第4章 桿件的應(yīng)力與強度計算

第4章桿件的應(yīng)力與強度計算§4–1應(yīng)力的概念§4–2軸向拉壓桿的應(yīng)力與強度條件

*§4–3剪切與擠壓的概念

*§4–4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力與強度計算§4–5

梁的應(yīng)力與強度計算

§4–6

組合變形桿的應(yīng)力與強度計算1

§4–1應(yīng)力的概念應(yīng)力是反映截面上各點處分布內(nèi)力的集度，

一、應(yīng)力的概念如圖B點處的應(yīng)力為：

將應(yīng)力分解為垂直于截面和相切于截面的兩個分量。垂直于截面的應(yīng)力分量稱為正應(yīng)力，用σ表示，與截面相切的應(yīng)力分量稱為剪應(yīng)力，用τ表示。2

應(yīng)力的符號規(guī)定：正應(yīng)力以拉為正，壓為負。當切應(yīng)力使隔離體有繞隔離體內(nèi)一點順時針轉(zhuǎn)動趨勢時，該切應(yīng)力為正；反之為負。

量綱：力/長度2＝N/m2

＝Pa通常用

MPa＝N/mm2＝106Pa有些材料

GPa＝kN/mm2＝

109Pa3§4–2軸向拉壓桿的應(yīng)力與強度條件一、橫截面上的應(yīng)力求應(yīng)力，先要找到應(yīng)力在橫截面上的分布情況。應(yīng)力是內(nèi)力的集度，而內(nèi)力與變形有關(guān)，所以可以由觀察桿件變形來確定應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律。觀察到如下現(xiàn)象：1）橫向線縮短，但仍保持為直線，且仍互相平行并垂直于桿軸線。2）縱向線仍保持與桿軸線平行，且各縱向線伸長。

4平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且垂直于桿軸線。設(shè)想桿件由無數(shù)根平行于軸線的縱向纖維組成結(jié)論：軸力垂直于橫截面，所以應(yīng)力也垂直于橫截面，所以橫截面上只有正應(yīng)力。軸向拉伸時，桿件橫截面上各點處只產(chǎn)生正應(yīng)力，且大小相等5平面假設(shè)各纖維伸長相同各點內(nèi)力相等應(yīng)力在橫截面上均勻分布正應(yīng)力的計算公式為：

正應(yīng)力的正負號與軸力FN相同，拉為正，壓為負。式中：FN----軸力；A---桿件的橫截面面積6例

圖所示為一民用建筑磚柱，上段截面尺寸為240240mm

，承受荷載FP1＝50kN；下段370370mm，承受荷載FP2＝100kN。試求各段軸力和應(yīng)力，并繪制軸力圖。解：1)求軸力2)求應(yīng)力7Fkk

F

二、軸向拉壓桿斜截面上的應(yīng)力1.斜截面上的應(yīng)力FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的應(yīng)力，于是有8沿截面法線方向的正應(yīng)力

