2019年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）第一部分（選擇題共40分）選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)（A）（B）（C）3（D）5（2）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）1（B）2（C）3（D）4（3）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1，0）到直線l的距離是（A）（B）（C）（D）（4）已知橢圓（a>b>0）的離心率為，則（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若,滿足的最大值為（A）7（B）1（C）5（D）7（6）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述。兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為（）。已知太陽的星等為26.7，天狼星的星等為1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（A）（B）（C）（D）（7）設(shè)點(diǎn)不共線，則“與的夾角是銳角”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）。給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過;③曲線所圍城的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非選擇題共10分)二、填空題共6小題,每小題5分，共30分。(9)函數(shù)的最小正周期是________。(10)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=3，S5=10,則a3=________.Sn的最小值為_______。(11)某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得,其三視圖如圖所示。如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為________。(12)已知l、m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:①l⊥m；②m∥a；③l⊥a以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題:______。(13)設(shè)函數(shù)(a為常數(shù))，若f(x)為奇函數(shù),則a=______；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________。(14)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%。①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付_______元：②在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為________。三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。。（15）（本小題13分）在中，，，．（Ⅰ）求b,c的值；（Ⅱ）求的值。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角FAEP的余弦值;（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.（17）（本小題13分） 改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：（Ⅰ）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩個(gè)支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額大于2000元。根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由。（本小題14分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，1)。求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩上定點(diǎn)。（本小題13分）已知函數(shù)。求曲線的斜率為1的切線方程；設(shè)，記在區(qū)間[2，4]上的最大值為M(a)，當(dāng)M(a)最小時(shí)，求a的值。（本小題13分）已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1<i2<…<im)，若，則稱新數(shù)列為{an}的長度為m的遞增子列。規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項(xiàng)都是{an}的長度為1的遞增子列。寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個(gè)長度為4的遞增子列；已知數(shù)列{an}的長度為P的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為