即cosB=QUOTE.由余弦定理得cosB=QUOTE,代入得QUOTE=QUOTE,整理得b2+a2=c2,即C為直角,則△ABC為直角三角形.2.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由正弦定理及sin2A≤sin2B+sin2CsinBsinC得a2≤b2+c2bc,即b2+c2a2≥bc,由余弦定理得cosA=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,又0<A<π,所以0<A≤QUOTE.所以A的取值范圍是QUOTE.3.(2018·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為QUOTE,則C= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE,即sinC=QUOTE,由余弦定理可知sinC=cosC,即tanC=1,又C∈(0,π),所以C=QUOTE.1.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinCcosC=1cosQUOTE,若△ABC的面積S=QUOTE(a+b)sinC=QUOTE,則△ABC的周長為 ()A.2QUOTE+5 B.QUOTE+5C.2QUOTE+3 D.QUOTE+3【解析】選D.由sinCcosC=1cosQUOTE?2sinQUOTEcosQUOTEQUOTE=1cosQUOTE?cosQUOTE2cosQUOTE2