沿截面切線方向的切應(yīng)力

將應(yīng)力pα分解為兩個分量：pαFkk

FFkkxn

pα

9（1）α角2.符號的規(guī)定（2）正應(yīng)力拉伸為正壓縮為負（3）切應(yīng)力對研究對象任一點取矩

pαFkk

FFkkxn

pα順時針為正逆時針為負逆時針時

為正號順時針時

為負號自x轉(zhuǎn)向n

10（1）當

=0°

時，（2）當

=45°時，

（3）當

=-45°

時，（4）當

=90°時，討論xnFkk

11FFbh1、縱向變形b1ll1縱向應(yīng)變（線應(yīng)變）

縱向絕對變形三、軸向拉壓時的變形122、橫向變形3、泊松比

稱為泊松比

橫向應(yīng)變FFbhb1ll1

橫向變形134、胡克定律

式中E稱為彈性模量（由實驗測定），EA稱為抗拉（壓）剛度。

實驗表明工程上大多數(shù)材料都有一個彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比.上式改寫為由14四、材料的力學性能為了解決構(gòu)件的強度和變形問題，必須了解材料的一些力學性質(zhì)，而這些力學性質(zhì)都要通過材料實驗來測定。工程材料的種類雖然很多，但依據(jù)其破壞時產(chǎn)生變形的情況可以分為脆性材料和塑性材料兩大類。脆性材料在拉斷時的塑性變形很小，如鑄鐵、混凝土和石料等，而塑性材料在拉斷時能產(chǎn)生較大的變形，如低碳鋼等。這兩類材料的力學性質(zhì)具有明顯不同的特點，通常以低碳鋼和鑄鐵作為代表進行討論。試驗條件及試驗儀器：1、試驗條件：常溫(20℃)；靜載（及其緩慢地加載）；標準試件。2、試驗儀器：萬能材料試驗機；變形儀（常用引伸儀）。1516一、拉伸時材料的力學性質(zhì)1．應(yīng)力-應(yīng)變曲線討論低碳鋼（Q235鋼）試件的拉伸圖如圖a)

為了消除試件的橫截面尺寸和長度的影響，將拉伸圖改為σ-ε曲線，下面根據(jù)σ-ε曲線來介紹低碳鋼拉伸時的力學性質(zhì)。低碳鋼拉伸試件從加載開始到最后破壞的整個過程，大致可以分為四個階段：1）彈性階段（Ob段）

b點所對應(yīng)的應(yīng)力稱為材料的彈性極限（

）a點所對應(yīng)的應(yīng)力叫做比例極限（）

172）屈服階段（cd段）

當應(yīng)力超過彈性極限之后，應(yīng)變增加很快，而應(yīng)力保持在一個微小的范圍內(nèi)波動，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服，在曲線上表現(xiàn)為一段近于水平的線段。

c點所對應(yīng)的應(yīng)力稱為屈服極限，用σs來表示。

3）強化階段（de段）

材料經(jīng)過屈服階段后，其內(nèi)部的組織結(jié)構(gòu)有了調(diào)整，使其又增加了抵抗變形的能力，在曲線上表現(xiàn)為應(yīng)力隨著應(yīng)變的增加，這種現(xiàn)象稱為材料的硬化。最高點e所對應(yīng)的應(yīng)力稱為材料的強度極限，用σb來表示。

4）頸縮階段（ef段）

應(yīng)力超過σb之后，試件開始出現(xiàn)非均勻變形，可以看到在試件的某一截面開始明顯的局部收縮，即形成頸縮現(xiàn)象（如圖）。曲線開始下降，最后至f點，試件被拉斷。

182.脆性材料的力學性能脆性材料自加載至試件被拉斷，試件變形很小。只有斷裂時的應(yīng)力值，稱為強度極限，用σb表示19頸縮現(xiàn)象材料的延伸率和截面收縮率延伸率

%

截面收縮率

%

工程上常把δ≥5%的材料稱為塑性材料

而把δ<5%的材料稱為脆性材料

δ和ψ是衡量材料塑性性能的兩個主要指標，δ和ψ值越大，說明材料的塑性越好。

203．冷作硬化若使材料應(yīng)力超過屈服階段并在進入強化階段后卸載，則當再度加載時，材料的比例極限和屈服極限都將有所提高，同時，其塑性變形能力卻有所降低，這種現(xiàn)象稱為材料的冷作硬化。工程中常用冷作硬化的方法來提高鋼筋和鋼絲的屈服強度，并把它們稱為冷拉鋼筋和冷拔鋼絲。214、壓縮時材料的力學性質(zhì)

---鑄鐵壓縮強度極限；

（4—5）22五、軸向拉壓桿的強度條件強度條件：式中：----稱為最大工作應(yīng)力------稱為材料的許用應(yīng)力

-----桿件橫截面上的軸力；A――桿件的危險截面的橫截面面積；對等直桿來講，軸力最大的截面就是危險截面；對軸力不變而截面變化的桿，則截面面積最小的截面是危險截面。

23 根據(jù)上述強度條件，可以進行三種類型的強度計算：1)強度校核在已知荷載、桿件截面尺寸和材料的容許應(yīng)力的情況下，驗算桿件是否滿足強度要求。若σ≤[σ]，則桿件滿足強度要求；否則說明桿件的強度不夠。2）截面選擇在已知荷載、材料的容許應(yīng)力的情況下，由

來確定桿件的最小橫截面面積。3）確定容許荷載在已知桿件的截面面積和材料容許應(yīng)力的情況下，由來求出桿件的最大荷載值。24例：一直徑d=14mm的圓桿，許用應(yīng)力[σ]=170MPa，受軸向拉力FP=2.5kN作用，試校核此桿是否滿足強度條件。解：滿足強度條件。25六、應(yīng)力集中的概念常見的油孔、溝槽等均有構(gòu)件尺寸突變，突變處將產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。即稱為理論應(yīng)力集中因數(shù)1、形狀尺寸的影響：尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴重。2、材料的影響：應(yīng)力集中對塑性材料的影響不大；

應(yīng)力集中對脆性材料的影響嚴重，應(yīng)特別注意。目錄26§4-5

梁的應(yīng)力與強度計算梁在垂直于桿軸線的外荷載作用下，在橫截面上一般要產(chǎn)生兩種內(nèi)力：彎矩和剪力，從而，在橫截面上將存在兩種應(yīng)力：正應(yīng)力和切應(yīng)力。

一、梁的正應(yīng)力與強度計算為了使研究問題簡單，下面以矩形截面梁為例，先研究純彎梁橫截面上的正應(yīng)力。

純彎梁：是指受力彎曲后，橫截面上只有彎矩而沒有剪力的梁，如圖所示AB梁的CD段。

271.梁的彎曲變形現(xiàn)象及應(yīng)力計算假設(shè)觀察到以下變形現(xiàn)象:1）變形前互相平行的縱向線在變形后都變成了弧線且靠上部的縱向線縮短了，靠下部的縱向線伸長了。2）變形前垂直于縱向線的橫向線，變形后仍為直線，且它們相對轉(zhuǎn)動了一個角度后仍與彎曲了的縱向線正交。28根據(jù)上述現(xiàn)象，作如下假設(shè)：梁變形前的截面在變形后仍為一平面，只是繞截面內(nèi)的某一軸旋轉(zhuǎn)了一個角度，并且依然與彎曲后的桿件軸線垂直。梁在純彎曲時的平面假設(shè)：單向受力假設(shè)：假設(shè)各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。29中性軸將橫截面分為受壓和受拉兩個區(qū)域。

推論：梁在彎曲變形時，上面部分縱向纖維縮短，下面部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短,保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。（見下圖）302.梁的正應(yīng)力計算公式

式中

M－截面的彎矩；

Iz－截面對中性軸的慣性矩；

y－欲求應(yīng)力的點到中性軸的距離。正應(yīng)力與M和y成正比，與Iz成反比。正應(yīng)力沿截面高度呈直線分布，如圖所示，距中性軸愈遠就愈大，在中性軸上正應(yīng)力等于零。31

Iz－截面對中性軸的慣性矩;矩形截面的慣性矩：321)對于梁的某一橫截面來說，最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠的地方，其值為：

2)對于等截面梁，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大的截面上，其值為：

Wz－－抗彎截面系數(shù)，

Wz與梁的截面形狀有關(guān)，Wz愈大，梁中的正應(yīng)力愈小。

矩形截面:

33二、矩形截面梁的切應(yīng)力計算及切應(yīng)力強度條件1．矩形截面梁的切應(yīng)力計算公式假設(shè)：1）截面上各點切應(yīng)力的方向都平行于截面上剪力的方向。2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點處的切應(yīng)力相等。梁上任一截面中cc線上的切應(yīng)力計算公式為：

34式中：Fs――為截面的剪力；Sz――為面積A*

對中性軸的靜矩；A*――是過欲求應(yīng)力點的水平線與截面邊緣間的面積；b――為截面的寬度；

Iz

――為截面對中性軸的慣性矩。剪力和面積矩均為代數(shù)量，在計算切應(yīng)力時，可用絕對值代入，切應(yīng)力的方向可由剪力的方向來確定，即τ與Fs方向一致。進一步的分析表明，矩形截面梁中的切應(yīng)力沿截面高度按二次拋物線規(guī)律分布，在截面上下邊緣處，切應(yīng)力為零，在中性軸處，切應(yīng)力最大，為截面平均切應(yīng)力的1.5倍。

35

363.強度條件

1）當梁材料的抗拉和抗壓的能力相同時，其正應(yīng)力強度條件：

2）當梁材料的抗拉抗壓能力不同時，應(yīng)分別對拉應(yīng)力和壓應(yīng)力建立強度條件：374．梁的切應(yīng)力強度條件在進行梁的強度計算時，必須同時滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強度條件，但在一般情況下，梁的強度計算大多是由正應(yīng)力強度條件控制的。因此，在選擇截面時，一般都是先按正應(yīng)力強度條件來計算，然后再用切應(yīng)力強度條件進行校核。38三、梁彎曲時強度計算根據(jù)強度條件，可解決下列工程中常見的三類問題：①已知外力、截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，校核梁的強度；②已知外力、截面形狀、許用應(yīng)力，設(shè)計梁的截面尺寸；③已知截面形狀尺寸、許用應(yīng)力，求許可載荷。39例：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強度條件確定兩者許可載荷之比FP1／FP2＝？40解：41四、提高梁彎曲強度的主要措施：①合理布置梁的支座和荷載；②采用合理的截面；③采用變截面梁。42§4-6

組合變形桿的應(yīng)力與強度計算在實際工程結(jié)構(gòu)中，桿件的受力情況是比較復雜的，往往不是發(fā)生單一的基本變形，而是同時發(fā)生兩種或兩種以上的基本變形，這類變形稱為組合變形。

本節(jié)將介紹組合變形下桿件的應(yīng)力和強度的計算方法，主要介紹偏心彎曲和斜彎曲情形。偏心彎曲斜彎曲43一、斜彎曲1.正應(yīng)力的計算梁發(fā)生斜彎曲時，梁上將同時存在有正應(yīng)力和剪應(yīng)力。由于剪應(yīng)力一般都很小通常多不考慮。下面介紹梁斜彎曲時正應(yīng)力的計算方法。

如圖所示為一斜彎曲梁，在FP作用下，k點處的正應(yīng)力為：

應(yīng)力的正負號可采用直觀法來斷定。首先根據(jù)FPy和FPz單獨作用下判斷出σ'和σ''的正負號，然后就可判斷出σ的正負號。442.正應(yīng)力強度條件若材料的抗拉抗壓強度相等，梁斜彎曲時的強度條件為:根據(jù)這一強度條件，同樣可以進行強度校核、截面設(shè)計和確定許可荷載。在運用上式進行截面設(shè)計時，由于存在Wz和Wy兩個未知量,可以先假設(shè)一個Wz/Wy之值

對于矩形截面：

Wz/Wy=h/b（一般取1.2~2）工字形截面：Wz/Wy=8~10槽鋼截面：Wz/Wy=6~845例跨長為3m的矩形截面木檁條，受集度為q=800N/m的均布荷載的作用，檁條材料的容許應(yīng)力[σ]=12MPa，試按正應(yīng)力強度條件選擇此檁條的截面尺寸，見下圖解：1）先將q分解為沿對稱軸y和z的兩個分量：46再分別求出qy和qz產(chǎn)生的最大彎矩，它們位于檁條的跨中截面上，此兩個彎矩的值為：2）根據(jù)強度條件，先假設(shè)截面的高寬